2018年高中数学人教A版选修2-1: 3.1.3 空间向量的数量积运算 (20张)_图文

2019年4月29日

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F

?

S

W= |F| |s| cos?
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.

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知 新 类似地,可以定义空间向量的

1)两个向量的夹角的定义:

数量积

如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取

一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量

a 与 b 的夹角,记作: a, b .

⑴范围: 0 ≤ ?a, b? ≤ ? . a
?a, b? =0 时, a 与 b 同向;
b
?a, b? =π 时, a 与 b 反向.

A
a
B O
b

⑵ ?a, b?=?b, a? , 两个向量的夹角是惟一确定的!

⑶如果 ? 2019年4月29日a, b? ? ? 眼,皮则蹦跳称跳专业a文与档眼皮b蹦跳垂跳专直,记为 a ? b 3

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2)两个向量的数量积
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则 a b cos?a, b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b .
即 a ? b ? a b cos?a, b? .
注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

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A

a
A1
类比平面向量,你能说出

B1
b

a ? b 的几何意义吗?

B

如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上
的射影向量.

数量积

a?

?

? b

等于

a??

的长度

a?



b

在 a?

的方向上的投影 b cos? 的乘积.

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3)空间两个向量的数量积性质

对于非零向量a,b, 有以下性质:

①a ?b=0 ? a ? b

②a ? a= a ? a cos

a,a = a 2 ,即 a =

2
a

③ cos a,b ? a ? b a?b
注:

性质①是证明两向量垂直的依据;

性质②是求向量的长度(模)的依据;

性质③是求向量的夹角(余弦值)公式.

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4)空间向量的数量积满足以下运算律 ⑴(?a)? b ? ?(a ? b)

⑵ a ? b ? b ? a (交换律)

⑶ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律)

注: 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。

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对于三个均不为 0 的 数
a? 对?ab?,于?ba向?,?cc?量,能若a得?a,b到b?=,b?ac??c,,c由?则吗b= c.
如果不能,请举出反例.

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对于三个均不为0的数 a,b, c,

若ab ? c, 则 a ? c .(或b ? c )

对于向量

a?,

? b,

b


a?

? ?b

?

k

a
能否

写成

a?

?

k? b

? (或b

?

k a?

)

?

也就是说

向量有除法吗?

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对于三个均不为0的数 a,b,c,

若(ab)c

?

a(bc).

对于向量

a?,

? b,

c?,

(a? ?b?)c? ? a?(b? ? c?)成立吗?也就

是说,向量的数量积满足结

合律吗?

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练一练:

1.判断真假:

(1)若 a ? b ? 0,则 a ? 0或b ? 0

( 2)

2
p

2
?q

?

(

p ? q)2

2

2

( 3) p ? q ? p ? q ? p ? q

(? ) (?) (?)

( 4)( b ? c ) ? a ? (c ? a) ? b与c垂直. (√ )

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例1.如图,在空间四边形ABCD中,AB ? 2,BC ? 3,

BD ? 2 3 , CD ? 3,?ABD ? 30o , ?ABC ? 60o ,求 AB与CD的夹角的余弦值.

解:∵ CD ? BD ? BC , ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC
?| AB | ? | BD | ?cos ? AB, BD ?

? | AB | ? | BC | ?cos ? AB, BC ?

? 2? 2 3 ? cos150 ? 2? 3? cos120 ? ?6 ? 3 ? ?3

∴ cos ? AB,CD ?? AB ? CD ? ?3 ? ? 1 ,
| AB | ? | CD | 2? 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 . 2
说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? AB, BD ?? 150

易2错019写年4成月29?日 AB, BD ??眼3皮0蹦跳,跳专注业文意档推眼皮敲蹦跳!跳专

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练习2:如图,正三棱柱ABC ? A1B1C1 中,若
AB ? 2BB1,则 AB1与C1B所成角的大小 为多少?

答案:900

A1

C1

B1

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A

C

B

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另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直 线垂直经常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.
例 2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

已知:如图, PO 、PA分别是平面? 的垂线、斜线,
AO 是 PA在平面? 内的射影, l ? ? ,且 l ? OA ,
求证: l ? PA

分析:用向量来证明两直线 垂直,只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可!
?
适当取向量尝试看看!

?P O? ?A a
l

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如图,已知: PO ? ? , AO为 射影, l ? ? , 且l ? OA 求证:l ? PA

证明:在直线l上取向量 a ,只要证 a ? PA ? 0

a ? PO ? 0 , a ? OA ? 0,

?P

?a ? PA ? a ? (PO ? OA)
?
? a ? PO ? a ? OA

O? ?A a l

? 0.
? a ? PA,即l ? PA. 逆命题成立吗?

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面

的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

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三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

反过来,在平面内的一条直线,如果和这个平面的

一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立

吗?

已知:如图, PO 、PA分别是平面? 的垂线、斜线,

AO 是 PA在平面? 内的射影, l ? ? ,且 l ? PA,

求证: l ? OA

?P

分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.

O? ?A a

?

l

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例3 (试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面? 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证:l ⊥ ? .
l

分析:要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.

gl

m

m n ng

取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?

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证: 在? 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使

g ? xm ? yn , l ? g ? xl ? m ? yl ? n , l

l ? m ? 0, l ? m ? 0 ,
?l ? g ? 0,即l ? g.

gl

m

m n ng

?l ? g,即l垂直于平面?内任一直线.l ? ?.

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练习3:已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 的长都等于a,点M、N 分别是边AB、CD的中点。 求证:MN ? AB,MN ? CD。

证明:因为 MN ? MA ? AD ? DN

A

AB ? MN ? AB ? (MA ? AD ? DN )

M
D B
N C

? AB ? MA ? AB ? AD ? AB ? DN
? ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 AB ? (BC ? BD) 222
?0 ? MN ? AB
同理,MN ? CD

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空间向量数量 积的定义
空间向量数量积

空间向量的夹角

(1) cos

a?,

? b

?

(2)a?

?

? b

?

a?

?

? b

?

a? a? 0

? ?

? b? b

的性质

空间向量数量积 的运用

(3)a ? a ?
(1)用cos

a2 =

a?,

? b

a
?

2
a? ?

?

? b?

求夹角

(2)用a?

?

? b

?

ab 0判断垂直

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(3)用 a 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专 2 ? a ? a求长度20
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