高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修11_图文

2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程

1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用.(重点)
2.掌握椭圆的定义,会求椭圆的标准方程. (重点、难点)

实验操作
(1)取一条定长的细绳; (2)把它的两端都固定在图板的同一点处; (3)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点) 画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距 离,分别固定在图板的两点处套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是椭圆.

探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题: 1.在画椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的 还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明 了什么?

3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系?
结合实验及上面的 问题,你能给椭圆 下一个定义吗?

椭圆定义:
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.

【总结提升】

思考:在平面内动点M到两个定点F1,F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆?

|MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|<|F1F2|

椭圆 线段 不存在

在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后,我 们怎样用方程来 表示呢?

探究点2 椭圆的标准方程 思考:求曲线的方程的基本步骤是什么呢?

(1)建系设点 (2)写出点集 (3)列出方程 (4)化简方程 (5)检验

结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗?

第一步: 如何建立适当的坐标系呢? 建立坐标系的原则是:对称,简洁

y F1 O

M F2 x

方案一

y

F2 M

O

x

F1

方案二

设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦 点分别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0).
请同学们自己完成剩下的步骤,求出椭圆的方程.

解:以焦点F1,F2的所在直线为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的 焦距为2c(c>0),M与F1和F2的距离的和 等于正常数2a (2a>2c),则F1,F2的坐 标分别是(?c,0)、(c,0).

y M
F1 O F2 x

由椭圆的定义得 | MF1 | ? | MF2 |? 2a.
因为 | M F1 |? ( x ? c )2 ? y 2 ,| M F2 |? ( x ? c )2 ? y 2 ,
所以 (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? 2a.
移项,再平方
(x ? c)2 ? y2 ? 4a2 ? 4a (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2,
a2 ? cx ? a ( x ? c)2 ? y2 ,

两边再平方,得
a4 ? 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 ? 2a2cx ? a2c2 ? a2 y2 ,
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ),

两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 ? c 2 ), 得 :

x2 a2

?

y2 a2 ? c2

? 1.

请看图片:你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗?

解 : 令 b 2 ? a 2 - c 2 (a ? b ? 0),

y
P

a a2 ? c2

F1

O c F2

x

所以椭圆的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b?

0).

类似的也可以得到方案二椭圆的方程



y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?

b

?

0).

1.我 们 把 形 如

x2 a2

?

y2 b2

?

1?a

?

b

?

0?的方程叫做椭圆的标准方程,

yM

它表示焦点在x轴上的椭圆.

F1 o F2 x

2.也 把 形 如

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?

b

?

0 )叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 ,

y

它表示焦点在y轴上的椭圆.

F2 M
ox

F1

【总结提升】
思考:椭圆的标准方程有哪些特征呢? (1)椭圆的标准方程的形式:左边是两个分式 的平方和,右边是1; (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大, 则焦点在哪一个轴上; (3)椭圆的标准方程中a,b,c满足a2=b2+c2.

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),

(2,0), 并且经过点 ( 5 , ? 3 ) .求它的标准方程.
22

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设

它的标准方程为

x2 a2

?

y2 b2

?

1

(a

?

b

?

0).

待定 系数 法

由椭圆的定义知

2a ? (5 ? 2)2 ? (? 3)2 ? (5 ? 2)2 ? (? 3)2 ? 2 10

2

2

2

2

所以 a ? 1 0 .
又因为 c ? 2 ,所以
b2 ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1.
10 6

能用其他方 法求它的方
程吗?

另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它

的标准方程为:

x2 y2 a 2 ? b2 ? 1 (a ? b ? 0).

又∵焦点的坐标为 (?2, 0), (2, 0),

? a2 ? b2 ? 4. ①









(

5 2

)2

a2

?

(?

3 2

)2

b2

? 1, ②

联立①②, 解 得 a 2 ? 1 0, b 2 ? 6

因此,

所求椭圆的标准方程为:

x2 ?

y2

?1 .

10 6

【变式练习】

已知椭圆经过两点 (? 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ,求椭圆的 22

标准方程.

注意这种设法适用的情况

解:设椭圆的标准方程为 mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n),

则有

? ? ?

(?

3 )2 m 2

?

(5)2 2

n

? 1,

解得

??( 3)2 m ? ( 5)2 n ? 1,

m

?

1 6

,n

?

1 10

.

所以,所求椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 . 6 10

例2 如图,在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点P,过点P
作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动

时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解:设点M的坐标为(x,y),点P的 坐标为(x0,y0),则

y
.P .M

x?

x0, y ?

y0 , 2

相关点法

因为点P(x0,y0)在圆

OD

x

x2 ? y2 ? 4上 , 所 以

x

2 0

?

y

2 0

?

4.



把点x0=x,y0=2y代入方程①,得

x 2 ? 4 y 2 ? 4,

从例2你能发



x2 ? y2 ? 1.

4

现椭圆与圆之 间的关系吗?

所以点M的轨迹是一个椭圆.

【变式练习】 已知圆 x2 ? y2 ? 9 ,从这个圆上任意一点P向x轴作

垂线段 PP ' ,点M在 PP ' 上,并且 PM ? 2MP' ,则点M的

轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1 9

.

例3 如图,设点A,B的坐标分别是(-5,0)和(5,0),

直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求
9
点M的轨迹方程.

解:设点M的坐标(x,y),因为

点A的坐标是(-5,0),所以,直

线AM的斜率为

A

y

k AM

?

x

(x ?5

?

?5);

y M

B

O

x

同理,直线BM的斜率

kBM

?

y (x x?5

?

5).

由已知有

y ? y ? ? 4 ( x ? ?5), x?5 x?5 9

化简,得点M的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5).
25 100 9

1.已知F1,F2是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, 25 9
过F1的直线交椭圆于M,N两点,则三角形

MNF2的周长为( B )

yM

A.10 C.30

B.20 D.40

F1 o

F2

x

N

解题关键:涉及椭圆上的点到两个焦点的距离时,

优先考虑利用椭圆的定义解题。

2.椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为2,则m的值等于( C ) m4

A.5

B.3

C.5或3

D.8

解题关键:当椭圆的焦点不确定时,要分焦点在 x轴和y轴两种情况讨论。

C

4.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是 一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两 个焦点的距离和为3 m,求这个椭圆的标准方程.

解:以两个焦点F1,F2所在的直线为x轴,以线

段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,

则这个椭圆的标准方程为

y P

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)
a2 b2

F1 O F2 x

根据题意知,2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2.所以

b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81,因此椭圆的标准方程为

x2

y2

? ? 1.

2.25 0.81

图 形
定义 方程 焦点
a,b,c 的关系

y
P
F1 o F 2 x

y

F2

P

ox
F1

{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}

x2 a2

?

y2 b2

?1

?a ? b ? 0?

y2 a2

?

x2 b2

?1

?a ? b ? 0?

F(±c,0)

F(0,±c)

b 2 ? a 2 ? c 2 (a,b,c中 a最 大 )

每个人都有潜在的能量,只是很容易: 被习惯所掩盖,被时间所迷离,被惰性所消 磨。


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