基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式 （1）若 a, b ? R ，则 a ? b ? 2ab
2 2
6、柯西不等式 （1） 若 a, b, c, d ? R ， 则 (a2 ?b2 ) (c2 ? d2) ? (a c b ? d ) （2）若 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ? R ，则有：
2
（2）若 a, b ? R ，则 ab ?
a2 ? b2 2
(a12 ? a22 ? a32 )(1b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2
（3）设 a1 , a2 , ???, an与b1 , b2 , ???, bn 是两组实数，则有
(a12 ? a22 ???? ? an 2 )(b12 ? b22 ???? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn )2
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a, b ? R * ，则 a ? b ? 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a, b ? R * ，则
二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式
2
a?b ? ab 2
* a ?b? （2）若 a, b ? R ，则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
1、设 a , b 均为正数，证明不等式: ab ≥
2 1 1 ? a b
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当 a ? b 时取“=”
2、已知 4、求最值的条件： “一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若 x ? 0 ，则 x ?
a , b, c
为两两不相等的实数，求证：
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ） x
3、已知 a ? b ? c ? 1 ，求证： a ? b ? c ?
2 2 2
（2） 若x?0， 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “ =” ）
a b （3） 若 ab ? 0 ， 则 ? ?2 b a
1 x
(当且仅当 a ? b 时取 “=” ）
1 3
（4）若 a, b ? R ，则 ab ? ( （5）若 a, b ? R ，则
*
a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? 2 2
1 1 1 ? a b
? ab ?
a?b a 2 ? b2 ? 2 2
4、已 知 a, b, c ? R
?
， 且 a ?b ? c ?1 ， 求 证 ：
特别说明：以上不等式中，当且仅当 a ? b 时取“=”
(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8a b c
5、已 知 a, b, c ? R ? ， 且 a ? b ? c ? 1 ， 求 证 ：
? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? ? a ?? b
?? 1 1 ?? ? ?? c
? ? ?1 ?
8
6、 （2013 年新课 标Ⅱ卷数学（理）选 修 4—5：不等式选 讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 （1） y ? 3 x ?
2
1 ; 3
(Ⅱ)
a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a
1 2x2
（2） y ? x(4 ? x)
（3） y ? x ?
1 ( x ? 0) x
（4） y ? x ?
1 ( x ? 0) x
题型三：利用不等式求最值 （一） （凑项）
7、 （2013 年江苏卷（数学）选 修 4—5：不等式选 讲 已知 a ? b ? 0 ，求证: 2a ? b ? 2ab ? a b
3 3 2 2
1、已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2 x ? 4 ?
4 的最小值； 2x ? 4
变式 1：已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2 x ?
4 的最小值； 2x ? 4
变式 1：当 时，求 y ? 4 x(8 ? 2 x) 的最大值；
变式 2：已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2 x ?
4 的最大值； 2x ? 4
变式 2：设 0 ? x ?
3 ，求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
练习： 1、 已知 x ?
5 ， 求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最小值； 4 4x ? 5
2、若 0 ? x ? 2 ，求 y ?
x (6 ? 3x ) 的最大值；
2、已知 x ?
5 ，求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值； 4 4x ? 5
变式：若 0 ? x ? 4 ，求 y ?
x(8 ? 2x) 的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二） （凑系数）
1、当 时，求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值；
1 5 3、求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值； 2 2
（提示：平方，利用基本不等式）
法二：
变式 1： 已知 a, b ? 0, a ? 2b ? 2 ， 求t ?
1 1 ? 的最小值； a b
3 11 变式：求函数 y ? 4 x ? 3 ? 11 ? 4 x ( ? x ? ) 的最大值； 4 4
变式 2：已知 x, y ? 0,
2 8 ? ? 1 ，求 xy 的最小值； x y
变式 3： 已知 x, y ? 0 ， 且
1 1 求 x ? y 的最小值。 ? ?9， x y
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知 a, b ? 0, a ? 2b ? 1 ，求 t ? 法一：
1 1 ? 的最小值； a b
变式 4： 已知 x, y ? 0 ， 且
1 9 ? ? 4， 求 x ? y 的最小值； x y
变式 5： （1）若 x, y ? 0 且 2 x ?
y ? 1 ，求 ? 的最小值；
变式：求函数 y ?
1 x
1 y
? （2） 若 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1， 求x x y
? y 的最小值；
x2 ? 8 ( x ? 1) 的值域； x ?1
2、求函数 y ?
x?2 的最大值； （提示：换元法） 2x ? 5
变式 6：已知正项等比数列 ?a n ?满足： a7 ? a6 ? 2a5 ，若 存在两项 am , an ， 使得 am an ? 4a1 ， 求
1 4 ? 的最小值； m n
变式：求函数 y ?
x ?1 的最大值； 4x ? 9
题型六：分离换元法求最值（了解） 题型七：基本不等式的综合应用
1、求函数 y ?
x ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域； x ?1
2
1、已知 log2 a ? log2 b ? 1 ，求 3 ? 9 的最小值
a b
2、 （2009 天津）已知 a, b ? 0 ，求 1 ? 1 ? 2 ab 的最小值； a b
变式 1：已知 a, b ? 0 ，满足 ab ? a ? b ? 3 ，求 ab 范围；
变式 1： （2010 四川）如果 a ? b ? 0 ，求关于 a , b 的表达 式a ?
