河北省石家庄市2013届高三质量检测(二) 数学理试题 Word版含答案

高三数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目 要求的.

1.

10 10 1 ? 2i 复数 = 1 ? 2i
B. 4-2i
2

A. -4+2i 2. A. C. 已知命题

C. 2-4i

D. 2+4i

p : ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 则 ? p 为
2

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

B. D.

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

3.中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为

2 ,则该椭圆的方程为 2

x2 y2 ? ?1 A. 16 12

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 8 4 B. 12 C. 12

x2 y2 ? ?1 4 D. 8

4. 设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),是变量 x:和 y 的 n 个样本点,直线 Z 是由这些样本点通过 最小二乘法得到的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 A. x;和 y 正相关 B. y 和 y 的相关系数为直线 I 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在-1 到 O 之间 D. 当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 5.在 ΔABC 中,角 A,B,C 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列,且 c= 2a,则 cosB 的值为

1 A. 4

3 B. 4

C.

2 4

D.

2 3

6.已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3) ,Sn= 100,则 n 的值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7.在圆的一条直径上, 任取一点作与该直径垂直的弦, 则其弦长超过该圆的内接等边三角 形 的边长的概率为

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

D.

3 2

8.阅读程序框图(如右图) ,如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输 入的 实数 x 的取值范围是 A. B.

{x ? R | 0 ? x ? log2 3}
{x ? R | ?2 ? x ? 2}

1

C. D.

{x ? R | 0 ? x ? log2 3, 或x ? 2} {x ? R | ?2 ? x ? log2 3, 或x ? 2}

9.下图是两个全等的正三角形.给定下列三个命题:①存 在四 棱锥,其正视图、侧视图如右图;②存在三棱锥, 其正视图、侧视图如右图;③存在圆锥,其正视图、侧 视图如右图.其中 真命题的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. O

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 10.F1,F2 分别是双曲线 a 的左、右焦点,过
F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别 交于 A、B 两点.若Δ ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 A. 2 B.

7

C.

13

D.

15

11.设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则 A. X1x2<0 B. X1x2=1 C. X1X2>1

D. 0<x1x2<1

12.已知直线 l 垂直平面 a,垂足为 O.在矩形 ABCD 中 AD=1,AB=2,若点 A 在 l 上移动,点 B 在平面 a 上移动,则 O、D 两点间的最大距离为 A.

5

B.

2 ?1

C.

3

D. 3 ? 2 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 0

? (x

2

3

? 1)dx
的值为_________.

14.有 4 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有 1 人参加,每名同学只参 加一 项比赛,另外甲同学不能参加跳舞比赛,则不同的参赛方案的种数为_____(用数字作 答). 15.在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,则:

AE.AF 的最大值为______:
16.对于一切实数 x、令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.

n a n ? f ( ), n ? N * 3 若 ,Sn 为数列{an }的前 n 项和,则 S3n 的值为_______

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 4coxcox ( x ? (I)函数 f(x)的最小正周期;

?
3

) -2

[?
(II)求函数 f(x)在区间

? ?

, ] 6 4 上的最大值和最小值.

18.(本小题满分 12 分) 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质 测试,随机抽取 了部分学生的成绩,得到如图所示的成绩 频率分布直方图. (I )估计全市学生综合素质成绩的平均值; (II)若评定成绩不低于 8o 分为优秀.视频率为概率,从 全市学生中任 选 3 名学生(看作有放回的抽样) 变量 ? 表示 3 名学生中成绩优秀的 , 人数,求变量 ? 的分布列及期望 E (? )

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B2C3,侧面 BCC1B2 丄底面 ABC. (I)若 M、N 分别是 AB,A1C 的中点,求证:MN//平面 BCC1B1 (II)若三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角为 60°.问在线段 A1C1 上是否存在一点 P,使得 平面 B1CP 丄平面 ACC1A12,若存在,求 C1P 与 PA1 的比值, 若不存在,说明 理由.

20.(本小题满分 12 分) 已知直线 l1:4x:-3y+6=0 和直线 l2 :x= ?

2 ,.若拋物线 C:y2=2px 上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离 p

之和的最小值为 2. (I )求抛物线 C 的方程; (II)若以拋物线上任意一点 M 为切点的直线 l 与直线 l2 交于点 N,试问在 x 轴上是否存 在定 点 Q,使 Q 点在以 MN 为直径的圆上,若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由.

3

21.(本小题满分 12 分) 已知函數 f(x)=ln+mx2(m∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间;

? (II)若 m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数 f(x)图象上不同的两点,且 a>b>0, f (x) 为 f(x)的导
f ?(
函数,求证:

f (a) ? f (b) a?b )? ? f ?(b) 2 a?b

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ... ? (n ? N *) 2n ? 1 2 3 n (III)求证 3 5 7

请考生在 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, 是 O 的直径, 为圆 0 的切线, c 为 o 上不同于 A、 的一点, 为 ?BAC AB BE 点 B AD 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (I )求证:BD 平分 ?CBE (II)求证:AH.BH=AE.HC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为 极 点 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 :

3? 2 ? 13? cos? ? 10( ? ? 0)
(I)求曲线 C1 的普通方程;

x2 y2 ? ?1 4 (II)曲线 C2 的方程为 16 , P、 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点, 设 Q 求|PQ|
的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1| (I )解关于 x;的不等式 f(x)+x2-1>0; (II )若 f(x)=-|x+3|m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围.

