最新精编高中人教A版选修4-5高中数学分层测评12和答案

学业分层测评(十二) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1 1 1.设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),则 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 A. 1 3n+2 1 1 B. + 3n 3n+1 1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2 ) 1 1 C. + 3n+1 3n+2 【解析】 1 1 1 1 1 因为 f(n)=1+ + +…+ ,所以 f(n+1)=1+ + +…+ 2 3 3n-1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 + + + ,所以 f(n+1)-f(n)= + + .故选 D. 3n-1 3n 3n+1 3n+2 3n 3n+1 3n+2 【答案】 D 1 2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时, 第一步检验第 2 一个值 n0 等于( A.1 C.3 【解析】 【答案】 ) B .2 D.0 边数最少的凸 n 边形是三角形. C ) 【导学号:32750066】 A. 3 n+2 B. 3 n+3 1 3a n 3.已知 a1= ,an+1= ,猜想 an 等于( 2 an+3 C. 3 n+4 D. 3 n+5 【解析】 a2= 3a 1 3 = , a1+3 7 a3= a4= 3a 2 3 = , a2+3 8 3a 3 1 3 = = , a3+3 3 9 3 . n+5 D 猜想 an= 【答案】 4. 用数学归纳法证明: (n+1)(n+2)…·(n+n)=2n×1×3…(2n-1)时, 从“k 到 k+1”左边需增乘的代数式是( A.2k+1 C.2(2k+1) 【解析】 ) 2k+1 B. k+1 D. 2k+2 k+1 当 n=k+1 时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…·(k+1+k+1)=(k +1)·(k +2)·(k +3)…(k + k)· k+ k+ 1 k+ = (k + 1)(k + 2)(k +3)…(k + k)·2(2k+1). 【答案】 C 5.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)等于 f(k)加 上( A. ) π 2 B.π 3 D. π 2 从 n=k 到 n=k+1 时, C.2π 【解析】 内角和增加 π. 【答案】 二、填空题 B 6.观察式子 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第 n 个式 子应为________. 【答案】 1-4+9-16+…+(-1)n-1n2 =(-1)n+1· n n+ 2 7.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第 二步假设 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到________. 【解析】 ∵n=k 时,命题为“1+2+22+…+2k-1=2k-1”, ∴n=k+1 时为使用归纳假设, 应写成 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1. 【答案】 1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 8.用数学归纳法证明 34n+1+52n+1(n∈N+)能被 14 整除,当 n=k+1 时,对 于 34(k+1)+1+52(k+1)+1 应变形为________. 【解析】 34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1 +81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1. 【答案】 三、解答题 9.用数学归纳法证明: 1? ? 1 ? n+1 ? 1?? 1?? ?1- ??1- ??1- ?…?1- 2?= (n≥2,n∈N+). 2n ? 4?? 9?? 16? ? n ? 【证明】 1 3 2+1 3 (1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= = . 4 4 2×2 4 81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1 ∴等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立, 1? ? 1 ? k+1 ? 1?? 1?? 即?1- ??1- ??1- ?…?1- 2?= (k≥2,k∈N+). 2k ? 4?? 9?? 16? ? k ? 当 n=k+1 时, 1? ? 1 ?? ? 1?? 1?? ?1- ??1- ??1- ?…?1- 2??1- ? 4?? 9?? 16? ? k ?? = = 1 k+ 2 ? ? ? k+1 k+ 2-1 k+ · 2 = 2k k+ 2k k+2 k+ = k k+ k+ 2 k+ +1 , k+ ∴当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)和(2)知,对 n≥2,n∈N+时,等式成立. 10.用数学归纳法证明:对于任意正整数 n,整式 an-bn 都能被 a-b 整除. 【证明】 (1)当 n=1 时,an-bn=a-b 能被 a-b 整除. (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,ak-bk 能被 a-b 整除,那么当 n=k+1 时, ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk). 因为(a-b)和 ak-bk 都能被 a-b 整除,所以上面的和 ak(a-b)+b(ak-bk)也能被 a-b 整除.这也就是说当 n =k+1 时,ak+1-bk+1 能被 a-b 整除. 根据(1)(2)可知对一切正整数 n,an-bn 都能被 a-b 整除. [能力提升] 1. 设 f(n)= 1 1 1 1 + + +…+ (n∈N+), 那么 f(n+1)-f(n)等于( n+1 n+2 n+3 2n ) 【导学号:32750067】 A. 1 2n+1 1 B. 2n+2 D. 1 1 - 2n+1 2n+2 1 1 C. + 2n+1 2n+2 【解析】 因

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