高中数学第三章导数应用3.2.2最大值、最小值问题课件5北师大版选修22_图文

3.2.2 最大值与最小值

一、复习引入 : 1、求函数F(X)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x);(要考察函数的定义域) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符 号,求出极大值和极小值. 2、极大值和极小值有必然的大小关系吗? 3、你学过的求最值的方法有哪些? (1)利用函数性质 (2)利用不等式

二、新知探究:

假设函数y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)在闭区间[a,b]的图像都是一条 连续不断的曲线(如下图所示),观察图像.

(1)这三个函数在[a,b]上一定能够取得最大值、最小值吗? (2)若y=h(x)在区间(a,b)上是一条连续不断的曲线,那么它在此区间上一定 有最值和极值吗? (3)如何求[a,b]上的最值?

1.最值点 (1)最大值点:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点 x0 不大于 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都_______f(x0). (2)最小值点:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点 x0 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都_______f(x0). 2.最值
最大值 最小值 不小于

函数的_______与_______统称为最值.

1 3 例1.求f ( x) ? x ? 4 x ? 4在?0,3?的最大值和最小值。 3

典例解析:

例1.求f ( x ) ?

1 3 x ? 4 x ? 4在[0, 3]的最大值与最小值. 3 解:函数f(x)的定义域为[0,3].
∵ f?(x)=x2-4=(x+2)(x-2)∴由f?(x)=0解得x=2或-2(舍). 当x变化时, f?(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
y ? f ( x)

0 -4 4

(0,2)
— 减

2 0 极小值 + 增

(2,3 3)
5 1

∴当x=2时,函数f (x)有极小值f (2)=

?

4 3

又∵f(0)=4,f(3)=1
? 4 3

∴函数在[0,3]上的最大值是4,最小值为

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 解方程f?(x)=0(不符合定义域的要舍掉); (2) 求f(x)在上面方程的根处对应的函数值; (3) 将上面的函数值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为 最大值,最小的一个为最小值. 注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 2.最大值一定大于等于最小值.

?

思考题:如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值, 而没有极小(大)值,那么此极大(小)值是否是函数在区间[a, b]上的最大(小)值?

总结: 如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值,而 没有极小(大)值,则此极大(小)值就是函数在区间[a, b]上的 最大(小)值。
?

例2

已知 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对任意 x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实 数 a 的取值范围. [思路分析] 解此题通常将函数与不等式紧密结合,将不等

式恒成立问题转化为求函数最值问题.

练习:1.下列说法正确的是( ) A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便 是最大值,极小值便是最小值 B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之, 若有极值则一定有最值 D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值, 一个最小值,但若有极值,则可有多个极值 解析:最值与极值概念.故选 D.
答案:D

2、函数 y = x? + 3 x?-9x在 [-4 , 4 ]上的最大值为 为 .

76

,最小值

-5

2 例 3. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-3与 x=1
3 2

时都取得极值. (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x∈[-1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立,求 c 的取 值范围.

解析:

(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,

f′(x)=3x2+2ax+b, 由
? 2? 12 4 f′?-3?= 9 -3a+b=0, ? ?

1 f′(1)=3+2a+b=0,得 a=-2,b=-2, f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 2 令 f′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f ′( x ) f ( x)

? 2? ?-∞,- ? 3? ?

2 -3 0 极大 值

? 2 ? ?- ,1? ? 3 ?

1 0 极小 值

(1,+∞) + ?增

+ ?增

- ?减

所以函数

? 2? f(x)的递增区间为?-∞,-3?和(1,+∞);递减 ? ?

? 2 ? 区间为?-3,1?. ? ?

1 2 (2)f(x)=x -2x -2x+c,x∈[-1,2].
3

2 22 当x=-3时,f(x)=27+c为极大值,而f(2)=2+c, 则f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立, 只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.

高考链接:
思考题:设函数f(x)=aex+ (1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值; (2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 a,b的值.
1 x b(a>0). + ae

3 y? x ,求 2

知识小结:
1.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小 值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注意

1) 函数的最值概念是全局性的; 2) 函数的最大值(最小值)唯一; 3) 函数的最大值大于等于最小值; 4) 函数的最值可在端点上取.

2.求函数最值的方法: (1)利用函数性质 (2)利用不等式 (3)利用导数


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