广东省广州市实验中学2017-2018学年高三上第一次月考数学文科试题

广东省实验中学 2017-2018 高三第一次月考试题
文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定
区域内的相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。)
? 1.已知集合 A ? {cos 0? , sin 270 ?}, B ? {x | x2 ? x ? 0}则 A B 为 ( )

A.{0,-1}

B.{-1,1}

2.“ sin ? ? 1 ”是“? ? ? ”的( )

2

6

A.充分不必要条件

C.充要条件

C.{-1}

D.{0}

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知点 P(1,-1)落在角? 的终边上,且? ?[0.2? ) ,则? 的值为( )

A. ? 4

3?
B.
4

5?
C.
4

7?
D.
4

4.函数 f(x)是以 π 为周期的奇函数,且 f (? ? ) ? ?1 ,那么 f (9? ) 等于( )

4

4

A. ? 4

B. ? ? 4

C.1

D.-1

5、若 sin(? ? ? ) ? 3 ,则 cos(? ? ? ) =

6

5

3

()

A. ? 3 5

3
B.

4
C.

D. ? 4

5

5

5

6.已知函数 f (x) ? 3 ? ax 在区间(0,1)上是减函数,则实数 a 的取值范围是( )

A. (0,??)

B. (0, 1] 3

C. (0,3]

D. (0,3)

7.若 sin ? ? 3 cos? ? 0,0 ? ? ? 2? ,则α 的取值范围是:( )

?? A. ( , )
32

B. (? ,? ) 3

C. (? ,3? ) 32

D. (? , 4? ) 33

1

8.把函数 y ? sin(x ? ? ) 图像上各点的横坐标缩短为原来的 1 倍(纵坐标不变),再将图像

6

2

向右平移 ? 个单位,那么所得图像的一条对称轴方程为 ( ) 3

A. x ? ? ? 2

B. x ? ? ? 4

C. x ? ? 8

D. x ? ? 4

9、函数 f (x) ? x3 ? ax ? 1有极值的充要条件是 ( )

A. a ? 0

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0

10、已知函数 f(x)的定义域为[?1,5] ,部分对应值如下表。

f(x)的导函数 y ? f '(x) 的图象如图所示。
下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)在[0,1]是减函数;
②如果当 x ?[?1, t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;

③函数 y ? f (x) ? a 有 4 个零点,则1 ? a ? 2;

其中真命题的个数是( )

A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

第二部分 非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.曲线 y ? 2x ? x3 在 x=-1 的处的切线方程为__________________.

12.化简 cos27o cos33o ? sin 27o sin 33o =___________________.
13.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B、灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向,海上
停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 750 方向,与 A 相距 3 2 海里的 D 处:乙船位
于灯塔 B 的北偏西 600 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处,则两艘船之间的距离为____海里。

14.设 sin ? ? sin ? ? 1 ,不等式 sin ? ? cos2 ? ? m ? 0 对满足条件的?, ? 恒成立,则实数 3
m 的最小值为__________. 三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)
已知:集合 M ? {y | ( y ?1? m)(y ?1? m) ? 0 ,其中 m ? 0}
2

集合 N ? {y | y ? x ? 1 ,其中 x ? R 且 x ? 0} x
(1)求集合 N
(2)已知 P : y ? M : q : y ? N ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。
16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 2 cos2 (x ? ? ) ? sin 2x . 12
(1)若 f (?) ?1,? ?(0,? ) ,求 α 的值;
(2)求 f(x)的单调增区间.
17.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0
(1)求 f(x)的单调区间: (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点.求 m 的取值范 围。
18.(本小题满分 14 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,己知 c=2, C ? ? . 3
(1)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (2)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2sin 2A ,求△ABC 的面积.
19.(本小题满分 14 分)
已知: f (x) ? ax. ? x2 ? x ln a (a>0 且 a≠1)
(1)求 f(x)的最小值.
(2)若存在 x1、x2 ?[?1,1],使 f ? x1) ? f (x2) ? e ?1 成立,求实数 a 的取值范围.
3

20.(本小题满分 14 分)

已 知 函 数 f (x) ? ax2 ? 4x ? 2 满 足 对 任 意 x1, x2 ? R 且 x1 ?? x2 , 都 有

f

(

x1

? 2

x2

)

?

f (x1) ? 2

f (x2) .

