2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A卷)解析

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科 A 卷)
年级:____________
锥体的体积公式: V ?

姓名:____________

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

1 Sh .其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 S ? {x | x2 ? 2x ? 0, x ? R} , T ? {x | x2 ? 2x ? 0, x ? R} ,则 S A. {0} 2.函数 f ( x ) ? B. {0, 2} C. {?2, 0} D. {?2, 0, 2}

T?

开始 输入n i=1, s=1

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
B. [?1, ??) D. [?1,1)

A. (?1, ??) C. (?1,1)

(1, ??)

(1, ??)
i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1
D.

否 输出s 结束

3.若 i( x ? yi ) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A .2 4.已知 sin( B.3 C.4 D .5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5

2 . 5

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 值是 A .1 B.2 C.4 D.7 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.

图 1

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

2

2 2 7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线

方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

1 正视图

1 侧视图

俯视图 图 2

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
第 1 页 共 8 页

A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2

x2 y2 ? ?1 A. 3 4

x2 y2 B. ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

x2 y2 ? ?1 D. 4 3

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 12.若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2



?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 B ? y ?1 ?
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 15. (几何证明选讲选做题)
A



C

E D



图 3

如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?



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选择题答案区 题号 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3? 3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

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17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在 [80,85) 的 有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

第 4 页 共 8 页

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是

B F 沿 AF 折起, BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G , 将 ?A 得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,
其中 BC ?

2 . 2
2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

(1) 证明: DE //平面 BCF ;(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;ks5u (3) 当 AD ?
A

G

E

D

G

E
D

B

F 图 4

C

F

C

B

图 5

第 5 页 共 8 页

19. (本小题满分 14 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构

成等比数列. (1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

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20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3 2 . 设P 2

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21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

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