河南省濮阳市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

2016-2017学年河南省濮阳市 高一(下)期末数学试卷(A卷)
  一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=(  )   A. {x|x>2} {x|1<x<3}   2.已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=(  )   A.   3.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人 ,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本 中的中年职工为5人,则样本容量为(  )   A. 7   4.回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计中,使函数Q(a,b)最小,Q函 数指(  )   A. (yi﹣a﹣bxi)2 B. |yi﹣a﹣bxi| B. 15 C. 25 D. 35 B. C. ﹣ D. ﹣ B. {x|x>1} C. {x|2<x<3} D.

  C. (y1﹣a﹣bx1)2  

D. |y1﹣a﹣bx1|

5.已知向量 =(2,4), =(﹣1,1),则2 ﹣ =(  )   A. (5,7) B. (5,9) 1 C. (3,7) D. (3,9)

  6.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正 品,一件次品的概率是(  )   A. 1   7.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函 数,则下列结论中正确的是(  )   A. f(x)g(x)是偶函数 f(x)|g(x)|是奇函数   8.已知直线l过点(﹣2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k 的取值范围是(  )   A. D.   9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  ) B. C. B. |f(x)|g(x)是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 C. B. C. D.

  A. 1  

B. 3

C. 7

D. 15

2

10.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是(  )

  A.

B.

C.

D.   11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

  A. 54  

B. 60

C. 66

D. 72

12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,则函数g( x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为(  )   A. {1,3} {﹣2﹣ ,1,3} 3 B. {﹣3,﹣1,1,3} C. {2﹣ ,1,3} D.

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.在正方形内有一扇形(见阴影部分),点P随意等可能落在正方形内,则这 点落在扇形外且在正方形内的概率为      .

  14.用辗转相除法求得459和357的最大公约数是      .   15.方程sinx+ .   16.已知单位向量 ﹣     三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量 ,所得数据整理后列出了频率分布表如下: 组 别 [145.5,149.5) [149.5,153.5) [153.5,157.5) [157.5,161.5) [161.5,165.5) 频数 1 4 20 15 8 4 频率 0.02 0.08 0.40 0.30 0.16 与 的夹角为α,且cosα= ,向量 =3 ﹣2 与 =3 cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于      

的夹角为β,则cosβ=      .

[165.5,169.5) 合 计

m M

n N

(1)求出表中m,n,M,N所表示的数; (2)画出频率分布直方图.

  18.已知A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)(0<α<π). (1)若| (2)若   19.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点 (1)求证:直线BD1∥平面PAC (2)求证:直线PB1⊥平面PAC. + ⊥ |= (O为坐标原点),求 与 的夹角;

,求tanα的值.

  20.已知函数f(x)=sin(3x+ (1)求f(x)的单调递增区间; 5 ).

(2)若α是第二象限角,f( 值.  

)= cos(α+

)cos2α,求cosα﹣sinα的

21.掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为x,乙出现的点数为y,若令P(A)为| x﹣y|>1的概率,P(B)为y   22.如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区 ,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相 切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A 位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO= . (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 的概率,试求P(A)+P(B)的值.

   

6

2016-2017学年河南省濮阳市高一(下)期末数学试卷(A卷) 参考答案与试题解析   一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=(  )   A. {x|x>2} {x|1<x<3} B. {x|x>1} C. {x|2<x<3} D.

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:直接利用交集运算求得答案. 解答: 解:∵A={x|x>2},B={x|1<x<3},

∴A∩B={x|x>2}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}.

故选:C. 点评:本题考查交集及其运算,是基础的计算题.   2.已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=(  )   A. B. C. ﹣ D. ﹣

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.

7

解答: 解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = 故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属 于基础题.   3.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人 ,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本 中的中年职工为5人,则样本容量为(  )   A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 =﹣ , =5.

考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:利用分层抽样知识求解. 解答: , 解得n=15. 故选:B. 点评: 本题考查样本容量的求法,是基础题,解题时要注意分层抽样知识的合 理运用.   4.回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计中,使函数Q(a,b)最小,Q函 数指(  ) 8 解:设样本容量为n,由题意知:

  A.

