2019年广东省韶关市高三调研测试数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5
20xx 届高三调研测试题

数学试题(文科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1.答卷 前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. [来源:学科网 ZXXK]
2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后 ,将答题卷和答题卡交回.
参考公式:锥体的体积公式V ? 1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的.

? ? 1. 设集合 A ? ??2,0, 2, 4? , B ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 A B ? (



A.?0?

B .?2?

C .?0,2?

D.?0,2,4?

2. 已知 a 是实数, a ? i 是纯虚数,则 a 等于( ) 1?i

A. 1

B. ?1 C. 2

D. ? 2

3.若 a ? 20.5, b ? log? 3, c ? log2

2 ,则有( 2

).

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

4. 在区间?0, 2? 之间随机抽取一个数 x ,则 x 满足 2x ?1 ? 0 的概率为( )

A. 3 . B. 1

1
C.

D. 1

4

2

4

3

5. 阅读如图的程序框图.若输入 n=5,则输出 k 的值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6.已知 椭圆与双曲线 x2 ? y2 ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10 ,那么 4 12

椭圆的离心率等于( )

A. 3 5
[来源:Z#xx#k.Com]

B. 4 5

C. 5 4

D. 3 4

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 1 2

B.1

C. 3 2

D. 3

8. 函数 y ? 1? 2sin 2 (x ? 3? ) 是( ) 4

A.最小正周期为? 的奇函数 B.最小正周期为? 的偶函数

C.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

2

2

9. 已知向量 A B 与 A C 的夹角为1200 ,且 AB ? 2, AC ? 3 ,若

AP ? ? AB ? AC ,且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为( )

33

2

1

正视图

2

1

1 侧视图

A. 3 7

B.13

C. 6

D. 12 7

俯视图

10.

已知函数

f

(x)

?

?log2 ??3x ,

x, x

x ?

? 0

0

,且函数

h(x)

?

f (x) ? x ? a 有且只有一个零点,则实数 a 的取

值范围是( )

A.[1, ??)

B. (1, ??) C . (??,1)

D. (??,1]

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题)
11. 等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 S4=
?x ? 2y ? 6 12. 设实数 x、y 满足 ??2x ? y ? 6 ,则 z ? 3x ? y 的最大值是_____________.
??x ? 0, y ? 0
13.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样
本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71,给定下列
结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系;

②回归直线过样本点的中心( x , y );

③若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg;

④若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg.

其中正确的结论是

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin? 的圆心到直线? ? ? (? ? R) 的距 3

离是

.

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长

DE

BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 AB ? 8 , DC ? 4 C 则 DE ? _________.

A O

B
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

16.(本题满分12分)

某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分 钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上

频率/组距

学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0, 20) , x

[20, 40) ,[40, 60) ,[60,80) ,[80,100] .

(1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生可申请在学校 住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿.

0.0125

0.0065 0.003
O

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

17. (本题满分12分)

如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ?
(1)求边 AB 的长; (2)求 cos A的值和中线 CD 的长.

10 , cos ?C ? 2 5 ,点 D 是 AB 的中点. 5
A
D

B

C

18.(本题满分14分)
如图所示的多面体中, ABCD是菱形, BDEF是矩形, ED ? 面 ABCD , ?BAD ? ? .
3

(1)求证:平 面BCF / /面AED ;

E

(2))若 BF ? BD ? a ,求四棱锥 A ? BDEF 的体积.

F

19.(本题满分14分)
已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x .

D

C

A

B

(1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 单调区间;

(2)

若函数

f

(x) 在区间[1,2]上的最小值为 4 ,求 a

的值. [来源:学科网]

20.(本题满分14分)
? ? ? ? 已知 an 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a , an 的部分项 ak1 、 ak2 、…、 akn 恰为等
比数列,且 k1 ? 1, k2 ? 2 , k3 ? 5 .
(1)求数列?an? 的通项公式 an (用 a 表示);
(2)若数列{kn} 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn .
21.(本题满分14分)
设抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设动直线 l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为直径的圆记为圆 C .
(1)求 p 的值; (2)证明:圆 C 与 x 轴必有公共点;

(3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标;若不存在,
说明理由.

