【新】安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

小中高 精品 教案 试卷

2017 学年第一学期高一期中考试数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设全集 A. 【答案】B 【解析】由 ,故选 B. 2. 下列函数中,是同一函数的是( A. C. 【答案】D 【解析】逐一考查所给函数的性质: 与 与 B. 与 D. 与 ) ,集合 , 得: ,则 B. C. ,集合 D. , ,则 ( )

A.

与函数

对应关系不一致,不是同一个函数;

B.两函数的对应关系不一致,不是同一个函数; C.函数 D.函数
与 的定义域为 ,函数 的定义域为 R,不是同一个函数;

定义域和对应关系都相同,是同一个函数.

本题选择 D 选项. 点睛:判断两个函数是否为相同函数.一是定义域是否相同,二是对应关系即解析式是否相 同(注意解析式可以等价化简). 3. 设 A. 0 B. 1 C. 2 ,则 D. 3 的值为( )

【答案】B 【解析】当 时, ,故选 B. 4. 函数 一定存在零点的区间是( ) ,故 ;当 时, ,故

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A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】∵函数 , ∴ 存在零点,故选 A. 5. 令 A. 【答案】C , B. ,

在 上的连续函数,∵ , 由函数零点的判定定理可知: 函数

, 在区间 内

,则三个数 C.

的大小顺序是( D.



6. 函数





)的部分图像可能是(



A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】对于 A,B:当 a>1 时, 对于 C,D:当 0<a<1 时, 7. 已知函数 A. 【答案】A 【解析】试题分析:函数 的定义域为 函数 ,因此对于 ,故选择 A. 定义域是 ,即 ,则必须满足 ,从而知 ,从而 ,所以 ,即 B. 定义域是 C. ,显然 A,B 都不符合; ,显然 D 符合. ,则 D. 的定义域是( )

的定义域为

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考点:复合函数的定义域. 8. 设函数 A. 【答案】D 【解析】∵函数 上单调递增,∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,即函数 ,即 为偶函数且在 ,故选 D. ,则使得 B. 成立的 的取值范围是( C. D. )

点睛:本题考查利用函数的单调性与奇偶性的结合解不等式问题,属于中档题;由题意,函 数是偶函数,在 上单调递增, ,化为 ,最后转化为关于 的一元

二次不等式,从而可得 的取值范围. 9. 已知函数 的取值范围为( A. 【答案】D 【解析】对任意的实数 ,都有 成立,可得函数图象上任意两点连线的斜率 B. ) C. D. 满足对任意的实数 都有 成立,则实数

小于 0,即函数为减函数,可得:

,解得

,故选 D.

点睛:本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及对数函数的性质的应用,考查基本知识 的应用;要使分段函数单调递减,必须满足左段单调递减,右段单调递减,同时最容易遗漏 的是左端的最小值不小于右段的最大值. 10. 已知定义在 上的奇函数 的图像关于直线 ) 对称,且 ,则

的值为( A. -1 【答案】A 【解析】定义在 上的奇函数 ∴ ∵ ,∴ ,即 , B. 0 C. 1 D. 2

的图象关于直线 ,∴ ,

对称,∴ ,故函数 ,

, 的周期为 4, ,则 ,故选

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A. 11. 已知 ( A. 【答案】C 【解析】方程化为一般形式得: ∴ , , , , ,∵ 是方程 的两根, ) B. C. D. ,并且 是方程 的两根,实数 的大小关系可能是

,又二次函数图象开口向上,所以实数

的大小关系可能是 12. 已知函数 值范围( A. 【答案】B 【解析】令 知当由 ) B.

,故选 C. ,若方程 有六个相异实根,则实数 的取

C.

D.

,则原函数方程等价为 时,函数 有 3 个交点,所以要使 , ,令

,作出函数 f(x)的图象如图 1:图象可 有六个相异实根,则等 ,则由根的分布(如图 2)可得

价为有两个根 , ,且

,即

,即

,解得

,则实数 的取值范

围是

,故选 B.

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点睛:本题考查复合函数零点的个数问题,以及二次函数根的分布,解决本题的关键是利用 换元,将复合函数转化为我们熟悉的二次函数,换元是解决这类问题的关键;先将函数进行 换元,转化为一元二次函数问题,同时利用函数 根的分布问题,确定 的取值范围 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知函数 【答案】 【解析】本试题考查了函数的奇偶性。 解: 为偶函数 ,即 解得: 为偶函数,所以其定义域一定是关于原点对称 ,解得: 是偶函数,且其定义域为 ,则 __________. 的图象结合数形结合思想及一元二次函数

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14. 函数 【答案】(-3, 【解析】由 口向下,对称轴为 单调递增区间,等价求 的单调递增区间为 15. 定义运算 【答案】 【解析】由题意可得, 是 ,故答案为 . 与函数 为:

的单调递增区间为__________. 或(-3,-1) 得 ,∵ ,即函数 的定义域为 ,设 ,则抛物线开 的 ,∴函数

在定义域内单调递增,∴要求函数 的递增区间,∵ 的递增区间是

,故答案为

. ,例如: ,则 的取值范围是__________.

,∵

时,

,综上可得,

的取值范围

16. 若函数 是__________. 【答案】 【解析】当 或





)的图像有且只有一个公共点,则的取值范围

时,作出函数

图象:

若直线 解得 或 或

与函数 ; 当 或

的图象有且只有一个公共点,由图象可知 时, 类似可得 . 或





, 无解, 综上可得的取值范围是

,故答案为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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17. 已知全集 (1) (2)若 【答案】 (1) ;

,集合





.

