2019年-高数-无穷级数-PPT精选文档_图文

第十一章
一. 主要内容 常数项级数:

无穷级数

1. 级数收敛的定义(部分和数列) 2. 级数的性质(1~5)

3. 正项级数审敛法(1~5)
4. 交错级数审敛法、绝对收敛与条件收敛 5. 常用来判断级数敛散性的已知级数 等比级数、调和级数、P—级数 注: 正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛.
1

P5

函数项级数: 6. 幂级数 ?
n?0

n ? ? a x ? x ? ? ? ? ? a ? a x ? x ? ? ? a x ? x ? ?n 0 0 1 0 n 0?
n

n n a x a ? a x ? ? ? a x ? ? n ? 0 1 n ? n?0

?

7. 幂级数的收敛性: 定理1 (阿贝尔定理)及其推论、定理2(收敛半径的求法)
收敛区间即收敛域的求法, 幂级数

?an?x ? x0 ?
n?0

?

n

8. 幂级数的和函数的性质(1~3) 怎样求和函数 9. 泰勒级数

? ? n ? ? ? ? ? ? f x f x 2 n 0 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f x ? f x ? f x x ? x ? x ? x ? ? ? x ? x ? ? 0 0 0 0 0 2 ! n !
2

定理: 设 f ?x?在 x 0 某邻域内有任意阶导数,则 f ?x?在该邻域内能展 成泰勒级数(3)的充分必要条件是

? ?? lim R x 0 . n
n ? ?

10. 函数展成幂级数: (直接法、间接法) 11. 可以直接引用的幂级数展开式 1 1 m x ? ? ? ? 、 、 ln 1 ? x 、 1 ? x 、 e 、 sin x 、 cos x 1 ? x 1 ? x 12. 傅立叶级数 ? 1 ? a 0 ? f ?x dx ? ? a0 ? ? ? a cos nx ? b sin nx ? n n ? ?? 2 n ? 1 1? 1? ?sin b x nxdx ?cos a x nxdx ? ? n ? 1 , 2 , ? , n ? ? f? n ? ? f? ? ? ? ? ? ?
3

收敛定理(狄利克雷充分条件) 设 f ?x? 是周期为 2? 的周期函数, 若它满足条件:

1).在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2).在一个周期内至多有有限个极值点. 则 f ?x?的傅立叶级数收敛, 并且 (1).当 x 是 f ?x? 的连续点时, 级数收敛于 f ?x?;

? ?. x ? 0 ? f? x ? 0 (2).当 x 是 f ?x? 的间断点时, 级数收敛于 f? 2
13.正弦级数、余弦级数(周期为2π、2l)

4

P15

考点: 1. 判定正项级数的敛散性 2.判定交错级数的敛散性 3.判定任意项级数的敛散性,绝对收敛与条件收敛 4.求幂级数的收敛半径、收敛域或收敛区间 5. 求 幂级数的和函数 6. 将函数展成幂级数 7求傅立叶系数,将函数展成傅立叶级数

5

二.例题 例1 判别下列级数的敛散性:

?1??
?

?

1 n n
n

,

n ?1

?2?? ?n!? 2n
? n ?1

2

2

,

? a 1 ?3?? 10 , ? ? ? ? 4 a?0 ,s ?0 . s n? 2 l n n n ? 1n
?

?
1

n

1 ? ? 1 解: ? n , n n
n ?1

(比较审敛法的极限形式)
n
? n

un 1 ? lim un ? n , 取 v n ? , 则 lim n? ? v n? n n n n
1

n

0? l? ??
所以, 由极限审敛法知, 该级数发散.

1 n

? lim

1 n

n? ? n

? 1? l

6

2 ? n!? ?2?? 2 , ? n?1

解:

2 ? ? ? ? ? n ? 1 ! u n ?1 lim ?lim ? 2 n ? ? n? ? u ? ? 2 n ? 1 n ?

2n

(比值审敛法)

? ?2?? limn 2 ? n! ? ? ?
? 2 n ?
2

n??