4

2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 高三数学(理科答案) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1-5 ADDCB 6-10 CCCAB 11-12DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 6

14. 24

9 15. 2

3 2 1 n ? n 2 16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (原则上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ? 4 cos x cos( x ? ) ? 2 3 解: (Ⅰ)因为

?

1 3 ? 4cos x( cos x+ sin x) ? 2 ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?1 ……………2 分
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ………………4 分
所以 f (x) 的最小正周期为 ? .……………6 分

?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

,

所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6
?

?

2? . 3 ……………8 分
, 即x ?

2x ?
于是,当

?
6

?
2

?
6 时,

f (x) 取得最大值 1;…………10 分
2x ?


?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—2.……………12 分

?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意可知

55 ? 0.12 ? 65 ? 0.18+75 ? 0.40+85 ? 0.22+95 ? 0.08 ……………3 分
=74.6
5

所以综合素质成绩的的平均值为 74.6.……………5 分

( 008+0. ) . , 022 =0 3 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为 10 ? 0.

? ? B (3,
由题意知 故其分布列为

3 3 7 ) p (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 10 , 10 10
0 1 2 3

p
?
………………9 分

343 1000

441 1000

189 1000

27 1000

E (? ) ? 3 ?

3 9 ? 10 10 .………………12 分

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )证明:连接 AC1,BC1, AN ? NC1 ,因为 AM=MB,所以 MN // BC1 . ……………2 分 则 又 BC1 ? 平面.BCC1 B1 , 所以 MN// 平面.BCC1B1 .…………4 分 (Ⅱ)作 B1O ? BC于O , 因为面 BCC 1 B1 ? 底面 ABC 所以 B1O ? 面ABC 以 O 为原点,建立如图所示空间直角坐 标系,则

A(0,3,0) ,B(-1,0,0),C(1,0,0)
B1 (0, 3) .由 AA ? CC1 ? BB1, 0, , 1 可求出 A1 (1 3,3),C1 (2,0,3)
…………6 分 设 P(x,y,z), A1C1 ? ? A1 P

1 3 P( ? 1,3 ? , 3)
.解得

?

?

,

CP ? ?

1 3 ( ,3 ? , 3)

?

, CB1 ? (?1,0,3) .

设平面 B1CP 的法向量为

n1 ? (x,y,z)

6

??? ? ? n1 ? CP ? 0, ? 由 ? ???? ?n1 ? CB1 ? 0, ?

解得

n1 ? ( 3,

1? ? ,1) 1-? ………8 分

同理可求出平面 ACC1 A1 的法向量

n2 ? ( 3,1,-1) .…………10 分
3? 1? ? -1 ? 0 1- ?

n ? n ? 0 ,即 由面 B1CP ? 平面 ACC1 A1 ,得 1 2

1 解得: ? ? 3, 所以A1C1 ? 3 A1 P,从而C1 P : PA ? 2. ………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )由定义知 l 2 为抛物线的准线,抛物线焦点坐标

p F ( ,0 ) 2

由抛物线定义知抛物线上点到直线 l 2 的距离等于其到焦点 F 的距离. 所 以 抛 物 线 上 的 点 到 直线 l1 和 直 线 l 2 的 距 离 之 和 的最 小 值 为 焦 点 F 到 直 线 l1 的 距 离.…………2 分

2?
所以

2p ? 6 5
,则 p =2,所以,抛物线方程为 y ? 4 x .………………4 分
2

(Ⅱ)设 M

( x0 , y0 ) ,由题意知直线 l 斜率存在,设为 k,且 k ? 0 ,所以直线 l 方程为

y - y0 ? k ( x - x 0 ) ,
2 ky - 4 y ? 4 y0 - ky0 ? 0. 代入 y ? 4 x 消 x 得:

2

2

2 ? ? 16-4k (4 y0 -ky0 ) ? 0,得k ?



2 . y0 ………………6 分

2 y0 - 4 2 y - y0 ? (x - x 0 ) N (?1, ) y 2 ? 4x0 得 y0 2 y0 所以直线 l 方程为 ,令 x=-1,又由 0

设 Q(x1 ,0) 则

QM ? ( x0 - x1 , y0 ), QN ? (-1 - x1 ,

2 y0 - 4 ) 2 y0

???? ???? ? QM ? QN ? 0, ……………8 分 由题意知
即(x0 -x1 )(-1-x1 ) ?
2 y0 -4 ?0 y 2 ? 4x0 代入左式, 2 ,把 0

得:

2 ( - x1 )x0 ? x1 ? x1 - 2 ? 0 ,……………10 分 1

7

因为对任意的

x0 等式恒成立,

? 1-x1 ? 0, ? 2 x ? x1 -2 ? 0. 所以 ? 1
所以 x1 ? 1 即在 x 轴上存在定点 Q(1,0)在以 MN 为直径的圆上.……………12 分 21. (本小题满分 12 分)

( ? 解: )f(x)的定义域为 0, ?) (Ⅰ ,

f ' ( x) ?