(yi﹣a﹣bxi)2

B.

|yi﹣a﹣bxi|

  C. (y1﹣a﹣bx1)2

D. |y1﹣a﹣bx1|

考点:线性回归方程. 专题:规律型;概率与统计. 分析: Q(a,b)是指所求的回归直线方程在x1,…xn各点的值与真实值y1,…yn 的误差的平方和,可得结论. 解答: 解:Q(a,b)是指所求的回归直线方程在x1,…xn各点的值与真实值y1 ,…yn的误差的平方和, 即Q(a,b)﹣ 故选:A. 点评:本题考查回归直线方程,考查基本概念,比较基础.   5.已知向量 =(2,4), =(﹣1,1),则2 ﹣ =(  )   A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9) (yi﹣a﹣bxi)2,

考点:平面向量的坐标运算. 专题:平面向量及应用. 分析:直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案. 解答: 解:由 =(2,4), =(﹣1,1),得:

2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7). 故选:A. 点评:本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算,是基础的计算题.   9

6.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正 品,一件次品的概率是(  )   A. 1 B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题. 分析: 根据已知中五件正品,一件次品,我们易得共有6件产品,由此我们先计 算出从中任取出两件产品的事件个数,及满足条件“恰好是一件正品,一件次 品”的基本事件个数,然后代入古典概型概率公式,可求出答案. 解答: 解:由于产品中共有5件正品,一件次品,故共有6件产品 =15种

从中取出两件产品共有:C62=

其中恰好是一件正品,一件次品的情况共有:C51=5种 故出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率P= 故选C 点评: 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,计算出满足条件的基 本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键.   7.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函 数,则下列结论中正确的是(  )   A. f(x)g(x)是偶函数 f(x)|g(x)|是奇函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 C. =

考点:函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 10

专题:函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函 数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积 是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与 一个偶函数的积是奇函数, 可得 f(x)|g(x)|为奇函数, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题 .   8.已知直线l过点(﹣2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k 的取值范围是(  )   A. D. B. C.

考点:直线与圆的位置关系;直线的斜率. 分析:圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围. 解答: 故 解:直线l为kx﹣y+2k=0,又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点 ∴

故选C. 点评:本题考查直线的斜率,直线与圆的位置关系,是基础题. 11

  9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )

  A. 1

B. 3

C. 7

D. 15

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,根据条件确定跳出循环的k值,计 算输出的S值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,

∵跳出循环的k值为3, ∴输出S=1+2+4=7. 故选:C. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能 是解题的关键.   10.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是(  )

12

  A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答: 解:由题意可知图象过(3,1),

故有1=loga3,解得a=3, 选项A,y=a﹣x=3﹣x=( )x单调递减,故错误; 选项B,y=x3,由幂函数的知识可知正确; 选项C,y=(﹣x)3=﹣x3,其图象应与B关于x轴对称,故错误; 选项D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x),当x=﹣3时,y=1, 但图象明显当x=﹣3时,y=﹣1,故错误. 故选:B. 点评:本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题.   13

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

  A. 54

B. 60

C. 66

D. 72

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及 相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的等腰直角三角形, ∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5 ∴几何体的表面积S= ×3×4+ ×3×5+ (5+2)×4+ (5+2)×5+3×5=60. 故选:B.

14

点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状 及数据所对应的几何量是解题的关键.   12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,则函数g( x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为(  )   A. {1,3} {﹣2﹣ ,1,3} B. {﹣3,﹣1,1,3} C. {2﹣ ,1,3} D.

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 首先根据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求 出g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决. 解答: 解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x, 令x<0,则﹣x>0, ∴f(﹣x)=x2+3x=﹣f(x) ∴f(x)=﹣x2﹣3x, ∴ ∵g(x)=f(x)﹣x+3 ∴g(x)= 令g(x)=0, 当x≥0时,x2﹣4x+3=0,解得x=1,或x=3, 当x<0时,﹣x2﹣4x+3=0,解得x=﹣2﹣ , ,1,3}

∴函数g(x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣ 15

故选:D. 点评:本题考查函数的奇偶性及其应用,考查函数的零点,函数方程思想.   二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.在正方形内有一扇形(见阴影部分),点P随意等可能落在正方形内,则这 点落在扇形外且在正方形内的概率为   .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 确定正方形、扇形的面积,结合几何概型的计算公式即可求得点落在扇 形外且在正方形内的概率. 解答: 解:令正方形的边长为a,则S正方形=a2,

则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形= πa2

则黄豆落在阴影区域内的概率P=1﹣

=



故答案为: 点评:



本题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识,考查运算求解能力 ,考查数形结合思想.解题的关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积, 属于基础题.   16

14.用辗转相除法求得459和357的最大公约数是 51 .