2
变式 2： （2010 山东）已知 x, y ? 0 ，
1 1 1 ? ? ， 2? x 2? y 3
1 1 ? 的最小值； ab a (a ? b)
求 xy 最大值； （提示：通分或三角换元）
变式 2： （2012 湖北武汉诊断）已知，当 a ? 0, a ? 1 时， 函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 的图像恒过定点 A ，若点 A 在直
m n 线 m x ? y ? n ? 0 上，求 4 ? 2 的最小值；
变式 3： （2011 浙江）已知 x, y ? 0 ， x ? y ? xy ? 1 ，
2 2
求 xy 最大值；
3、已知 x, y ? 0 ， x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ，求 x ? 2 y 最小值；
4、 （ 2013 年 山 东 （ 理 ）） 设 正 实 数 x, y , z 满 足
x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 , 则 当
时,
xy 取得最大值 z
）
2 1 2 ? ? 的最大值为（ x y z
A． 0
B． 1
C．
9 4
D． 3
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
2 、已知 x ? y ? z ? 0 且
1 1 n ? ? 恒成立， x? y y?z x?z
如果 n ? N ，求 n 的最大值； （参考：4） （提示：分离参数，换元法）
?
变式：设 x, y , z 是正数，满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ，求 最小值；
y2 的 xz
变式：已知 a, b ? 0 满则 求 c 的取值范围；
1 4 ? ? 2 ，若 a ? b ? c 恒成立， a b
题型八：利用基本不等式求参数范围 题型九：利用柯西不等式求最值
1 a 1、 （2012 沈阳检测） 已知 x, y ? 0 ， 且 ( x ? y )( ? ) ? 9 x y
恒成立，求正实数 a 的最小值； 1、二维柯西不等式
(a , b , c , d ? R , 当且仅当
a b ? ；即 ad ? bc时等号成立 ) c d
(ai , bi ? R , 当且仅当
a a1 a2 ? ? ?? n 时等号成立) b1 b2 bn
若 a, b, c, d ? R ，则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2
题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
2、二维形式的柯西不等式的变式 1、设 x, y, z ? R ，若 x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ，则 x ? 2 y ? 2 z 的
(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
a b (a , b , c , d ? R , 当且仅当 ? ；即 ad ? bc时等号成立 ) c d
最小值为
时， ( x, y, z ) ?
析： ( x ? 2 y ? 2 z) 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )[12 ? (?2) 2 ? 22 ]
(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
a b (a , b , c , d ? R , 当且仅当 ? ；即 ad ? bc时等号成立 ) c d
? 4 ? 9 ? 36
∴ x ? 2 y ? 2 z 最小值为 ? 6
此时
x y z ?6 ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 1 ? (? 2) ? 2 3
x?
4 ?2 ?4 ， y ? ，z ? 3 3 3
(3)(a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd )2
(a , b , c , d ? 0 , 当且仅当 a b ? ；即 ad ? bc时等号成立 ) c d
∴
2、设 x, y, z ? R ， 2 x ? y ? 2 z ? 6 ，求 x2 ? y 2 ?z 2 的最 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 小值 m ，并求此时 x, y , z 之值。
? ?? ? ? ?
(当且仅当? ? 0, 或存在实数k , 使 a ? k ? 时 , 等号成立)
? ? ? ?
4 2 4 Ans ： m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,? ,? ) 3 3 3
4、三维柯西不等式 若 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ? R ，则有：
(a12 ? a22 ? a32 )(1b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2
(ai , bi ? R , 当且仅当 a1 a2 a3 ? ? 时等号成立) b1 b2 b3
3、 设 x, y, z ? R ，2 x ? 3 y ? z ? 3 ， 求 x ? ( y ? 1) ? z
2 2
2
5、一般 n 维柯西不等式 设 a1 , a2 , ???, an与b1 , b2 , ???, bn 是两组实数，则有:
(a12 ? a22 ???? ? an 2 )(b12 ? b22 ???? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn )2
之最小值为
，此时 y ?
（析： 2 x ? 3 y ? z ? 3 ? 2 x ? 3( y ? 1) ? z ? 0 ）
4、 （2013 年湖南卷（理） ）已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则 a ? 4b ? 9c 的最小值是
2 2 2
( Ans : 12 )
5 、（ 2013 年 湖 北 卷 （ 理 ）） 设
x, y , z ? R , 且 满
2 2 2 足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,求 x ? y ? z 的
值；
6、 求 2 sin ? ? 3 cos? sin ? ? cos? cos? 的最大值与最
n s 小值。 （A
?
：最大值为 2 2 ，最小值为 ? 2 2 ）
?
析： 令 a ? (2sin?， 3 cos?， ? cos?)，b ? (1， sin?， cos?)