鲁京辽2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱锥台和球的体积课件新人教B版必修2_图文

第一章 §1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 学习目标 1.理解祖暅原理的内容. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导. 3.掌握柱、锥、台和球的体积公式. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 思考 祖暅原理 取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ,并改变它们的放置方法, 观察改变前后的体积是否发生变化?从这个事实中你得到什么启发? 答案 体积没有发生变化,从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若 在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等. 梳理 祖暅原理的含义及应用 (1)内容:幂势既同,则积不容异. (2) 含义:夹在 两个平行平面间 的两个几何体,被平行于这两个平面的 任意平面 所截,如果截得的两个截面的面积总相等 ,那么这两个几何体 的体积相等. (3)应用:等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等. 知识点二 柱、锥、台、球的体积公式 名称 柱体 棱柱 体积(V) V=Sh _______ V=πr2h __________ 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 1 V=3Sh _________ 1 2 V=3πr h _________ 棱台 台体 圆台 1 V=3h(S+ SS′ +S′ ) _____________________ 1 2 V=3πh(r2+rr′ +r′ ) _____________________ 球 4 3 V=3πR __________ 其中S′、S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、 下底面的半径,R表示球的半径. [思考辨析 判断正误] 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) 3.两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.( × ) 题型探究 类型一 例1 柱体、锥体、台体的体积 (1) 如图所示,已知三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的所有棱长均为 1 ,且 3 12 AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为_____. 解析 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的 3 1 体积,三棱锥 A-B1BC1 的高为 2 ,底面积为2,故其体 1 1 3 3 积为3×2× 2 = 12 . 解析 答案 (2) 如图所示,在长方体 ABCD - A′B′C′D′ 中,用截面截下一个棱 锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解 设AB=a,AD=b,AA′=c, 1 1 1 1 ∴VC-A′D′D=3CD· S△A′D′D=3a· 2bc=6abc, ∴剩余部分的体积为 VABCD-A′B′C′D′-VC-A′D′D 1 5 =abc-6abc=6abc, ∴棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 解答 反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解. ②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面 积和高都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分 利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算. 跟踪训练1 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的 正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积 之和,求棱台的高和体积. 解答 类型二 例2 球的体积 (1) 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面 时测得水深为6 cm,如果不计容器厚度,则球的体积为 √ 500π A. 3 cm3 1 372π 3 C. 3 cm 866π B. 3 cm3 2 048π D. 3 cm 解析 答案 (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上, 6a 则该球的体积为_____. 解析 长方体的体对角线是其外接球的直径,由长方体的体对角线为 3 ?2a?2+a2+a2= 6a, ? 6 4 ? 6 ?3 3 得球的半径为 2 a,V=3π? = 6 a . a ? ? ? 2 ? 解析 答案 反思与感悟 (1)求球的体积,关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题,往往需要作截面来解决,所作的截面尽 可能过球心、切点、接点等. 跟踪训练 2 (1)一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面,球心到这个 平面的距离是 2 cm,则该球的体积是 A.12π cm3 C.64 6π cm3 √ B.36π cm3 D.108π cm3 解析 答案 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 A.πa 解析 2 √ 7 2 B.3πa 11 2 C. 3 πa D.5πa2 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a. 如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心, 2 3 3 1 易知 AP=3× 2 a= 3 a,OP=2a, ? 3 ? ?1 ? 7 2 ? ? ? ?2 2 2 2 所以球的半径 R 满足 R =OA =? a? +?2a? =12a , ? ? ? 3 ? 7 2 2 故 S 球=4πR =3πa . 解析 答案 类型三 命题角度1 等体积法 几何体体积的求法 例3 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1 1 6 的体积为___. 解析 V三棱锥A-DED =V三棱锥E-DD A 1 1 1 1 1 =3×2×1×1×1

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