考点:辗转相除法. 专题:计算题. 分析: 用大数除以小数,得到商和余数,再用上面的除数除以余数,又可以得 到商和余数,继续做下去,知道刚好能够整除为止,得到两个数的最大公约数 . 解答: 解:∵459÷357=1…102,

357÷102=3…51, 102÷51=2, ∴459和357的最大公约数是51, 故答案为:51 点评: 本题考查辗转相除法,这是一个算法案例,还有一个求最大公约数的方 法是更相减损法,这种题目出现的比较少,但是要掌握题目的解法.   15.方程sinx+ cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于   .

考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值. 分析: 由三角函数公式可得sin(x+ )= ,可知x+ =2kπ+ ,或x+ =2kπ

+

,k∈Z,结合x∈[0,2π],可得x值,求和即可. 解:∵sinx+ cosx=1, 17

解答:

∴ sinx+

cosx= ,

即sin(x+

)= ,

可知x+

=2kπ+

,或x+

=2kπ+

,k∈Z,

又∵x∈[0,2π], ∴x= ,或x= ,



+

=

故答案为:



点评:本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.   16.已知单位向量 与 的夹角为α,且cosα= ,向量 =3 ﹣2 与 =3



的夹角为β,则cosβ= 

 .

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析: 转化向量为平面直角坐标系中的向量,通过向量的数量积求出所求向量 的夹角.

18

解答: 解:单位向量 与 的夹角为α,且cosα= ,不妨 =(1,0), =



=3

﹣2

=(

), =3



=(

),

∴cosβ=

=

=



故答案为:



点评:本题考查向量的数量积,两个向量的夹角的求法,考查计算能力.   三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量 ,所得数据整理后列出了频率分布表如下: 组 别 [145.5,149.5) [149.5,153.5) [153.5,157.5) [157.5,161.5) [161.5,165.5) [165.5,169.5) 合 计 频数 1 4 20 15 8 m M 频率 0.02 0.08 0.40 0.30 0.16 n N

(1)求出表中m,n,M,N所表示的数; (2)画出频率分布直方图.

19

考点:频率分布直方图;频率分布表. 专题:计算题;应用题. 分析: (1)由[145.5,149.5)组内频数是1,频率是0.02,求出频数M;各组 频数之和等于M,求出m,继而求得n,显然N=1 (2)根据样本的频率分布表,计算出每组的纵坐标= 图. 解答: 解: =50, ,画出频率分布直方

(1)由[145.5,149.5)组内频数是1,频率是0.02,则M= 各组频数之和等于M,所以m=50﹣(1+4+20+15+8)=2, n= =0.04,

各组频率之和N=1 (2)根据样本的频率分布表,计算出每组的纵坐标= 图. ,画出频率分布直方

20

点评: 本题主要考查频率分布直方图和表,还考查同学们通过已知数据作出频 数直方图、表的能力.属于基础题.   18.已知A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)(0<α<π). (1)若| (2)若 + ⊥ |= (O为坐标原点),求 与 的夹角;

,求tanα的值.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)由 =(2+cosα,sinα),利用向量模的计算公式可得(2+c ,又0<α<π,即可解得α.设

osα)2+sin2α=7,化简整理可得 与

的夹角为θ,θ∈[0,π].利用向量夹角公式即可得出. ,可得 =0,cosα+sinα= ,又sin2α+cos2α=1,联立解得

(2) 即可. 解答:

解:(1)由

=(2+cosα,sinα),|

+

|=



∴(2+cosα)2+sin2α=7, 21

∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7, 化为 ,

又0<α<π,解得





=

,设



的夹角为θ,θ∈[0,π].

则cosθ=

=



∴ (2)∵ ∵ ∴ ⊥

.即



的夹角为

. =(cosα,sinα﹣2).

=(cosα﹣2,sinα), ,

=cosα(cosα﹣2)+sinα(sinα﹣2)=1﹣2cosα﹣2sinα=0,

∴cosα+sinα= , 又sin2α+cos2α=1, ∵0<α<π, 联立解得 , .