所以, 由比值审敛法知, 该级数发散.
1 ; (比较审敛法的极限形式) 10 n?2 ln n 1 10 n un 1 1 ln n ? lim 1 0 ? lim 解: un ? 10 , 取 v n ? , 则 lim n?? ln n n ? ? n? ? vn 1 n ln n n x 1 1 lim ? lim ? x ? lim ?x 由于 x??? 10 9 8 x ? ?? x ? ?? 10 ?9 ?ln x ln x 10 ?ln x

?3??

?

? ? ? lim

x ??? x ? ?? 10!

? 1 un . l ? lim ? ?? , ?? 10 发散 n? ? v n?2 ln n n

7

对于比较审敛法的极限形式: 若 l ??? , 则 ? v n 发散, n ?1 若 l ? 0, 则 ? v n 收敛, n ?1
? ?

? ?

?

n?1 ? n?1

u n 发散. u n 收敛.

un , ?lim ? ?? , 由无穷大的定义知, ? M ?0 ,? N?0 ,当 n?N n? ?v n
un un ? ? u n 发散. ? ? M, 即 u n ?Mv n, ? Mv n 发散, n ?1 vn vn n ?1 un ? lim ? 0, 由极限的定义知, ? ? ? 0, ? N?0 , 当 n?N , n?? v n
?
?

un un ?0 ? ? ?, vn vn

v 即u n ?? n,

?

?

n ?1

? v n 收敛, ? ? u n 收敛.
n ?1

?

8

n a ?4 ? ?a?0,s ?0 ?. ? s n ? 1n

?

解: lim

n

n? ?

an ns

? lim

a ns

n?? n

?a

1)当 a ?1 时, 级数收敛;

2)当a ?1时, 级数发散;
3)当 a ?1 时, 原级数变为?
? n?1

1 , s n

则当 s ?1时, 级数发散; 当 s ?1 时, 级数收敛。

9

例2 正项级数 证
?

?

?

? u ? ??un ? vn ? ?
2
?

n?1

un和

?

?

n ?1

v n 都收敛,证明级数

2 ? ? u ? v ? n n 也收敛。 n?1

?

n?1

n ? 1
?

2 n

? 2 u v v n n?
?

2 n
?

u? 2 u v? v ?? ? ? ?
? n ? 1 2 n ? ? n ? 1 nn n ? 1
2

2 n

u、 u v 、 v 只须证级数 ? ? ? n n n 都收敛即可。
n ? 1 2 n
2

n ? 1

n ? 1

? un 2 u , u lim 对于 ? n ? lim un ? 0 , 所以 ? n 收敛; n ? ? n ? ? un n ?1 n ?1 ? ? unvn ? limvn ? 0 , 所以 ? u n v n 收敛; 对于 ? u n v n , lim n?? n? ? u n ?1 n ?1 n

?

2

对于 ? v n ,
2 n ?1

?

vn lim ? limvn ? 0 , n? ? v n?? n

2

所以

?

?

n ?1

v n 收敛。

2

2 ? ? u ? v 即 ? n n 收敛。 n?1

?

10

例3 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ? sin ? ? ? ? n ? 1 ! n ? 1 n ? 1? n ? 1 n?1 n ? 1 ? ? ? n? 3 ? 1 . ? ??1 ? ln ; ? 2 ?1????1? ; ? ? ? 1 n?1 n n ? n? 1 n ? 1 n ? 1

? sin ? 1 1 n ? 1 ? , ? ? 1 u ? ? n ? 1 收敛。 解: n ? n ?1 n?1 ? n ?1 ? ?
?

?

?

n ?1

u n 收敛。 所以原级数绝对收敛。

11

n ? 1 ?2 ? ??1 ? ln ; ? n 1? ? n ? 1 ln ? 1 ? ? n n ? 1 ? 1 ? n? 1 ? ? ? ln ? ln 1 ? ? , lim 解: u ? n? ? lim ln 1 ? ln e? 1 ? ?? n 1 n?? ? n ? n? ? ? n? ? ? n 1 ? ? u n 发散。 ? 发散, n?1 n n ?1
? n ? 1

n ? 1 ? 1 ? ? ln ? ln 1 ? , 对于该交错级数,由于 v ? ? n n ? n ? 1? ? 1 ? ? ? ln 1 ?? ? v ? ln 1 ? ? ? ? 1)显然 v n n ? 1 ? 1 ? n ? ? n ?