(1)求实数 a 的取值范围;

(2)试讨论函数 y=f(x)在区间[-1,1]上的零点的个数;

(3)对于给定的实数 a,有一个最小的负数 M(a),使得 x ?[M (a),0]时,? 4 ? f (x) ? 4 都

成立,则当 a 为何值时,M(a)最小,并求出 M(a)的最小值.

4

参考答案

1-10 CDDCB CDADB

11. x ? y ? 2 ? 0

1
12.
2

13. 13

15.解:(1) y ? x ? 1 ,其中 x ? R 且 x ?? 0 ,可知: x

x>0 时, y ? x ? 1 ? 2 ,当且仅当 x=1 时取等号; x

……………2 分

x<0 时, y ? x ? 1 ? ?[?x ? (? 1 )] ? ?2 ,当且仅当 x=-1 时取等号;

x

x

4
14.
9
…4 分

? N ? {y | y ? 2或y ? ?2}

… 5分

注:利用函数的单调性处理相应计分

(2)由 ( y ?1? m)(y ?1? m) ? 0 ,其中 m ? 0 ?

M ? {y | y ? 1? m或y ? 1? m}
又 p 是 q 的充分条件,即 p ? q , 可知: M ? N 所以 1? m ? ?2且1? m ? 2 ,又 m>0
得实数 m 的取值范围为{m | m ? 3}。

....7 分
……8 分 …10 分 .........11 分
……12 分

16.解: f (x) ? 1? cos(2x ? ? ) ? sin 2x 6

.........2 分

? 1? cos2x cos? ? sin 2x sin ? ? sin 2x ? 1 ?

6

6

3 2

cos

2x

?

1 2

sin

2x

………4 分

? sin(2x ? ? ) ?1 3

……6 分

(1) f (? ) ? sin(2? ? ? ) ?1 ? 1 3

? sin(2? ? ? ) ? 0 ; 3

2? ? ? ? k? ,? ? k? ? ? (k ? z) ,又?? ?(0,? ) ?? ? ? 或 5?

3

26

36

…8 分

(2)f(x)单调增,故 2x ? ? ?[2k? ? ? ,2k? ? ? ] ,

3

2

2

…………10 分

即 x ?[k? ? 5? , k? ? ? ](k ? Z ) ,

12

12

从而 f(x)的单调增区间为[k? ? 5? , k? ? ? ](k ? Z )

12

12

………12 分

17.解析:(1) f ' (x) ? 3x2 ? 3a ? 3(x2 ? a) ,

…………1 分

当 a<0 时,对 x ? R ,有 f '(x) ? 0 ,

……………2 分

当 a<0 时,f(x)的单调增区间为 (??,??) ,

……3 分

5

当 a>0 时,由 f '(x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? a ;

… 4分

由 f '(x) ? 0 解得 ? a ? x ? a ,

…5 分

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为 (??,? a ), ( a ,??) ;f(x)的单调减区间为 (? a , a ) 。…7 分

(2)因 f(x)在 x ? ?1处取得极大值,所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1 …8 分

所以 f (x) ? x3 ? 3x ?1, f ' (x) ? 3x2 ? 3 ,由 f '(x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1。 ……9 分
由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3。 ………11 分 因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,

又 f (?3) ? ?19 ? ?3, f (3) ? 17 ? 1,

…12 分

结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1)。

18.解:(1)由余弦定理及已知条件得, a2 ? b2 ? ab ? 4 ,

又因为△ABC 的面积等于 3 ,所以 1 ab sin C ? 3 ,得 ab=4. 2

联立方程组

?a2 ?

?

b2

?

ab

?

4, 解得

a=2,b=2.

?ab ? 4,

…14 分 ………4 分 …………6 分

(2)由题意得 sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 4sin Acos A,

即 sin BcosA ? 2sin AcosA,

……………8 分

当 cosA=0 时, A ? ? , B ? ? , a ? 4

3 ,b ? 2

3
.

26

3

3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b=2a.

联立方程组

?a 2 ?

?

b2

?b ? 2a,

?

ab

?

4,

解得 a

?

23 3

,b

?

43 3

.

…………10 分 ………12 分

所以△ABC 的面积 S ? 1 ab sin C ? 2

3
.