∴ 点评:

=

=﹣



本题考查了向量模的计算公式、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关 系、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.   19.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点 (1)求证:直线BD1∥平面PAC 22

(2)求证:直线PB1⊥平面PAC.

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)直接利用三角形的中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的 判定定理得到结论. (2)利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直,进一 步利用线面垂直的判定得到结论. 解答: 证明:(1)长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点 连接AC和BD,相较于O,连接OP, 所以:OP∥BD1 BD1?平面PAC,OP?平面PAC 所以:直线BD1∥平面PAC (2)连接OB1,由于四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD BB1⊥平面ABCD 所以:AC⊥平面BB1D1D 则:AC⊥PB1 由于: 所以:PB1⊥OP 直线PB1⊥平面PAC

23

点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定,线面垂直的判定和性质的应用 ,属于基础题型.   20.已知函数f(x)=sin(3x+ (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,f( 值. )= cos(α+ )cos2α,求cosα﹣sinα的 ).

考点:两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性. 专题:三角函数的求值. 分析: 2kπ﹣ (1)令 ≤3x+ ≤2kπ+ ,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.

(2)由函数的解析式可得 f( )=sin(α+ ),又f( )= cos(α+ )cos2α,可得sin(α+

)= cos(α+

)cos2α,化简可得

24

(cosα﹣sinα)2= .再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cos α﹣sinα 的值. 解答: 解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+ ),令

2kπ﹣ 求得 ﹣

≤3x+

≤2kπ+

,k∈Z,

≤x≤

+

,故函数的增区间为[





+

],k∈Z.

(2)由函数的解析式可得 f( )=sin(α+ ),又f( )= cos(α+ )cos2α,

∴sin(α+

)= cos(α+

)cos2α,即sin(α+

)= cos(α+

)(c

os2α﹣sin2α), ∴sinαcos +cosαsin = (cosαcos ﹣sinαsin )(cosα﹣sinα)

(cosα+sinα) 即 (sinα+cosα)= ?(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα), 又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0, 当sinα+cosα=0时,此时cosα﹣sinα=﹣ 当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣ . .

综上所述:cosα﹣sinα=﹣

或﹣



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点评: 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨 论的数学思想,属于中档题.   21.掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为x,乙出现的点数为y,若令P(A)为| x﹣y|>1的概率,P(B)为y 的概率,试求P(A)+P(B)的值.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: 根据题意,用(x,y)表示同时投掷两枚骰子可能出现的点数情况,列 举可得全部情况,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:同时投掷两枚骰子,用(x,y)表示出现的点数情况,

有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共有36种情况, 事件A“|x﹣y|>1”所包含的基本事件有20种, ,

满足y



则当x=1时,y=1,2, 当x=2时,y=1,2, 当x=3时,y=1,2,3 26

当x=4时,y=1,2,3,4 当x=5时,y=1,2,3,4,5 当x=6时,y=1,2,3,4,5,6,共有2+2+3+4+5+6=22, 则. ,

则 点评: 本题考查等可能事件的概率,利用列举法是解决古典概型的概率的基本 方法,关键是正确列举同时投掷两枚骰子所得点数的全部情况.   22.如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区 ,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相 切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A 位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO= . (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

考点:圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 27

专题:直线与圆. 分析: (1)在四边形AOCB中,过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F,设出AF,然 后通过解直角三角形列式求解BE,进一步得到CE,然后由勾股定理得答案; (2)设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,设OM=xm,把PC、PQ用含有x的代数 式表示,再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x 的范围,得到x取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大. 解答: 解:(1)如图,

过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F, ∵∠ABC=90°,∠BEC=90°, ∴∠ABF=∠BCE, ∴ .

设AF=4x(m),则BF=3x(m). ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°, ∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m), ∴BE=(3x+60)m. ∵ ,

∴CE=

(m).



(m). 28

∴ 解得:x=20.



∴BE=120m,CE=90m, 则BC=150m; (2)如图,

设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P, ∵∠POM=∠PQC=90°, ∴∠PMO=∠BCO. 设OM=xm,则OP= m,PM= m.

∴PC= 设⊙M半径为R, ∴R=MQ=

m,PQ=

m.

m=

m.

∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m, 则R﹣AM≥80,R﹣OM≥80, ∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.

解得:10≤x≤35. ∴当且仅当x=10时R取到最大值. ∴OM=10m时,保护区面积最大. 29

点评: 本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题 意的理解,是中档题.  

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