? 1? lim v ln 1? ?? 0 ? 2) n ?lim n ? ? n ? ? ? n ?

n?1 n ? 1 ? ? ? ? 1 ln 条件收敛。 ? n n ? 1
?

12

? ? n ? 1 ! ? ? ? ? n?1 ; 3 ? 1 ? n
? n ? 1 n ? 1

解:

u n ?

?n?1 ? ! ,
n ? 1 n

u ? ? n ? 2 ! n ? 1 ? n ? 2 u ? ? n ? 1 n

? ? n ? 1 !
n ? 1 n

?

n? 2 ? n ? ?? ? n?1 ? n?1?

n?1

n ? 1 u n ?1 1 n?2 ? n ? n?2 1 n ? lim ?lim ?? ? ?1 ? ? ??lim n n? ? u n ? ? n? n ? ? 1 ?n?1? n?1 ? 1? n?1 e n ?1? ? ? n?

?

?

?

n ?1

u n 收敛, 因此,原级数绝对收敛。

13

例4 求下列极限:
n

1? ? 3 9 27 1 1 ? 1? n n ? ?n 1 lim ? k ?1? ? ; ? ? 2 lim 2 ?4 ?8 ? ? ?2 3 ? ? ? ?n n ? ? k? k ? 13 ? ? ?
2 k

1

1

1

?

? ?

?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? lim 1 ? ? 1 ? ? ? ? ?, 解: (1)由于 n ? ? k k ? ? 3? k 3? k ? k ? k ? 1 ? 1
n

2 k

?

2 k

1 ? 1? 考察级数 ? 3k ?1 ? k ? 的敛散性: ? ? k ?1
k ?lim k??

?

k2

1 ? 1? 1 1? e ? 1 ? 1? 1 ? ? l i m 1 ? ? ? ? ? ? ? 1, ? ?1 ? ? k 3 k??? k? 3 3k ? k ? k? k?1 3 ?

k2

k

?

?

k2

收敛。

1 ? 1 ? ? s, 设 ? k ?1 ? ? k? k ?1 3 ?
1 1 ? 1? 1 1? 1 ? ? lim ? k ?1? ? ? lim?lim 1 ? ? ??0 ? k n ? ?nk? n ? ? n ? ? k? n k 13 ? ? k ? 13 ?
n k2

?

k2

n

2 k

14

1 1 1? ?1 n n 3 9 27 3 ? ? ? 2 lim 2 ?4 ?8 ? ? ?2 ? n ? ? ? ? ? ? 1 1 n 1? 1 2 3 ?1 ? ? n n n 3 9 27 3 9 3 27 3 2 ?4 ?8 ?? ?2 解: l i m ? ??lim 2 ?2 ?2 ?? ?2 ? ? n ? ? n ? ? ? ? ? 1 2 3 ? ? ? ? ? n 3 ? ? ? ? ? n ?lim 23 9 27 3 ? 2 4 ? 4 8 n ? ? ?? n n 1 12 3 4 n ?limn n ? ? ?? ? ? ? ?n, ? n 收敛 设s n n?? 3 n?1 3 3 3 9 27 81 3 1 12 3 n ? 1n ? ? ?? ? ?n? , 则 s n n ? 1 1 ? 3 9 27 81 3 3 1 ? 1 1 ? ? ? 1 ? n n n 11 1 1 1 n 3 ? 3n ? 1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 ? ? ?n?n sn ? sn ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 3 3 9 27 81 3 3 3 1? 3? 1 1 ? ? ? ?1? ? ?1? ? 3 ? 3n n ? 3? 3n n ? 3 ? sn ? ? n?1 , lim sn ? lim ? n?1 ? n? ? 2? 2? 2 3 ? n?? 2 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 15

? ?

? ?

例5 求下列幂级数的收敛区间:
?

