【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第八章 立体几何 第1课

§ 8.1

空间几何体的三视图、直观图、表面 积与体积

1.多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 2.旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 3. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° 或 135° , z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 矩形的一边所在的直线 直角三角形的一直角边所在的直线 直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线 半圆直径所在的直线 结构特征 有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交 线都互相平行. 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分.

在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半. 4. 空间几何体的三视图 (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物 体轮廓线的正投影围成的平面图形. (2)三视图的特点: 三视图满足“长对正、 高平齐、 宽相等”或说“主左一样高、 主俯一样长、 俯左一样宽”. 5.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 S 侧=2πrh S 侧=πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧=ch 1 S 侧= ch′ 2 1 S 侧= (c+c′)h′ 2 S 球面=4πR2 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 +r2+r r )h 3 3 1 2 12 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( × ( × ) )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时, 若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴, 且∠A=90° , 则在直观图中,∠A=45° . (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. (5)圆柱的侧面展开图是矩形. (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算. 2. (2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( × ( × ( √ ( √ ( ) ) ) ) )

答案 D 解析 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D. 3. (2013· 课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计 容器的厚度,则球的体积为 ( )

500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 答案 A

866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3

解析 作出该球轴截面的图象如图所示,依题意 BE=2,AE=CE=4, 设 DE=x,故 AD=2+x,因为 AD2=AE2+DE2,解得 x=3,故该球 的半径 AD=5, 4 500π 所以 V= πR3= . 3 3 4. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为________. 答案 6 2

解析 由斜二测画法, 知直观图是边长为 1 的正三角形, 其原图是一个底为 1, 高为 6的 三角形,所以原三角形的面积为 6 . 2

5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 答案 3 π 3

解析 侧面展开图扇形的半径为 2,圆锥底面半径为 1,

1 3 ∴h= 22-1= 3,∴V= π×1× 3= π. 3 3

题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是 A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手,可以借助实例或几何模型理解几何体的结构 特征. 答案 解析 (1)B (2)A (1)A 错, 如图 1; B 正确, 如图 2, 其中底面 ABCD 是矩形, 可证明∠PAB, ∠PCB ( ) ( )

都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C 错,如图 3;D 错,由棱台的定义知,其 侧棱必相交于同一点.

(2)①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是 三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图 1 所示;③不一 定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥, 如图 2 所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且 对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

思维升华 (1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱. (2)既然棱台是由棱锥定义的, 所以在解决棱台问题时, 要注意“还台为锥”的解题策略. (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到,还要看旋转轴是哪条直线. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C 是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC 的值为 A.30° C.60° 答案 C 解析 还原正方体,如图所示,连接 AB,BC,AC,可得△ABC 是正三 角形,则∠ABC=60° . 题型二 空间几何体的三视图和直观图 例2 1 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何 2 ( ) B.45° D.90° ( )

体的俯视图可以是

(2)

正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它的直观图的面积是 ________. 1 思维启迪 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是 1, 由体积是 可求出底面积. 由底 2 面积的大小可判断其俯视图是哪一个. (2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系.

答案 解析

(1)C (2)

6 2 a 16

1 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体, 且其高为 1, 由其体积是 2

1 π 1 可知该几何体的底面积是 ,由图知 A 的面积是 1,B 的面积是 ,C 的面积是 ,D 的面 2 4 2 π 积是 ,故选 C. 4 (2)画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如 图).D′为 O′A′的中点. 1 易知 D′B′= DB(D 为 OA 的中点), 2 1 2 2 3 6 ∴S△O′A′B′= × S△OAB= × a2= a2. 2 2 4 4 16 思维升华 (1)三视图中,主视图和左视图一样高,主视图和俯视图一样长,左视图和俯 视图一样宽.即“长对正,宽相等,高平齐”. (2)解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形 中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中 关键线段长度的关系. (1)(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的主视图的面积不可能等于 A.1 B. 2 C. 2-1 2+1 D. 2 2 ( )

(2)如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 A.正方形 C.菱形 答案 解析 (1)C (2)C (1)由俯视图知正方体的底面水平放置, 其主视图为矩形, 以正方体的高为一边长, 2-1 . 2 B.矩形 D.一般的平行四边形 ( )

