高中数学二轮复习 圆锥曲线的综合问题 课件理(全国通用)_图文

考点 1 圆锥曲线中的范围、最值问题 2 例 1(2017· 浙江卷)如图,已知抛物线 x =y,点 ?3 9? B?2,4?, 抛物线上的点 ? ? ? 1 3? ? P(x, y) -2<x<2?.过点 ? ? ? 1 1? A?-2,4?, ? ? B 作直线 AP 的垂线, 垂足为 Q. (1)求直线 AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|· |PQ|的最大值. 1 x2-4 1 【解析】 (1)设直线 AP 的斜率为 k,k= 1 =x-2, x+2 1 3 因为-2<x<2,所以直线 AP 斜率的取值范围是(-1,1). ?kx-y+1k+1=0, ? 2 4 (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程? ?x+ky-9k-3=0, 4 2 ? -k2+4k+3 解得点 Q 的横坐标是 xQ= . 2?k2+1? ? 1? 2 ? 因为|PA|= 1+k x+2?= 1+k2(k+1), ? ? 2 ? k - 1 ?? k + 1 ? |PQ|= 1+k2(xQ-x)=- , 2 k +1 所以|PA|· |PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令 f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为 f′(k)=-(4k-2)(k+1)2, ? ?1 ? 1? 所以 f(k)在区间?-1,2?上单调递增,?2,1?上单调递减, ? ? ? ? 1 27 因此当 k=2时,|PA|· |PQ|取得最大值16. [技法领悟] 解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系,首先需要根据已知条件 进行转化,利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关 系;然后构造目标函数,把原问题转化为求函数的值域或引入参数 根据参数范围求解,解题时应注意挖掘题目中的隐含条件,寻找量 与量之间的转化. y2 x2 1. (2017· 宜春中学与新余一中联考)设椭圆 M: a2+b2=1(a>b>0) 的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长 为 4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆 M 于 A,B 两点,P(1, 2)为椭 圆 M 上一点,求△PAB 面积的最大值. 解析:(1)由题可知,双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率 e 2 c =a= 2 , 2 c 由 2a=4,a= 2 ,b2=a2-c2,得 a=2,c= 2,b= 2, y2 x2 故椭圆 M 的方程为 4 + 2 =1. = 2x+m ? ?y2 (2)联立方程?x y2 ,得 4x2+2 2mx+m2-4=0, + =1 ? ?2 4 由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 2<m<2 2. 2 ? ?x1+x2=- 2 m 且 ? 2 m ?x1x2= -4, 4 ? 所 以 |AB| = 1+2 |x1 - x2| = 2 1 m 3· ?x1+x2?2-4x1x2= 3· 2m2-m2+4= 3· 4- 2 . |m| 1 又 P 到直线 AB 的距离为 d = ,所以 S△PAB = 2 |AB|· d= 3 3 m2 |m| 1 m2 2 1 2 2 · 4 - · = ? 4 - ? · m = m ? 8 - m ? 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 m +?8-m ? ≤ · = 2. 2 2 2 当且仅当 m=± 2∈(-2 2, 2 2)时取等号, 所以(S△PAB)max= 2. 考点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题 x2 例 2(2017· 全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:2 + → = 2 NM →. y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足NP (1)求点 P 的轨迹方程; →· → =1.证明:过点 P 且垂 (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且OP PQ 直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. → =(x-x , 【解析】 (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),NP 0 → =(0,y ). y),NM 0 2 → → 由NP= 2 NM得 x0=x,y0= 2 y. x2 y2 因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 2 + 2 =1. 因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2. (2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 → =(-3,t),PF → =(-1-m,-n),OQ →· → =3+3m-tn,OP → OQ PF → =(-3-m,t-n). =(m,n),PQ →· → =1 得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知 m2+n2=2, 由OP PQ 故 3+3m-tn=0. →· → =0,即OQ → ⊥PF → .又过点 P 存在唯 一直线垂直于 所以OQ PF OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. [技法领悟] (1)定值问题的求法 解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少,再 进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的 常数. 特别提醒:解决定值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为 常量. (2)定点问题的求法 解题的关键在于寻找题中用来联系已知量和未知量的垂直关 系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量和未知量代入上述关 系,通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决. x2 y2 2.(2016· 北京卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 2 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:|AN|· |BM|为定值. 3 ?c ?a= 2 , ? 解析:(1)由题意得

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