? 3n ?5n n n ? ? ? ? 2 n x ? 1 . ?1?? x; ? n n?1 n?1 n ? 1 n ? 1 n n n ? 1 n ? 1 a n ?1 3 ? 5 3 ? 5 3 ? 5 n ? 1 ? ? lim ? lim ? l i mn n ? 解: n?? a n ? ? n n ? ? 3? ? 1 n n 5 n

?3? ? ? ?3? 5 ?? 3 ?n ? 1 1 n?1 5 1 1 ?? ? ? 1? ? ? 5, ? R ? ? . ? lim ? ? n ? n? n?? ? ? 5 n ?? 5 ? ? n ?3? ? ? ?1 ?5? n n ? ? ?? 3 ?n ? 1 1 3 ? 5 1 当 x ? 时,幂级数成为? ? n ? ? ?? ? ? 1? 发散; 5 n 5 n?1 n ? n?1 ? ?? 5 ? ? n n n n ? ? n ? ? 1 ? ? ? 1 3 ? ? 3 ? 5 ? 1 ? ? 当 x ? ? 时, 幂级数成为 ? ? n ?? ?? ? ?1 ?收敛。 5 n ? n 5 n? 1 n ? 1 ? ??5? ? ? 1 1? 所以,该幂级数的收敛区间为: ? ? , ? . 交错级数 ? 5 5?
16

n

?2??n?x ?1?n;
n?1

?

解 令 t ?x? 1 ,
? ? lim
t ? 1,

n 则原级数变为? nt , n ?1

?

a n ?1 n ?1 ? lim ? 1, n?? a n?? n n

? R?1 .

即 x ?1 ?1,
? n ?1 ?
n?1

? 2 ? x ? 0 ,

2时, 当 x??

n ? ? 幂级数成为? ? 1 n,

该级数发散;

当 x ?0 时, 幂级数成为 ? n , 该级数发散;

??2,0?. 所以,该幂级数的收敛区间为:

17

例6 求下列幂级数的和函数:
2 n?1 2?n?1? ?1?? n x ; n ? 1 2
?

?2??n?x ?1?n .
n?1

?

2 n ? 12 n x 2 n ? 1 u 2 n ? 1 x 2 n ? 1 2 ? lim ? lim x ? 解 (1)lim n ? ?u n ? ? n ? ? 2 n ? 12 ? ? 2 2 n ? 1 2 ? ? n ? 1 n x n 2 x2 当 ? 1 时,即 x ? 2 时,幂级数收敛, 2 x2 当 ? 1 时,即 x ? 2 时,幂级数发散。 2 所以幂级数的收敛半径为 R ? 2

设该幂级数的和函数为 s?x?,
?

2 n ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ,2 . ?x ??? n x?n? ,x 即s n ? 1 2

?

?
18

利用和函数的性质,逐项求积分得
? 2 n ? 1x 2 1 2n?1 ? ? n ? 1 ? ? s x dx ? x dx ? x ? ? ? n ? n 0 0 n ? 1 2 n?1 2
x ?

? 2 ? x ? 2 ? x ? ??? s x , ?? 22 22 ? x ? ? x ? ?2 ? 2

x x 2 ? ? 2 x 2 ? x2 1? 2

?

?

?

?

s?x?在 x ?? 2 处不连续,

?

2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ? x , x ? ? 2 ,2 . 2 ? n 2 ? 1 2 2 ? x n
?

2 2 ? x

?

?

?

19

?2??n?x ?1?n .
n?1 ?1 ,则幂级数的收敛半径为 R?1 。当 x ?1 ? 1 解 ? ? lim n? ? n ? ?时幂级数收敛。 ? 0 ,2 时,即 x
n?1

?

设该幂级数的和函数为 s?x?, 则当 x ? ?时, ? 0 ,2

? ?x? ? , 1 n 1 ??? ?x?1 ? ??x? s?x n ?
n
n ? 1

?

?

??? ?x?1 ? s x n 令: 1?
n ? 1

n ? 1 ?

n ? 1

n ? 1

逐项求积分得:
? ??x ? 1? ? ? ? ? dx x dx ? n x ? 1 ? 1 ?s ??
x x n ? 1
n

?

?