另一边长最小为 1,最大为 2,面积范围应为[1, 2],不可能等于 (2)如图,在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2 =4 2 cm, CD=C′D′=2 cm. ∴OC= OD2+CD2 = ?4 2?2+22=6 cm,

∴OA=OC, 故四边形 OABC 是菱形. 题型三 空间几何体的表面积与体积 例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

(2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得几何体的体积为 ( )

A. C.

2π 1 + 3 2 2π 1 + 6 6

4π 1 B. + 3 6 2π 1 D. + 3 2

思维启迪 先由三视图确定几何体的构成及度量,然后求表面积或体积. 答案 解析 (1)C (2)C (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面

是边长为 4 的正方形;上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面 垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另两个侧面是矩形, 1 宽为 4,长为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17×2=48+ 2 8 17.

(2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体,如 图,其中 AP,AB,AC 两两垂直,且 AP=AB=AC=1,故 AP⊥平 1 1 1 面 ABC,S△ABC= AB×AC= ,所以三棱锥 P-ABC 的体积 V1= 2 2 3 1 1 1 ×S△ABC×AP= × ×1= ,又 Rt△ABC 是半球底面的内接三角形, 3 2 6 所以球的直径 2R=BC= 2,解得 R= 2 1 4π 2 2π ,所以半球的体积 V2= × ×( )3= , 2 2 3 2 6

1 2π 故所求几何体的体积 V=V1+V2= + . 6 6 思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征,判断是否为组合体,由 哪些简单几何体构成,并准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简单的几何 体,再求出各个简单几何体的体积,最后求出组合体的体积. (2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( A. 2 6 B. 3 2 2 C. D. 6 3 2 )

答案 A 解析 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此 三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍, 所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.

在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, S△ABC= 3 3 ×AB2= , 4 4 12-? 6 3?2 = , ?3? 3

高 OD=

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6

转化思想在立体几何计算中的应用

典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等 边三角形,AA′=4,M 为 AA′的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线与 CC′的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)三棱锥 C—MNP 的体积. 思维启迪 (1)侧面展开图从哪里剪开展平; (2)MN+NP 最短在展开图上呈现怎样的形式; (3) 三棱锥以谁做底好. 规范解答 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形,故对角线长为 42+92=

97.[2 分] (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB′展开,如下图,设 PC=x,则 MP2=MA2+(AC+x)2.

∵MP= 29,MA=2,AC=3,∴x=2,即 PC=2. PC NC 2 NC 4 又 NC∥AM,故 = ,即 = .∴NC= .[8 分] PA AM 5 2 5 1 1 4 4 (3)S△PCN= ×CP×CN= ×2× = . 2 2 5 5 在三棱锥 M—PCN 中,M 到面 PCN 的距离, 即 h= 3 3 3 ×3= . 2 2

1 ∴VC—MNP=VM—PCN= · h· S△PCN 3 1 3 3 4 2 3 = × × = .[12 分] 3 2 5 5 温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”,即将空间几何体的 “面”展开后铺在一个平面上,将问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体 中某条棱或者两个面的交线展开,把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平面上的问题. (3)本题的易错点是,不知道从哪条侧棱剪开展平,不能正确地画出侧面展开图.缺乏空 间图形向平面图形的转化意识.

方法与技巧 1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状. 3.三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”. 4.直观图画法:平行性、长度两个要素. 5.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则 的几何体求解. 6.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和 接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切 点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点 均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 失误与防范 1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 3.几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱对角线的条数共有 A.20 C.12 答案 D 解析 如图,在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中,从顶点 A 出发的对 角线有两条:AC1,AD1,同理从 B,C,D,E 点出发的对角线均有两 条,共 2×5=10(条). 2. (2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 B.15 D.10 ( )

( A.球 C.正方体 答案 D 解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小,分析可得. 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O-ABC, 当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时, 其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B. 不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同, 故答案选 D. 3. (2013· 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) B.三棱锥 D.圆柱

)

560 580 A. B. C.200 D.240 3 3 答案 C 解析 由三视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯形,上底长为 2,下底长为 8, ?2+8?×4 高为 4,故面积为 S= =20.又棱柱的高为 10,所以体积 V=Sh=20×10=200. 2 4. 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是 ( )