20xx 届高三年级调研测试数学
( 文科)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相 应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答 在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不 给中间分.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.CAAAB BCADB
1. 解析: B ? ?x | ?1? x ? 3? ,所以 A B ? C.?0,2?,选 C

2.解析: a ? i ? (a ? i)(1? i) ? a ?1? (a ?1)i 是纯虚数,则 a ?1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A

1?i

2

2

3. 解析:

a ? 20.5 ? 20 ? 1, b ? log? 3??0,1? , c ? log2

2 2

?

log2 1 ?

0 ,?a

?b

?c选

A.

4.解析:区间?0, 2?

看作总长度为

2,区间?0, 2?

中满足

2x

?1

?

0

的只是

?1 ?? 2

,

2???

,长度为

3 2

,因为

x

3 是随机抽取的一个数,由几何概型计算公式知 x 满足 2x ?1 ? 0 的概率为 P ? 2 ? 3 .答案: A
24

5. 答案:B

6. 解析: a ? 5 , c ? 4 ?12 ? 4 , e ? 4 选 B 5

7. 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为 3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得 2

V ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 .答案:C 32 2

8. 解析:y ? 1? 2sin2 (x ? 3? ) ? cos 2(x ? 3? ) ? ?sin 2x ,所以 f (x) 是最小正周期为? 的奇函数,

4

4

选A

9. 解析: AP? BC ? (? AB? AC)?(AC ? AB) ? 0 得 ? AB? AC ? ?(AB)2 ? (AC)2 ? AC ? AB) ? 0 ? ?3? ? 4? ? 9 ? 3 ? 0 ? ? ? 12 选 D
7 10. 解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f (x) 与 y ? ?x ? a

的图 象,解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f (x) 与 y ? ?x ? a

y

的图象,其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a ?1时,

直线 y ? ?x ? a 与 y ? log2 x 只有一个交点.,选 B

1 x

O 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1

y ? ?x ? a

y ? ?x ?1

11. 6 12. 9 13. ①②③ 14.1 15. 2

题目解析:

11. 解析:可已知可得, a1 ? a4 ? 3,? S4 ? 6

12. 解析由可行域知,当 x ? 3, y ? 0 时, zmax ? 9
13. 解析:利用概念得到①②③正确
14.解析:如下图:d ? 2?sin ? ? 1 6
15. 解析:如下图: ?ABC ~ ?CDE ,得 AB ? BC ? 8 ? 4 ? DE ? 2 DC DE 4 DE

DE

d
x o

A C
O B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
解:(1)由 (x? 0.0125 ?0.0065 ?0.003 ?2) ?20 ?1 ,………………………….4 分
则 x ? 0.025 ………………………….6 分
(2)上学所需时间不少于 40 的学生的频率为:
(0.00625 ? 0.003? 2)? 20 ? 0.25 ……… ………………….8 分
估计学校 1000 名新生中有:1000?0.25 ? 250 ………………………….11 分
答:估计学校 1000 名新生中有 250 名学生可以申请住宿. …………………12 分
17.(本题满分12分)

解:在 ?ABC 中,由 cos ?C ? 2 5 ? 0 可知, ?C 是锐角, 5

所以, sin ?C ? 1? cos2 ?C ? 1? ( 2 5 )2 ? 5 ………………………….2 分

5

5

由正弦定理 A C ? A B s i n?B s i?nC

AB ? AC ?sin ?C ? sin ?B

10 ? 5 5 ? 2 ……5 分
2 2

(2) cos A ? cos(180? ? 45? ? C) ? cos(135? ? C)

? 2 (? cos C ? sin C) ? ? 10 , ………………………………………………8 分

2

10

由余弦定理:

CD ? AD2 ? AC2 ? 2AD ? AC cos A ? 1?10 ? 2?1? 10 ? (? 10 ) ? 13 10

………………. …………………………………………………………………12 分

18.(本题满分14 分)