1

n ? 1

1

n?1

x ?1 x ?1 ? , 1 ? ?x ? 1? 2 ? x

将上式两边求导得: s1?x? ?

?2? x?

1

2

.
20

??? ??? s x ? x ? 1 s x ? 1

当 x ?0时,幂级数成为 ? ?? 1? n, 该级数发散;
n

?2 ? x ?

x ?1

2

,
?

当 x ?2时, 幂级数成为 ? n , 该级数发散;
n?1

n ?1 ?

? ?? ? ? ? s x , x ? 0 , 2 2 ? ? 2 ? x

x ? 1

21

例7 将下列函数展成 x 的幂级数:

? ? ? ? 1 l n x ? x ? 1 ;
2

?2?

?2 ? x ?

1

2

.

2 ? ? x ? x ? 1 解 ln

??

? ? x?
1 2 ? 2

1?

x
2

? ? 1 ? x
? 1 x ?1
2

1 ? 2

x2 ?1 x ?1
?

? ? ? 1 ? ? 1 ?
n ? 1

?

n

? ? 2 n ? 1 ! ! n x ? ? 2 n ! !

? 1 ? x ? 1

?

? ? 2 n ? 1 ! !2 n ? ? ? ? 1 , 1 . x ,x 2 1 ?x ? ? 2 n ! ! n ? 1 ? x 1 ? 2 n ? 1 ! ! 2 n ? n ? 1 2 ? dx ? x ? ? ? ? 1 x ? ?0 1? x2 ? ln x ?x ? 1 ? ? ?? ? 2 n ! ! 2 n ? 1 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ! ! n ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 , 收敛; 1时, 幂级数成为 ? 当 x?? ? ? ?? ? 2 n ! ! 2 n ? 1 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ! ! n ? ? ? 1 ? ? 1 , 收敛; 当 x ?1 时, 幂级数成为 ? ? ? ?? ? 2 n ! !2 n ? 1 n ? 1 因此上面的展式在 ??1,1? 上成立。
1 ?1 ?x

?

?

? ? ? 1 ? ? 1 ?

n

22

?2?

?2 ? x ?

1

2

.
n

n ? 1 1 1 1 ? ? x? x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? x ? ? 2 , 2 . 解 ? , n ? 1 x 2? x 2 2 n ?0 ? 2 ? n ? 0 2 1? 2 ? ? ? n ? x ? ? nx n ?1 1 ? 1 ? ? ? ?? ?? ? ? , x ? ? ? ? 2 , 2 . n ?1 ? ? ? 2 ? n ?1 2 ? x ?2?x? ? ? n?0 ? 2 ? n ?1 2

n??1? ?? , 该级数发散; 2 2 n?1 ? ? n? 2n n 当 x ?2 时, 幂级数成为 ? n?1 ? ? 2 , 该级数发散; n? 1 2 n? 12
n?? 2? 2时, 幂级数成为 ? 当 x?? n?1 2 n?1
? n?1

?

n?1

n ? 1 nx ?? n?1 , x ? ? ? ? 2 , 2 . 2 ?2?x? n?1 2

1

?

23

例8 求下列数项级数的和 2 ? ? n ? 1 nn ? ? ? ??? 1 ; 2 ? 1 ; ? ? ? ? n ! 2 n ? 1 ! n ? 1 n ? 0
?

? ??? ?

2 n ? n ? 1 n 3? 1 n 2 n ? 0 ?

(补充)

? ? ? n2 ? ? n n ? 1 n n2 ? n ? n 解 ?1 ? ? ? ? ?? ? ? n ! n ! ! n! n ?1 n ? 1 n ? 1n n?1

? ? ??? 1 n ? 2 ? k ? n ? 1 n?n ? 1? ? n ?n ? ? n! ? ? ! n ? 2 ! n ? 2 n ? 2 n?1
?

1 ? k ! ?e k ?0

?

n ? 1 n ?1 ? l ?n! ? ??n?1?! ? n? 1 n? 1

?

?

?

l?0

1 ?e l!

n ?? ? 2e n ?1 n!

?

2

1 n e ?? x n?0 n!
x

?