答案 D 解析 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个,由主视图和左视图可知 B 错. 5. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )

3 A. π 2 3 C. π+ 3 2 答案 C 解析

B.π+ 3 5 D. π+ 3 2

1 由三视图可知该几何体为一个半圆锥,底面半径为 1,高为 3,∴表面积 S= 2

1 1 3π ×2× 3+ ×π×12+ ×π×1×2= 3+ . 2 2 2 二、填空题 6. 如图所示,E、F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的正 投影是________.(填序号)

答案 ② 解析 四边形在面 DCC1D1 上的正投影为②:B 在面 DCC1D1 上的正投影为 C,F、E 在

面 DCC1D1 上的投影应在边 CC1 与 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④错误. 7. 已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接球的表面积为________. 答案 3π 解析 如图,构造正方体 ANDM—FBEC.因为三棱锥 A—BCD 的所有 棱长都为 2,所以正方体 ANDM—FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的 外接球的半径为 3 . 2

易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外接球, 所以三棱锥 A—BCD 的外接球的半径为 S 球=4π? 3?2 =3π. ?2? 3 .所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 2

8. (2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1∶V2=________.

答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h, 1 ?1 AE· sin∠DAE? h AD· ? 3 ?2 V1 则 = V2 1 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 = 1 . 24

三、解答题 9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.



这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.

根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2,高为 3,母线长为 2,几何

体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体 1 1 1 1 11π 的表面积为 S= π×12+ π×22+ π×(1+2)×2+ ×(2+4)× 3= +3 3. 2 2 2 2 2 10.已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面面积之 和,求棱台的高. 解 如图所示, 三棱台 ABC—A1B1C1 中, O、 O1 分别为两底面中心,

D、D1 分别为 BC 和 B1C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 由题意知 A1B1=20,AB=30, 10 3 则 OD=5 3,O1D1= , 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 1 3 ×(20+30)×3DD1= ×(202+302), 2 4 13 解得 DD1= 3, 3 在直角梯形 O1ODD1 中,
2 O1O= DD1 -?OD-O1D1?2=4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 在四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M 为 AE 的中点,设 E—ABCD 的体积为 V,那么三棱锥 M—EBC 的体积为 2 1 A. V B. V 5 3 答案 D 解析 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1,点 D 到平面 EMC 的距离为 h2. 2 C. V 3 3 D. V 10 ( )

连接 MD. 因为 M 是 AE 的中点, 1 所以 VM—ABCD= V. 2 1 所以 VE—MBC= V-VE—MDC. 2 而 VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC,

VE—MBC VB—EMC h1 所以 = = . VE—MDC VD—EMC h2 因为 B,D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离,而 AB∥CD,且 2AB=3CD, h1 3 所以 = . h2 2 所以 VE—MBC=VM-EBC= 3 V. 10 ( )

2. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 B

B.30+6 5 D.60+12 5

解析 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3, AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE, 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41, 则 AB 边上的高 h=6, 1 故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 3. 表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.

答案 2 1 解析 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r.则 πl2+πr2=3π,πl=2πr,∴r=1,即圆锥 2 的底面直径为 2. 4. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直, 图为该四棱锥的主视图和左视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直 角三角形.

(1)根据图所给的主视图、左视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线),边长为 6 cm 的正方形,如图,

其面积为 36 cm2. (2)由左视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2. 由主视图可知 AD=6,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62=6 3 cm. 5. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD=a, PA=PC= 2a,若在这个四棱锥内放一球,求此球的最大半径. 解 当球内切于四棱锥,即与四棱锥各面均相切时球半径最大,

设球的半径为 r,球心为 O, 连接 OP、OA、OB、OC、OD, 则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱锥的高都 是 r,底面分别为原四棱锥的侧面和底面, 1 1 则 VP-ABCD= r(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S 正方形 ABCD)= r(2+ 2)a2. 3 3 由题意,知 PD⊥底面 ABCD, 1 1 ∴VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= a3. 3 3 由体积相等, 1 1 得 r(2+ 2)a2= a3, 3 3 1 解得 r= (2- 2)a. 2


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