证明:(1)由 ABCD是菱形

?BC / /AD

E

BC ? 面ADE , AD ? 面ADE

F

?BC / /面ADE ………………………………3 分

由 BDEF是矩形?BF / /DE

A

BF ? 面ADE , DE ? 面ADE

DO

C

B

?BF / /面ADE

BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC BF ? B

?面BCF / /面ADE ………………………………6 分 (2)连接 AC , AC BD ? O 由 ABCD是菱形,?AC ? BD 由 ED ? 面 ABCD, AC ? 面ABCD
?ED ? AC ED , BD ? 面BDEF , ED BD ? D

?AO ? 面BDEF ,……………………………………………10 分
则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD是菱形, ?BAD ? ? ,
3
则 ?ABD 为等边三角形,
由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a, AO ? 3 a 2

S BDEF

? a 2 ,VA?BDEF

? 1 ?a2 ? 3

3a? 2

3 a3 ………………………………………14 分 6

19. (本题满分14 分)
解:(1)解: f ' (x) ? 3ax2 ? 3 ……………1分
因为 a ? 0 ,所以 f ' (x) ? 0 对任意实数 x 恒成立, 所以 f (x) 在 (??, ??) 是减函数…………………4 分

(2)当 a ? 0 时,由(1)可知, f (x) 在区间[1,2]是减函数 由 f (2) ? 4 得 a ? 5 ,(不符合舍去)…………………6 分 4
当 a ? 0 时, f ' (x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 的两根 x ? ? 1 …………………7 分 a

①当 1 ? 1,即 a ? 1时,f ' ( x) ? 0 在区间[1,2]恒成立,f (x) 在区间[1,2]是增函数,由 f (1) ? 4 a
得 a ? 7 …………………9 分

②当 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 1 时 f ' ( x) ? 0 在区间[1,2]恒成立 f (x) 在区间[1,2]是减函数

a

4

f (2) ? 4 , a ? 5 (不符合舍去)…………………11 分 4

③当1 ?

1 a

?

2 ,即

1 4

?

a

? 1时,

f

? (x) 在区间 ?1,
?

1 a

?
? ?

是减函数,

f

(x)

在区间

?
? ?

1 a

? ,2?
?

是增

函数;所以 f ( 1 ) ? 4 无解…………………13 分 a

综上, a ? 7 …………………14 分

20. (本题满分14 分)

解:(1)?an? 为公差不为d (d ? 0) ,由已知得 a1 =a , a2 ? a ? d , a5 ? a ? 4d 成等比数列,

∴ (a ? d )2 ? a( a? 4 d),……………………………1 分

得 a ? 0 或 d ? 2a ……………………………2 分

若 a ? 0 ,则?an? 为 0, d, 2d,3d, 4d, ,这与 a1 , a2 , a5 成等比数列矛盾,

所以 d ? 2a ,

……………………………4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? (2n ?1)a . ……………………………5 分

(2)由(1)可知 an ? (2n ?1)a

∴ akn ? ( 2kn ? 1a)1 ……………………………7 分

而等比数列{akn } 的公比 q

?

a2 a1

?

a1 ? d a1

? 3。

?akn ? a1 ?3n?1

……………………………9 分

因此 akn ? (2kn ?1)a1 ? a1 ? 3n?1,

∴ kn

?

3n?1 ? 1 2

kn

?

3n?1 ? 1 2

?

1 ? 3n?1 2

?

1 2

……………………………11 分



Sn

?

(1 ? 30 2

?

1 ? 31 2

?

? 1 ? 3n?1) ? 1 ? n ? 1 ? 1(1? 3n ) ? n

2

2 2 1?3 2

? 3n ? 2n ? 1 ……………………………14 分 4

解:(1)利用抛物线的定义得 F ( p , 0) ,故线段 FA 的中点的坐标为 ( p , 2 ),代入方程得

2

42

2 p ? p ? 1 ,解得 p ?1。 42

……………………………2 分

(2)由(1)得抛物线的方程为 y2 ? 2x ,从而抛物线的准线方程为 x ? ? 1 2

……………………………3 分



?y2 ? 2x ? ? y ? kx ?

