高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离选学课件新人教B版选修2_12

第三章 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离(选学) 学习目标 掌握向量长度计算公式,会用向量方法求两 点间的距离、点到平面的距离、线面距和面 到面的距离. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 点到平面的距离 思考 任何平面外一点到平面的距离都可利用向量法解 决吗? 答案 可以,可依据点到平面的距离公式求解. 梳理 (1)图形与图形的距离 一个图形内的 任一点 与另一图形内的 任一点 叫做图形与图形的距离. (2)点到平面的距离 的距离中的 最小值 , 一点到它在一个平面内 正射影 离. 的距离,叫做点到这个平面的距 知识点二 直线到平面的距离 思考 直线与平面平行时,直线到平面的距离是指直线 上任意一点到平面的距离吗? 答案 是的 . 当直线与平面平行时,直线上任意一点 到平面的距离相等,故线面距可以利用点面距 来处理. 梳理 (1)直线与它的平行平面的距离 一条直线上的 任一点 ,与它平行的平面的距离,叫做直线与这 个平面的距离. (2)两个平行平面的距离 ①和两个平行平面同时 的直线,叫做两个平面的公垂线. 垂直 ② 夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段. 公垂线 ③两平行平面的 ,叫做两平行平面的距离. 公垂线段的长度 知识点三 四种距离的关系 题型探究 类型一 点线距离 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中 解答 点,求点A到直线EF的距离. 反思与感 悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量 上的投影. (4)利用勾股定理求点到直线的距离. 另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 跟踪训练1 的距离. 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 长 方 体 ABCD - A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3,求点 B到直线A′C 解答 类型二 点面距离 例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB, AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点 B到平面EFG的距离. 解答 反思与感 悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的 模,即为点到平面的距离. 跟踪训练 2 =AB=2. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA1 证明 (1)求证:A1C∥平面AB1D; (2)求点C1到平面AB1D的距离 . 解答 由(1)知平面AB1D的一个法向量n=(2,0,1), ---→ 且 C1A =(-1, 3,-2), ---→ | C1A · n| 4 4 5 ∴点 C1 到平面 AB1D 的距离 d= = = 5 . |n| 5 类型三 线面距离与面面距离 解答 反思与感 悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利 用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利 用求点到平面的距离的方法求解即可. 跟踪训练 3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1 ,求平面 解答 A1BD与平面B1CD1间的距离. 当堂训练 1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内, 则P(-2,1,4)到α的距离为 答案 A.10 B.3 8 C.3 10 D. 3 √ 1 2 3 4 5 2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面B1D1DB的距 离为 √ A. 2 B.2 2 C. 2 3 2 D. 2 答案 解析 由题意可知,A1A∥平面 B1D1DB,A1A 到平面 B1D1DB 的距离就是 A1 点到平面的距离.连接 A1C1,交 B1D1 于 O1,A1O1 即为所求.由题意可得 1 A1O1=2A1C1= 2. 1 2 3 4 5 → → → 3.若 O 为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为 165 A. 2 B.2 14 答案 解析 C. 53 53 D. 2 √ 3 → 1→ → 由题意得OP=2(OA+OB)=(2,2,3), 1 → → → PC=OC-OP=(-2,-2,-3), → PC=|PC|= 1 53 4+4+9= 2 . 1 2 3 4 5 4.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E, 6 11 F分别是AB,AD的中点,则点C到平面GEF的距离为________. 答案 解析 11 1 2 3 4 5 5.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面 ABC的距离为________. 答案 49 17 17 解析 1 2 3 4 5 规律与方 法 1.两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得. 2.点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得,线面距、 面面距可转化为点面距计算. 本课结束

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