1 1 ? 2m x2 ? 2m x ? x x

当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增; 当m ? 0时,由f'(x) ? 0得x ? x ? (0,-

1 2m

1 1 ) (0,) 2m 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 2m 上单调递增;

x ?( -

1 1 ,??) ( ,??) f ' ( x) <0, f (x) 在 2m 2m 时, 上单调递减.

综上所述: 当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增.

f 当m ? 0时, (x) 在

(0,-

1 1 ) ( ,??) 2m 上单调递增,在 2m 上单调递减.…………3 分

f (a) ? f (b) 1 a a a ? ln ? ? 1 ? t ? 1, a ?b b ,只需证 b b ,令 b (Ⅱ)要证 即证 ln t ? t ? 1 ? 0 ,

1 g (t ) ? ln t ? t ? 1, g ?(t ) ? ? 1 ? 0 t 令 ,
因此 g (t ) ? g (1) ? 0 得证.…………………6 分

a 2( ? 1) a ln ? b ln a ? ln b 2 a b ? ?1 a ? b ,只要证 b 要证 a ? b ,
a ? t ?1 令b ,只要证 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1) ? 0 ,

1 h(t ) ? (t ? 1) ln t ? 2t ? 2, h?(t ) ? ln t ? ? 1 t 令 ,
8

1 1 h??(t ) ? ? 2 ? 0 ? ? t t 因此 h (t ) ? h (1) ? 0 ,
所以 h(t ) ? h(1) ? 0 得证.………………9 分 另一种的解法:

a 2(t -1) h(t )= ln t t +1 , 令 b = t >1 ,

1 4 t 2 +2t -3 h?(t )= = >0 t t +1 t (t +1)2 则
所以 h(t ) 在 (1,+?) 单调递增,

t >0 ,

h(t )>h(1)=0,

a 2( -1) a ln > b , a b +1 b 即 得证.
2 ln a ? ln b 1 2 1 ? ? ? ln(n ? 1) ? ln n ? a ?b b ,( a ? b ? 0 ) n (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? b ,则 2n ? 1

ln(n ? 1) ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? .......(ln 3 ? ln 2) ? (ln 2 ? ln1)
2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ......... ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ...... 2n ? 1 2 3 n .………………12 分 所以 3 5 7
请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)由弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB 由 ?DBC ? ?DAC , ?DAB ? ?DAC 所以 ?DBE ? ?DBC , 即 BD平分?CBE. …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BE ? BH . 所以 AH ? BH ? AH ? BE ,……………7 分 因为 ?DAB ? ?DAC , ?ACB ? ?ABE , 所以 ?AHC ∽ ?AEB , 9
B O C H D E

…………2 分

A

AH HC ? BE ,即 AH ? BE ? AE ? HC …………10 分 所以 AE
即: AH ? BH ? AE ? HC . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 解:(Ⅰ)原式可化为 (x ? y ) ? 12x - 10,…………2 分
2 2

( x - 2) 2 ? y 2 ?


2 . 3 ……………4 分

(Ⅱ)依题意可设 Q(4 cos? ,2 sin ? ), 由(Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0) 。

QC ? ( 4 c o s - ? ) ? 22

2 4?s ? n i

2 1 2 c o s? ?- 1 6 c o s ?

8

2 2 ? 2 3( cos ? - ) 2 ? 3 3 ,……………6 分
QC min ? 2 6 3 ,…………8 分 6 3 .…………10 分

所以

PQ min ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2

x -1 ? 1- x2
……………2 分

由 x - 1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2
2 2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ……………5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 令 由

x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空.
,即

h( x) ? x - 1 ? x ? 3

h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m
,所以 h( x) min ? 4 ,

,…………8 分

x -1 ? x ? 3 ? x -1- x - 3 ? 4

所以 m ? 4 .………………10 分 ks5u.com

10


相关文档

河北省石家庄市2013届高三质量检测(二)数学(理)试题 Word版含答案
河北省石家庄市2013届高三质量检测(二)数学(文)试题 Word版含答案
河北省石家庄市2013届高三质量检测(二)数学文试题 Word版含答案
河北省石家庄市2013届高中毕业年级质量检测(二) 数学理试题(word版)
河北省石家庄市2013届高三质量检测(二)数学(理)试题 Word版含答案.pdf
河北省石家庄市2013届高三毕业班复习教学质量检测(一)数学(理)试题 Word版(附答案)
河北省石家庄市2013届高三毕业班复习教学质量检测(一)数学(理)试题 Word版含答案
河北省石家庄市2013届高三质量检测(二)数学(文)试题 Word版含答案.pdf
河北省石家庄2014届高三第一次教学质量检测(期末)数学理试题 Word版含答案
河北省石家庄市2013届高中毕业班教学复习质量检测(一)数学理试题(WORD版)
电脑版