得方程
m

k 2

y2

?

y

?

m

?

0



由直线与抛物线相切,得

?k ?? ?

? ?

0 0

?k ? 0

?

? ??? m

?

1 2k



y

?

1 k

,从而

x

?

1 2k 2

,即

1 P( 2k 2

,

1) k





? ?? ?

y

?x

? ?

kx ? ?1

1 2k

,解得 Q(?

1 2

1? k2 ,
2k

),

?? 2

……………………………4 分 ……………………………5 分 ……………………………6 分



PQ

的中点

C

的坐标为

C(1? k 2 4k 2

,

3

?k 4k

2

)

[来源:学#科#网]

圆心 C 到 x 轴距离 d 2 ? (3 ? k 2 )2 , 4k

PQ

2

?

(12?kk22

)2

?

(1? k 2 2k

)2

∵ (1 PQ )2 ? d 2 ? 1 [(1? k 2 )2 ? (1? k 2 )2 ] ? (3 ? k 2 )2

?

3k 2 (

?1)2

?

0

2

4 2k 2

2k

4k

4k 2

所圆与 x 轴总有公共点. ……………………………8 分

(或



P(

1 2k 2

,

1 k

)

,

Q(?

1 2

,

1? k 2k

2

)

,以线段 PQ 为直径的方程为:

(x

?

1 2k

2

)(x

?

1) 2

?

(

y

?

1 k

)(

y

?

1

?k 2k

2

)

?

0

令 y ? 0得

x2

?

k2 ?1 2k 2

x

?

1

? 2k 4k 2

2

?0

?

? ( k22k?21)2

1? 2k 2 ? 4 ? 4k 2

?

(3k 2 ?1)2 4k 4

? 0 ,所圆与 x 轴总有公共点).

……………………………9 分

(3)假设平面内存在定点 M 满足条件,由抛物线对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标为

M (x1, 0) ,

……………………………10 分

由(2)知

P(

1 2k

2

,

1 k

)



Q(?

1 2

,

1

?k 2k

2

)



MP

?

(1 2k 2

?

x1,

1 ), MQ k

?

(?

1 2

?

x1,

1

?k 2k

2

)



由 MP ? MQ

?

0

得,

(

1 2k

2

?

x1

)(?

1 2

? x1) ?

1 ?1?k2 k 2k

?0

所以 x12

?

1? k 2k 2

2

x1

?

1

? 2k 4k 2

2

? 0 ,即 x1

?

1 2

或 x1

? 1? 2k 2 2k 2

……………………………13 分
所以平面上存在定点 M (1 , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . 2
……………………………14 分

证法二:由(2)知

P( 1 2k

2

,

1) k



Q(?

1 2

,1? k 2k

2

)



PQ

的中点

C

的坐标为

1? k2 C( 4k 2

,

3

?k 4k

2

)

PQ

2

?

1? k2 ( 2k 2

)2

?

1? k2 (
2k

)2

所以圆 C

的方程为 (x

?

1? k2 4k 2

)2

?

(y

?

3?k2 4k

)2

?

1 4

[(12?kk2

2

)2

?

(1? k 2 2k

)2]

……………………………11 分

整理得

x2

?

1 2

x

?

y2

?

1 2

?

1 2k 2

(1 2

?

x)

?

(3

?k2 2k

)

y

?

0

……………………………12 分

上式对任意 k ? 0 均成立,

当且仅当

? ?

x2

?

?

1 2

x

?

? ? ?

1 2

?

x

?

0

?y ?0

y2

?

1 2

?

0
,解得

?? x ? ?? y

? ?

1 2 0

……………………………13 分

??

所以平面上存在定点 M (1 , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . 2

……………………………14 分

[来源:学科网 ZXXK]


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