2018-2019学年高中数学北师大版选修2-3课件:第一章 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理_图文

知识点一 §1 分类 加法 计数 原理 和分 步乘 法计 数原 理 理解教材新知 知识点二 考点一 第 一 章 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 § 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 分类加法计数原理 1.李娜为了备战 2014 年澳大利亚网球会开赛,需要从北 京到 A 地进行封闭式训练,每天有 7 次航班,5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城的方法可分几类? 提示:两类,即乘飞机、乘动车. 问题 2:这几类方法都能完成“从北京到 A 城”这件事吗? 提示:都能. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7+5=12(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名同学 担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26+24=50. 分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方 法,在第二类办法中有 m2 种方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 m1+m2+?+mn 种方法. N=_________________ 分步乘法计数原理 1.李娜从北京到 A 城需在 B 城停留,若从北京到 B 城有 7 次航班,从 B 城到 A 城有 5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城需要经历几个步骤? 提示:两个,即从北京到 B 城,从 B 城到 A 城. 问题 2:这几个步骤中的某一步能完成“从北京到 A 城”这 件事吗? 提示:不能.必须“从北京到 B 城”“从 B 城到 A 城”这两 步都完成后才能完成“从北京到 A 城”这件事. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7×5=35(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名男生和一名 女生担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26×24=624. 分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法, 做第二步有 m2 种方法, ??, 做第 n 步有 mn 种方法. 那 么,完成这件事共有 m1×m2×?×mn 种方法. N=________________ 1.分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事 情, 而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中 间环节,都不能独立完成这件事情. 2.分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分 成不同的类别,求各类方法之和;而分步乘法计数原理考虑的 是完成这件事情的过程被分成不同的步骤,求各步骤方法之 积. 分类加法计数原理 [例 1] 高二· 一班有学生 50 人,男生 30 人;高二· 二班有学 生 60 人,女生 30 人;高二· 三班有学生 55 人,男生 35 人 (1)从中选一名学生担任学生会主席, 有多少种不同的选法? (2)从高二· 一班、二班男生中,或从高二· 三班女生中选一名 学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法? [思路点拨] (1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任 学生会主席;(2)完成的一件事是从一班、二班男生中,或从三班 女生中选一名学生任学生会体育部长,因而可按当选学生来自不 同班级分类,利用分类加法计数原理求解. [精解详析] 法: (1)选一名学生任学生会主席有 3 类不同的选 第一类,从高二· 一班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班选一名,有 55 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种不同的方法. (2)选一名学生任学生会体育部长有 3 类不同的选法: 第一类,从高二· 一班男生中选,有 30 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班男生中选,有 30 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班女生中选,有 20 种不同的方法. 故选一名学生任学生会体育部长共有 30+30+20=80 种不同的方法. [一点通] 如果完成一件事有 n 类不同的办法,而且这 n 类办法是相互独立的, 无论用哪一类办法中的哪一种方法都能 独立地完成这件事, 那么求完成这件事的方法种数就用分类加 法计数原理. 分类要做到“不重不漏”, 分类后再分别对每一 类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总种数. 1.上海世博会期间,一志愿者带一客人去预订房间,宾馆有上 等房 10 间,中等房 20 间,一般房 25 间,则客人选一间房的 选法有 A.500 种 C.55 种 B.5 000 种 D.10 种 ( ) 解析:选法为 10+20+25=55 种. 答案:C 2.(福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+ b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为 A.14 C.12 B.13 D.10 ( ) 解析:因为 a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当 a=0 时, b 可能为-1 或 0 或 1 或 2, 即 b 有 4 种不同的选法; ②当 a≠0 时,依题意得 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.当 a=-1 时,b 有 4 种不同的选法,当 a=1 时,b 可能为-1 或 0 或 1,即 b 有 3 种不同的选法,当 a=2 时,b 可能为-1 或 0,即 b 有 2 种不同的选法.根据分类加法计数原理,(a,b)的个数共有 4 +4+3+2=13. 答案:B 3.在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有多少 个? 解:依据“十位数字大于个位数字”进行分类,令十位数字 为 m,个位数字为 n,则有 当 m=1 时,n=0,有 1 个; 当 m=2 时,n=0,1,有 2 个;当 m=3 时,n=0,1,2,有 3 个;??

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