24

n?1 ?2 ?? ??1 ? ?2 ? n?1 ! n ? 0
? n
?

n ? ? ?1 1?? , 由于 s in ? 2 n?1 ! n ? 0?

n ? ?1? cos 1? ? , 2n? ! n?0 ? ?

所以

n n ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 sin 1 ? cos 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ! 2 n ! n ? 0 n ? 0 ?

1 1? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ! 2 n ! n ? 0 ? ?
?

? n

? ? ? ? 1 ?
n ? 0

?

1 ? 2 n ? 1 n

? 1 n n ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ! n 2 n ? 1 ! ? 0
?

? ? ? ? 1 ?
n ? 0

?

n

n ? 1 1 ? ?? sin 1 ? cos 1 ? ? 2 n ? 1 ! 2
25

?3 ?? ? ?
n ? 0

?

2 ?1 n n ?n ?1 n

考查幂级数

??n ?n?1?x ,
? 2 n n?0

2

2 ? ? ? ? n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? lim ? 1 , 由于? n ? ?
?

n? n ? 1
2

? R ? 1

2 n ?? ? ? 设 S x ? n ? n ? 1 x , x ? ? 1 , 1 ?

n ?? ? ? 由于 S x ? n ? n x ? x , x ? ? 1 , 1 ? ? 2 n
n ? 2 ? ? 令 x ? n ? n x ? n ? n x ? x n ? n x ? ? ? n n ? 0 n ? 2 n ? 2

n ? 0 ?

?

?

? ? ?
? 2

n ? 0

?

?

?

n ? 0

? 2

? ?

? n 2 2

? ?

2 n ? 2 ?? ? ? 设 h x ? n ? n x , x ? ? 1 , 1 ? n ? 2
26

?

?

?

n ? 1 ? ? ? ? g x ? h x dx ? n x ? 两边求积分,得 ? 0 x

?

2 x n 再两边积分,得 ? g ? ? x dx ? x ? ? 0 1 ? x n ? 2 2 x 2 x ? x ?x ? ?x ?? h dx ? g 两边求导,得 ? 2 0 ? ? 1 ? x 2 2 2 x 再两边求导,得 h?x? ? , ?? ?x? ? 3 ?1 ? x? ?1 ? x?3 2 2 x 1 ?x ?? ? S ? ? ?3 1?x 1?x x ?

n ? 2

1 令 x?? , 2

1 2 ? n ?n?1 ? 1? 1 22 n 2 ??1 ? ? S?? ? ? ? ? ? n 3 1 27 2 ? 2? ? n ? 1 1? 1? ?1? ? 2 2? ?



27

? 的表达式为 ?? ,? 例9 设 f(x)是周期为2π的函数,它在 ? ? ? 0 , x ? ? ? , 0 ? ?? f? x ?x ? ? e, x ? 0 , ? ? 将 f ?x?展成傅立叶级数。


? ? ? k ? k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? 显然该函数在 x 处不连续.

但该函数满足收敛定理的条件, 所以 f ?x?的傅立叶级数在点 ? ? ? ? 0 ? 0 ? f 0 ? 0 0 ? 11 处收敛于 f ? ? x ? 2 k ? k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? f ? ? ? 0 ? f ? ? 0 0 ? e e 处收敛于 ? ? ? ? x ? 2 k ? 1 k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? ? ?. 2 2 2 ? x 1? 1 ? a x cos nx dx ? e cos nx dx n ? ? f?

?
?

? ??

0 ??

?x ? 1 x ? ? ?? ecos nx ? n e s in nx dx ? ? 0 0 ? ? ?
28

?

n ? n ? ? ? ? ? ? 1 e ? 1 2 ? ? ? 1 e ? 1 n x x ? ? ? ? na ? ?? ? ? e sin nx n e cos nx dx

? ?
?n ?1? ?
2

? ?

0

?
0

? ?

?

n

? a n

n ? ? ? ?1 e ?1 ? ,

a0 ?

e? ? 1

?

.

1 ? x 1? ? ? e sin nx dx ? b x sinx ndx n ? ? f?
? ??

?

