2018年高中数学人教A版选修2-1: 3.1.3 空间向量的数量积运算 (15张)_图文

3.1.3空间向量的数量积运算

2019年4月29日

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1

复习:
一、平面向量的夹角:
已知两个非零向量 a 和 b,在平面上取一点O,

作OA= a,OB= b,则 ?AOB 叫做向量 a与 b的夹角。

B

b a
2019年4月29日

b

O

a
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A

2

二、平面向量的数量积的定义:
? 已知两个非零向量a, b,则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积,记作 a ? b


并规定
2019年4月29日

a ? b ?| a || b | cos?

a?0 ?0
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讲授新课:
1)空间向量的夹角的定义:
如图,已知空间两个非零向量 a 、 b ,在空 间任取一点 O , 作 OA ? a , OB ? b , 则角 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作: a , b . ⑴规定: 0 ≤ ? a, b? ≤? a (2)在这样的规定下,两个 向量的夹角就被唯一确定
了,并且 ? a, b?=?b, a?
b

a
O

A
B

b

⑶ ? a, b? =0 时, a 与 b 同向; ? a, b? =π 时, a 与 b 反向 ? ⑷如果 ? a , b? ? ,则称 a 与 b 垂直,记为 a ? b 2 ? 4 ? ? (0, ] 4 2019年4月29日 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专 异面直线及所成的角的范围 ? 2 业文档

2)空间向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 b , 则
a b cos? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b .

即 a ? b ? a b cos? a , b? . 注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
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5
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3)两个向量的数量积的几何意义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 b , 则
a b cos? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b .

即 a ? b ? a b cos? a , b? .
zxxkw

类比平面向量 , 你能说 出 a ? b 的几何意义吗?

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4)空间两个向量的数量积性质
① a ?| a |2 即 | a |? a (求线段的长度); ② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断);
? ? ? ?

?2

?

?

?2

③ cos a , b ?

a?b a?b

(求角度).

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5)空间向量的数量积满足的运算律
⑴ (? a) ? b ? ? (a ? b) ⑵ a ? b ? b ? a (交换律) ⑶ (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c (分配律)

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例1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线

长都等于 a,如图所示,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,求: → → (1)AB· AC; → → (2)EF· BC.

2019年4月29日

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→ → → → → → 【解】 (1)AB· AC=|AB||AC|cos〈AB,AC〉 1 a2 =a×a× = . 2 2 (2)∵E,F 分别为 AB,AD 的中点, → 1→ ∴EF= BD. 2 → → 1→ → ∴EF· BC= BD· BC 2 1 1 = ×a×a× 2 2 a2 = . 4
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例1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线

长都等于 a,如图所示,点 E,F 分别是 AB,AD A 的中点,求: → → (1)AB· AC; F E → → (2)EF· BC.
D B C G

互动探究 1 本例中,若 G 点为 CD 的中点,其他条 → → 件不变,求GF· AC.
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例 2.如图, 在空间四边形 ABCD 中,AB ? 2 ,BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

解:∵ CD ? BD ? BC , ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC ?| AB | ? | BD | ? cos ? AB, BD ?

? | AB | ? | BC | ? cos ? AB, BC ?

? 2 ? 2 3 ? cos150 ? 2 ? 3 ? cos120 ? ?6 ? 3 ? ?3
∴ cos ? AB, CD ??
?3 1, ? ?? 2 | AB | ? | CD | 2 ? 3 AB ? CD

1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2
2019年4月29日

说明:由图形求向量的夹角时易出错,如 ? AB, BD ?? 150 易错写成 ? AB, BD ?? 30 ,注意推敲!
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例3.
AC ?

ABCD ? A? B ?C ?D?

AB ? 4

AD ? 3 , AA? ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60?

解: AC ' ? AB ? AD ? AA?
D' C'

?| AC ? |2 ? ( AB ? AD ? AA?)2
B'

A'

?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA? ? AD ? AA? ) ? 42 ? 32 ? 52 ? 2(0 ? 10 ? 7.5) ? 85

D

C

A

B

?| AC ? |? 85.
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2019年4月29日

练习:已知线段AB、BD 在平面 ? 内, BD ? AB , 线段 AC ? ? ,AB ? a , BD ? b , AC ? c 求CD之间的距离.
C

解:∵
D a b B

| CD |2 ? (CA ? AB ? BD)2 ?| CA |2 ? | AB |2 ? | BD |2 ? a 2 ? b2 ? c 2

c

?

A

? CD ? a ? b ? c
2 2

2

14
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复习:空间两个非零向量 a 、 b 的数量积 a ? b : 小结:
a ? b ? a b cos a , b

a b

也有下列三个重要性质:
① a ?| a |2 即 | a |? a (求线段的长度); ② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断);
? ? ? ?

?

a

?

?2

?

?

?2

b
a, b ? ?

③ cos a , b ?

a?b a?b

(求角度).

以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
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