从一道高考题谈有棱二面角的平面角的求法


从一道高考题谈有棱二面角的平面角的求法
对于二面角的平面角的求法, 是立体几何教学的一个难点. 也是高考的经常出现的题型, 下面结合 2013 年辽宁卷理科第 17 题谈一谈有棱二面角的平面角的求法. 如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC;证明:略 (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C?PB?A 的余弦值. (2013 辽宁卷理) 一、定义法 在二面角的棱上找一点,在两个半平面分别作出垂直于棱的射线,由定义知 这两条射线的夹角就是二面角的平面角. 【解】过点 P 在平面 PAB、平面 PCB 上分别作 PB 的垂线 PE、PF 交 BA、BC 的延长线于 E、F. 如图,则 ∠EPF 就是二面角 C?PB?A 的平面角;由(1)知 PC⊥BC 在 Rt△ABC 中,由 AB=2,AC=1,得 BC= 3 ,∠ABC ? 30 在 R t△PAB 中,由 AB=2,PA=1,得 PB= 5 . 在 R t△PAC 中,由 AC=1,PA=1,得 PC= 2 . 由平几可知:Rt△PEB∽Rt△APB, :Rt△PFB∽Rt△CPB
0

5 30 5 3 5 EP= ,EB= ,FP= ,FB= 2 2 3 3
∴EF =EB +FB -2EB·FBcos30 =EP +FP -2EP·FPcos∠EPF ∴cos∠EPF=
2 2 2 0 2 2

E

F

6 4 6 . 4

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

二、三垂线定理法 三垂线定理法是在二面角的两个面内选取基面,在另一面内选点向基面作垂线,此时要注意垂足的确 切位置,过垂足向二面角的棱作垂线,作出平面角,此法是找二面角平面角最常用的方法. 【解】过 C 作 CM⊥AB 于 M,因为 PA⊥平面 ABC,CM?平面 ABC,∴PA⊥CM,又 PA∩AB=A,故 CM⊥平 面 PAB.过 M 作 MN⊥PB 于 N,连接 NC,如图,由三垂线逆定理得 CN⊥PB, ∴∠CNM 为二面角 C?PB?A 的平面角. 在 Rt△ABC 中,由 AB=2,AC=1,得 BC= 3 ,CM= 在 R t△PAB 中,由 AB=2,PA=1,得 PB= 5 .
3 3 5 MN ∵Rt△BNM∽Rt△BAP,∴ ? 2 ,故 MN ? 10 1 5

3 3 ,BM= , 2 2

又在 Rt△CNM 中,CN=

30 6 ,故 cos∠CNM= . 5 4
1

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

6 . 4

三、射影法 射影法是由公式 S 射影=S 斜面 cosθ 直接求出二面角的平面角。运用这一方法的关键是从图中找出斜面 多边形和它在有关平面上的射影,而且它们的面积容易求得. 【解】∵PA⊥平面 ABC ∴平面 PAB⊥平面 ABC 由 C 作 AB 的垂线交 AB 于 E,连 PE,如图, ∴CE⊥平面 PAB, 平面 PEB 是平面 PCB 的射影,设平面 PDB 与平面 PCB 的夹角为 ?

1 BE ? PA S ?PEB 由射影公式 cos ? = ? 2 S ?PCB 1 BC ? PC 2
由已知得 PA=1,BC= 3 ,PC= 2 . BE=BC· cos30 = ∴ cos? ?
0

E
3 2

6 4 6 . 4

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

四、垂面法 垂面法是寻找与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条射线所成的角即二面 角的平面角. 【解】过 C 点作垂直 PB 的平面交 PB 于 N,交 AB 于 M, 如图,∠CNM 为二面角 C?PB?A 的平面角. 由 PB⊥NC, PB⊥NM, ∴PB⊥MC ∵AB 是 PB 的射影,由三垂线逆定理知 MC⊥AB 由已知 PA⊥MC∴ MC⊥MN 由已知可求得 MN=

3 5 3 30 ,MC= , CN= 10 2 5 MN 6 在 Rt△CNM 中,cos∠CNM= . ? CN 4

N M

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

6 . 4

五、转化法 转化法就是把平面与平面的夹角转化为两条异面直线的夹角, 用向量 或其它方法求出. 【解】在平面 PAB 和平面 PCB 内分别作 AE⊥PB, AF⊥PB,分别交 PB 于 E、F.平面 PAB 与平面 PCB 的夹 角就是异面直线 AE、CF 的夹角,设夹角为 ? . ∵ AC ? AE ? EF ? FC ,AE⊥EF,CF⊥EF ∴ AC ? AC ? AE ? AE ? EF ? EF ? FC ? FC ? 2AE ? FC
AC ? AE ? EF ? FC ? 2 EA FC cos?
2 2 2 2

E F

2

由已知可求得:AC=1,EA=

30 5 2 5 ,FC= ,EF= 5 5 5

∴ cos? ?

6 4

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

6 . 4

六、向量坐标法 向量坐标法就是建立适当空间直角坐标系,通过坐标运算求出二面角的平面角,是近几年解答高考立 体几何题常用方法. 【解】 过 C 作 CM∥ AP, 则 CM⊥ 平面 ABC.如图, 以点 C 为坐标原点, 分别以直线 CB、 CA、 CM 为 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. ∵AB=2,AC=1,∴BC= 3 . ∵PA=1,∴A(0,1,0),B( 3 ,0,0),P(0,1,1). 故 CB =( 3 ,0,0), CP =(0,1,1). 设平面 BCP 的法向量为 n1 ? ?x, y, z ? , 则?

x

? ?CB ? n1 ? 0, ? ?CP ? n1 ? 0,

∴?

? 3 x ? 0, ? y ? z ? 0,

不妨令 y=1,则 n1 =(0,1,-1).因为 AP =(0,0,1), AB =( 3 ,-1,0), 设平面 ABP 的法向量为 n2 ? ?x, y, z ? , 则?

? ? AP ? n2 ? 0, ? ? AB ? n2 ? 0,

∴?

? z ? 0, ? 3 x ? y ? 0,

不妨令 x =1,则 n2=(1, 3 ,0).于是 cos ? n1 , n2 ??

3 2 2



6 . 4

∴二面角 C?PB?A 的余弦值为

6 . 4

通过以上分析,解此类问题要勤动脑,善观察,多总结,抓住问题的特征,找出适当的方法,二面角 的平面角的问题就会迎刃而解.

吉林省磐石市职教中心:任志强(132300) (本文发表高中版《中学生数学》2014.2)

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