0

? ?? ? n a n

?x ? 1 1? x x ? ? a cos ?? es in nx ? n ecos nx dx ? ? ? ? n ? ?e nx dx ? n ? 0 0 0 ? ? ? ?

?

?

f ?x?的傅立叶级数展式为

?? f?x

e ?1 2?

?

n? ? ? ? 1e ? 1 ? ? ? cos nx ? n sin nx ? 2 ? n? 1 ? n ? 1 ? ?

? ? x ? ? ? , ?? ,x ? n ? , n ? 0 , ? 1 , ? 2 , ?
29

例10. 解

x ? ?? ? ? x cos ? ? ? x ? ? 展开成傅立叶级数。 将函数 f 2
y

? 3?

??

O

?

3?

5?

x

?上满足收敛定理的条件, ?? ,? f ?x? 在 ?
将 f ?x?进行周期延拓为周期为 2? 的周期函数 F?x?, x ? ? ? ? , ? 且在 内, F ?? ?? ? ? x ? f x ? cos ? ? ? x ? ? . 2 易见 F?x? 处处连续. 因为F?x?是周期为2π的偶函数,按公式有

? ?? ,? 所以 F?x?的傅立叶级数在 ? 上收敛于 f ?x?
? ? b ? 0 , n ? 1 , 2 , 3 , ? . n

30

2? 2 ? x ? ? a ? f x cos nxdx ? ? cos cos nxdx n ? 0 0 ? ? 2 ? ? 1 1? ? ? 1 ?? ? ?? cos n ?? x ? cos n ?? x dx ? ? ? 0 ? ? ? 2 ? ? 2 ??
?

? ? 1? 1? ? ? s in n ? x s in n ? ? ? ? ?x? ? n ? cos n ?? 1? ? ?cos 2? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 2 n ? 1? 1 ? ? n? 1 ? ??2 n? ? ? 2 2 ? ?0 1 ? ? 1 ? ? 1 n ? 14 n ? 12 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 n? 1 ?4 ? ? ? ? ? n ? 0 , 1 , 2 , 3 , ? . 4 a0? , ?
? x24 cos nx n ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? f x ? cos ? ? ? 1 ? ? x ? ? 2 4 n ? 1 n ? 1

??

? ?

31

例11 将函数

1 , 0?x?h ? ??? f?x 0 , h?x?? ?

y
1

分别展成正弦级数和余弦级数。 1 , 0?x?h ? ??? 解 f?x 0 , h?x?? ?

O

h

?

? x

先求正弦级数: 将函数进行奇延拓 y ? ? a ? 0 n ? 0 , 1 , 2 , ? 1? n 2? ? ? ? ? ? b ? f x si nx n dx n ?? ? h O h 0 ??
?
? ? ? 2 1 ? cos nh ? ? ? ? ? 0 , h ? h , ? . ?? f x ?? sin nx , x ? n n ? 1

? ?, 2 1 ? cos nh ? sin nx dx 0 n ? ??
2
h

??1

? x

?

32

再求余弦级数:将函数进行偶延拓
2 h 2 ? 2h ? ? dx ? a0 ? ? f ?x? dx 0 ? 0 ? ?

y
1

2? ?cos a x nx dx n ? ? f?

?0
h

?? ? h O h

?

?

? x

2 sinnh , ? ? cos nx dx? 0 ? n?

2

? b ? 0? n ? 1 , 2 , ? n h 2?sin ?? ? ? nh f? x cos nx , x ? ? ? ? ? 0 , h ? h , ? . ? ?n ? 1 n

33


相关文档

2019年-高等数学无穷级数242297-PPT精选文档
2019年-高等数学无穷级数11-1-PPT精选文档
2019年-高等数学无穷级数11-22-PPT精选文档
2019年-高等数学幂级数-PPT精选文档
2019年-高等数学--幂级数-PPT精选文档
2019年-高数第五版1-4无穷小与无穷大-PPT精选文档
2019年-同济大学2019高数4章2节-PPT精选文档
2019年-高等数学1-1-PPT精选文档
2019年-高数11-2数项级数及审敛法-PPT精选文档
2019年-高等数学基本概念-PPT精选文档
学霸百科
电脑版 | 学霸百科