2

3

…14 分

19.解析:(1)f(x)的定义域为 R, f '(x) ? 2x ? (a x ?1) ln a ,

……2 分

分 a>1 及 0<a<1 讨论可得,a>0 且 a ? 1时均有 x>0 时, f '(x) ? 0; x ? 0 时, f '(x) ? 0 ;…5 分

故 f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,? fmin (x) ? f (0) ? 1,……6 分 (2)存在 x1、x2 ?[?1,1] ,使 f (x1) ? f (x2) ? e ?1 成立 ? f (x1) ? f (x2 ) max ? e ?1

6

? fmax(x) ? fmin (x) ? e ?1,

……7 分

令 g(a) ? f (1) ? f (?1) ? a ? 1 ? 2 ln a , a

……8 分

g'(a) ? ( 1 ?1)2 ? 0,? g(a) 在(0,1)及 (1,??) 上单调递增. ……9 分 又 g(1)=0, a

①若 0 ? a ? 1, g(a) ? g(1) ? 0 ,? f (1) ? f (?1) ,? f max(x) ? f (?1) ,? 1 ? ln a ? e ?1 a
……10 分

令 h(a)

?

1 a

? ln

a , h'(a)

?

?

1 a2

?

1 a

?

0 ,∴h(a)在(0,1)上单调递减.

由 h(a) ? e ?1 ? h(1) ,?0 ? a ? 1 ,

e

e

……11 分

②若 a ? 1, g(a) ? g(1) ? 0 ,? f (1) ? f (?1) ,? fmax(x) ? f (1) ,?a ? ln a ? e ?1…12 分

令 p(a) ? a ? ln a, p'(a) ? 1? 1 ? 0 ∴p(a)在(1,+∞)上单调递增. a

? p(a) ? e ?1 ? p(e),?a ? e ,……13 分 综上得:a 的取值范围是 (0, 1] ?[e,??) ........14 分 e

20.(本小题满分 14 分)解:(1)? f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )

2

2

……1 分

?

a( x1

? 2

x2 )2

? b( x1

? x2 ) ? c 2

?

ax12

? bx1

? c ? ax22 2

? bx2

?c

?

?

a 4

(

x1

?

x2 )2

? 0 ,3 分

又? x1 ?? x2 .∴必有 a>0,∴实数 a 的取值范围是 (0,??) .

……4 分

(2) ? ?16 ? 8a ,由(1)知:a>0 ,所以△>0。 由 a>0,知对称轴 x ? ? 4 ? ? 2 ? 0 f (1) ? a ? 2 ? 0, f (?1) ? a ? 6
2a a
①当 0<a<6 时,总有 f(-1)<0,f(0)=-2<0,f(1)>0, 故 0<a<6 时,f(x)在[-1,1]上有一个零点:

………5 分 ……6 分

?a ? 0

②当

a>6

?

时,

??? ?

1

?

?

4 2a

?1

,即 a>6 时,f(x)在[-1,1]上有两个零点;

? f (1) ? a ? 4 ? 2 ? 0 ? ?? f (?1) ? a ? 4 ? 2 ? 0

...8 分

③当 a=6 时,有 f(-1)=0,f(0)=-2<0,f(1)>0,故 a=6 时,f(x)在[-1,1]上有两个零点。…9

分 综上:当 0<a<6 时,f(x)在[-1,1]上有一个零点;当 a ? 6 时,f(x)在[-1,1]上有两个零

点。 …10 分

(3)? f (x) ? ax2 ? 4x ? 2 ? a(x ? 2)2 ? 2 ? 4 ,显然 f(0)=-2,对称轴 x ? ? 2 ? 0 .

a

a

a

①当 ? 2 ? 4 ? ?4 ,即 0<a<2 时, M (a) ? (? 2 ,0) ,且 f [M (a)] ? ?4 .

a

a

…11 分

7

令 ax2

? 4x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?

?2?

4 ? 2a a

,此时 M(a)取较大的根,即

M (a) ? ? 2 ?

4 ? 2a a

?

? 2 ,?0 ? a ? 2,?M (a) ? 4 ? 2a ? 2

? 2 ? ?1 .……12 分 4 ? 2a ? 2

②当 ? 2 ? 4 ? ?4 ,即 a ? 2时, M (a) ? ? 2 ,且 f [M (a)] ? 4 .

a

a

令 ax2

? 4x ? 2 ? 4 ,解得 x ?

?2?

4 ? 6a a

,此时 M(a)取较小的根,即

………13 分

M (a)

?

?2?

4 ? 6a a

?

? 6 ,?a ? 2 ,? M (a) ? 4 ? 6a ? 2

? 6 ? ?3 .当且仅 4 ? 6a ? 2

当 a=2 时,取等号. ??3 ? ?1,∴当 a=2 时,M(a)取得最小值-3. ……14 分

8


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