2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1课时直线的参数方程检测北师大版选修4

第二讲 第二节 第一课时 直线的参数方程 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知直线? ? ?x=3+4t ?y=-4+3t ? (t 为参数),下列命题中错误的是( ) A.直线经过点(7,-1) 3 B.直线的斜率为 4 C.直线不过第二象限 D.|t|是定点 M0(3,-4)到该直线上对应点 M 的距离 解析: 直线的普通方程为 3x-4y-25=0.由普通方程可知,A、B、C 正确,由于参数 方程不是标准式,故|t|不具有上述几何意义,故选 D. 答案: D 1 ? ?x=1-2t 2.以 t 为参数的方程? 3 y=-2+ t ? ? 2 π A.过点(1,-2)且倾斜角为 的直线 3 B.过点(-1,2)且倾斜角为 π 的直线 3 表示( ) 2π C.过点(1,-2)且倾斜角为 的直线 3 D.过点(-1,2)且倾斜角为 解析: 化参数方程 1 ? ?x=1-2t ? 3 y=-2+ t ? ? 2 2π 的直线 3 为普通方程得 y+2=- 3(x-1), 故直线过定点(1,-2), 2π 斜率为- 3,倾斜角为 . 3 答案: C 1 3.双曲线 - =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是( 9 4 A.8x-9y=7 C.4x-9y=6 解析: 设直线的参数方程为? 代入双曲线方程,得 4(2+tcosα ) -9(1+tsinα ) =36, 整理得(4cos α -9sin α )t -(16cosα -18sinα )t-29=0. 设方程的两个实根分别为 t1,t2, 18sinα -16cosα 则 t1+t2= . 2 2 4cos α -9sin α 因为点 P 平分弦, 所以 t1+t2=0, 8 即 18sinα -16cosα =0,tanα = , 9 8 即 k= . 9 8 因此弦所在直线方程为 y-1= (x-2), 9 即 8x-9y=7. 答案: A 4.下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( A.? ? ?x=1+t, ?y=3+t ? 2 2 2 2 2 x2 y2 ) B.8x+9y=25 D.不存在 ? ?x=2+tcosα , ?y=1+tsinα ? (t 为参数), ) (t 为参数) (t 为参数) B.? ? ?x=1-t, ?y=5-2t ? ? ?x=1-t, C.? ?y=3-2t ? (t 为参数) 2 5 ? ?x=2+ 5 t, D.? 5 ? ?y=5+ 5 t (t 为参数) 1 解析: 题目所给的直线的斜率为 2,选项 A 中直线斜率为 1,选项 D 中直线斜率为 , 2 所以可以排除 A、D 两项;B、C 两项中直线斜率均为 2,但 B 项中直线的普通方程为 2x-y +3=0. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 2 1 x=t+ , ? ? t 5. 过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线? 1 y=t- ? ? t (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 长为__________ ________. 3 ? ?x=-3+ 2 s, 直线的参数方程为? 1 ? ?y=2s 解析: (s 为参数), 1 ? ?x=t+t, 曲线? 1 y=t- ? ? t 可以化为 x -y =4. 2 2 (t 为参数) 将直线的参数方程代入上式, 得 s -6 3s+10=0, 设 A,B 对应的参数分别为 s1,s2, ∴s1+s2=6 3,s1s2=10, |AB|=|s1-s2|= 答案: 2 17 ? ?x=2cos θ , π 6.已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α = ,设 l 与曲线? 6 ?y=2sin θ ? 2 s1+s2 2 -4s1s2=2 17. (θ 为参 数)交于两点 A,B,则点 P 到 A,B 两点的距离之积为__________ ________. 解析: 直线的参数方程为 π ? ?x=1+tcos 6 , ? π ?y=1+tsin 6 ? 2 3 ? ?x=1+ 2 t, 则? 1 y=1+ t. ? ? 2 2 曲线的直角坐标方程为 x +y =4, 3 ? ?x=1+ 2 t, 把直线? 1 ? ?y=1+2t 得?1+ 代入 x +y =4 2 2 ? ? 3 ?2 ? 1 ?2 t? +?1+ t? =4, 2 ? ? 2 ? 3 t2+( 3+1)t-2=0,t1t2=-2, 则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2. 答案: 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5π 7.设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设此直线与曲线 C:? ? ?x=2cosθ , ?y=4sinθ ? (θ 为参数)交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|; (3)设 AB 中点为 M,求|PM|. 解析: (1)直线 l 的参数方程是 5π 3 ? ?x=-3+tcos 6 =-3- 2 t, ? 5π 1 y=3+tsin =3+ t ? ? 6 2 (t 为参数). (2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去,得 4x +y -16=0.把直线 l 的参数方程代入 曲线 C 的普通方程中,得 4?-3- 2 2 2 ? ? 3 ?2 ? 1 ? 2 t? +?3+ t? -16=0. 2 ? ? 2 ? 即 13t +4(3+12 3)t+116=0. 由 t 的几何意义,知 |PA|·|PB|=|t1·t2|, 116 故|PA|·|PB|=|t1·t2|= . 13 (3)由 t 的几何意义,知 中点 M 的参数为 t1+t2 2 , +12 3 . 13 1 故|PM|= |t1+t2|= 2

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