,求实数的取值范围. ; (2) .

【解析】试题分析: (1)先求出集合 A,B,再求出 A 补集与 B 的交集; (2)借助集合的包含关 系建立不等式求解: (1)∵ ∵ (2)当 当 ∴ 时, ,则 ,∴ ,即 . ; , , . . , ,∴ ,∴ ; . .

时,要

综上,实数的取值范围为 18. 计算: (1)

(2) 【答案】 (1)-3; (2) 【解析】试题分析: 试题解析: (1)原式 .

.



............

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19. 已知函数 (1)当 (2)若 时,求 的值域;

.

的值域为 ,求实数 的取值范围. ; (2)0 m 时, 或m ,利用二次函数的性质求出真数部 的值域为 等价于

【答案】 (1)

【解析】试题分析: (1)当

分的范围,根据对数函数的单调性可求出值域; (2) 的值域包含 试题解析: (1) ∴ ,故可分为 时, ,值域为 及 两种情形. ,∵



(2)①当 m=0 时,满足题意,②当 m≠0 时, 所以 0 m 20. 设 或m ,已知函数 .

解得 0<m

或m

(1)若函数 (2)求函数 【答案】 (1)

的图像恒在 轴下方,求的取值范围; 在 上的最大值 .

; (2) 在 轴下方,即等价于 的对称轴为 ,分为 , ,可解得 和

【解析】试题分析: (1)二次函数 参数范围; (2)函数

三种情形,结合二次函数的单调性可得其最大值. 试题解析: ( )若函数 故的取值范围是 ( )函数 减函数,∴ 在 上是减函数, ∴ . 的对称轴为 ;当 ,当 时,即 ; 当 即 即 时, 时, 在 在 在 上是 的图象恒在 轴下方,则 ,即 ,解得: ,

上是增函数, 上是增函数,

时,



,综上所述,

点睛:本题主要考查了二次函数恒成立问题以及利用数形结合的思想,分类讨论的思想求含
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有参数的二次函数最值问题,难度一般;常见的讨论形式有:1、对二项式系数进行讨论,分 为等于 0,大于 0,小于 0;2、对函数的对称轴和所给区间进行讨论. 21. 已知定义域为 的函数 (1)求 的值; (2)判断函数 (3)当 【答案】 (1) 的单调性,并用定义证明; 时, 恒成立,求实数 的取值范围. . 是奇函数.

; (2)见解析; (3)

【解析】试题分析: (1)由函数 f(x)为 R 上的奇函数,有 f(0)=0,可求出 b 值,再由 f(1)=﹣f(﹣1) ,可求出 a 值.(2)用定义法证明函数的单调性,需按取值、作差、判断 符号、下结论等步骤进行. (3)由 f(x)是 R 上的奇函数且 f(kx )+f(2x﹣1)>0,可得 f(kx )>f(1-2x), 又由 f(x)在 R 上单调递减,有 kx <1-2x.原问题等价于对任意
2 2 2

都有 kx <1﹣2x 成立,采

2

用分离常数法将不等式转化为 k<

,则需 k<

即可,最终问题转化为求 g(x)

= 试题解析:



的最小值问题.

(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0?

,解得 b=1,

f(x)=

,又由 f(1)=﹣f(﹣1)?

,解得 a=2.

(2)证明:由(1)可得:f(x)=



? x1<x2 , ∴



则 f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x1)>f(x2) . ∴f(x)在 R 上是减函数. (3)∵函数 f(x)是奇函数.
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,

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∴f(kx2)+f(2x﹣1)>0 成立,等价于 f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x)成立, ∵f(x)在 R 上是减函数,∴kx2<1﹣2x, ∴对于任意 ∴对于任意 设 g(x)= ∴g(x)= 令 t= ,t∈[ ,2], 则有 ,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=﹣1 , , 都有 kx2<1﹣2x 成立, 都有 k< ,

∴k<﹣1,即 k 的取值范围为(﹣∞,﹣1) 点睛:应用定义法证明函数的单调性难点在于 f(x1)﹣f(x2)符号的判断,一般需对 f(x1)﹣f(x2)进行适当的代数变形,将差转化为乘积或商数的形式,再判断符号;恒成立 问题一般需转化为函数的最大值最小值问题,需注意分离常数等方法的使用. 22. 定义在 上的函数 称 ,如果满足:对任意 ,存在常数 ,都有 . 上是否为有界函数,请 成立,则

是 上的有界函数,其中 称为函数 时,求函数 在

的上界,已知函数 在

(1)当 说明理由;

上的值域,并判断函数

(2)若函数



上是以 4 为上界的有界函数,求实数的取值范围. ,不是有界函数; (2) .

【答案】 (1)值域为 【解析】试题分析: (1)把

代入函数的表达式,得出函数的单调区间,结合有界函数的 对 , 恒成立,令 , 对

定义进行判断; (2)由题意知, 恒成立,设 值. 试题解析: (1)当 ∵ 常数 在 ,使 时,

,求出单调区间,得到函数的最值,从而求出的

,令 ,即 在

,∵

,∴



; ,故不存在

上单调递增,∴ 成立.∴函数 在

上的值域为

上不是有界函数.
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(2)由题意知, ∴ .∴ , 上的最大值为 .

对 对 ,由 ,

恒成立,即: 恒成立,∴ ,由于 在 在

,令

,∵ ,设



上递增,



上递减,



上的最小值为

,∴实数的取值范围为

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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