高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算课堂导学案新人教B版选修2


3.1.1 空间向量的线性运算 课堂导学 三点剖析 一、向量求和的三角形法则 【例 1】 已知三棱椎 O-ABC 中,G 为△ABC 的重心, OA =a, OB =b, OC =c,试用 a,b,c 来表示 OG . 思路分析:先在△OBC 中考虑中线 OD,然后在△OAD 中考虑 G 为 AD 的分点,分成的比是 2∶1, 再次使用向量的运算性质即可. 解: OG = OA + AG 2 1 · ( AB + AC ) 3 2 1 1 =a+ ( OB - OA + OC - OA )= (a+b+c) 3 3 =a+ 温馨提示 (1)把平面内的三角形法则推广到空间也有 AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF (2)常用的结论:若 AD 是△ABC 的中线,则有 AD = 1 ( AB + AC ) 2 二、在平行六面体中的向量问题 【例 2】 已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,点 M 是棱 AA′的中点,点 G 在对角线 A′C 上且 CG∶GA′=2∶1,设 CD =a, CB =b, CC ? =c,试用 a,b,c 表示向量 CA , CA? , CM 、 CG . 思路分析:要想用 a,b,c 表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加法和运算律得 到. 解:如下图所示 (1) CA = CB + CD =a+b. (2) CA? = CA + CC ? =a+b+c. 1 (3) CM = CA + AM 1 1 CC ? =a+b+ c. 2 2 2 2 (4) CG = CA? = (a+b+c). 3 3 = CB + CD + 温馨提示 在平行六面体内,经常会用到平行四边形法则,另外,“三个不共面的向量的和等于以这 三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量”这一结论也经常使用. 三、利用向量解决其他问题 【例 3】 证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到 对面重心的距离的三倍. 思路分析:要证四面体的顶点与对面重心连线共点 ,且到顶点的距离是它到对面重心的距离 的三位,只须在这 4 条直线 AG1,BG2,CG3,DG4 上分别取满足条件的 4 点 H1,H2,H3,H4,然后证明 H1,H2,H3,H4 四点重合即可. 证明:设 G1,G2,G3,G4 分别是四面体 D—ABC 中四个面的重心(如下图) ,取四点 H1、H2、H3、H4, 满足 3 3 AG1 ; BH 2 = BG2 ; 4 4 3 3 CH 3 = CG3 ; DH 4 = DG4 ; 4 4 AH1 = 则 H 2 H 2 = H1 A + AB + BH2 3 3 AG1 + AB + BG2 4 4 3 1 3 1 = ? [ ( AB + AC + AD ) ]+ AB + [ ( BA + BC + BD ) ] 4 3 4 3 =? =0 所以,H1 与 H2 重合. 同理可证,H1 与 H3、H1 与 H4 重合,故 H1、H2、H3、H4 是同一点,且此点到某顶点的距离是它 到对面重心距离的三倍. 温馨提示 要证明 A,B 两点共点,只需证明 AB =0 即可;或者引入第三个点 C,证明 CA = CB ,也可说 明点 A,B 共点. 各个击破 类题演练 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有( ) 2 ①( AB + AC )+ CC1 ②( AA 1 ? A 1 D1 )+ D

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