高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_3复数的几何意义教学案苏教版选修2_2

3.3 复数的几何意义
[对应学生用书 P43]

复平面的定义

问题 1:平面向量可以用坐标表示,试想复数能用坐标表示吗? 提示:可以. 问题 2:试说明理由. 提示:因复数 z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)惟一确定,由(a,b)与平面直角 坐标系点一一对应,从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应.

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示
纯虚数. 复数的几何意义

已知复数 z=a+bi(a,b∈R). 问题 1:在复平面内作出复数 z 所对应的点 Z. 提示:如图所示. 问题 2:向量 OZ 和点 Z 有何关系? 提示:有一一对应关系. 问题 3:复数 z=a+bi 与 OZ 有何关系? 提示:也是一一对应.

1.复数与点,向量间的对应关系

2.复数的模 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为 OZ ,则 OZ 的模叫做复数 z 的模(或绝对值), 记作|z|,且|z|=|a+bi|= a +b .
2 2

复数加减法的几何意义

如图 OZ1 、 OZ2 分别与复数 a+bi,

c+di 对应.
问题 1:试写出 OZ1 、 OZ2 及 OZ1 + OZ2 、 OZ1 - OZ2 的坐标. 提示: OZ1 =(a,b), OZ2 =(c,d),

OZ1 + OZ2 =(a+c,b+d), OZ1 - OZ2 =(a-c,b-d).
问题 2:向量 OZ1 + OZ2 及 OZ1 - OZ2 所对应的复数分别是什么? 提示:(a+c)+(b+d)i 及(a-c)+(b-d)i.

1.复数加法的几何意义

OZ2 分别与复数 z1=a+bi, 设向量 OZ1 , z2=c+di 对应, 且 OZ1 和 OZ2
不共线.如图,以 OZ1 , OZ2 为邻边画平行四边形 OZ1ZZ2,则其对角线 OZ 所表示的向量 OZ OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 2.复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算, 设 OZ1 ,OZ2 分别与复数 a+bi, c+di 相对应, 且 OZ1 ,

OZ2 不共线,如图.

则这两个复数的差 z1-z2 与向量 OZ1 - OZ2 (等于 Z2 Z1 )对应, 这就是复数减法的几何 意义. 3.设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1-z2|=

a-c

2



b-d

2



即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

1.复平面上点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部. 2.表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都表示实数,它们是一一对应的;表示纯虚 数的点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数,如原点表示实数 0. 3.在平面向量中,向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同 的.

[对应学生用书P44]

复数的几何意义

[例 1] 实数 x 分别取什么值时, 复数 z=x +x-6+(x -2x-15)i 对应的点 Z 在下列 位置? (1)第三象限;(2)第四象限;(3)直线 x-y-3=0 上? [思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解.若已知复数 z=a+bi(a,b ∈R),则当 a<0 且 b<0 时,复数 z 对应的点在第三象限;当 a>0 且 b<0 时,复数 z 对应的点 在第四象限;当 a-b-3=0 时,复数 z 对应的点在直线 x-y-3=0 上. [精解详析] 因为 x 是实数,所以 x +x-6,x -2x-15 也是实数. 若已知复数 z=a+bi,则当 a<0,且 b<0 时,复数 z 对应的点在第三象限; 当 a>0,且 b<0 时,复数 z 对应的点在第四象限; 当 a-b-3=0 时,复数 z 对应的点在直线 x-y-3=0 上.
?x +x-6<0, ? (1)当实数 x 满足? 2 ?x -2x-15<0, ?
2 2 2

2

2

即-3<x<2 时,点 Z 在第三象限.

? ?x +x-6>0, (2)当实数 x 满足? 2 ?x -2x-15<0, ?

2

即 2<x<5 时,点 Z 在第四象限. (3)当实数 x 满足(x +x-6)-(x -2x-15)-3=0, 即 x=-2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上. [一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系, 每一个复 数都对应着一个有序实数对, 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点, 就可根据点 的位置判断复数的实部、虚部的取值.
2 2

1.(湖北高考改编)在复平面内,复数 z= 第________象限. 解析: z= 2i = 1+i - + - =

2i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于 1+i

- 2

=i+1 的共轭复数为 1-i, 对应的点

为(1,-1)在第四象限. 答案:四 2.求当实数 m 为何值时,复数 z=(m -8m+15)+(m +3m-28)i 在复平面内的对应点 分别满足下列条件: (1)位于第四象限; (2)位于 x 轴的负半轴上.
? ?m -8m+15>0, 解:(1)由题意,知? 2 ?m +3m-28<0, ? ?m<3或m>5, ? 解得? ? ?-7<m<4.
2 2 2

即-7<m<3. 故当-7<m<3 时,复数 z 的对应点位于第四象限.
?m -8m+15<0 ? (2)由题意,知? 2 ?m +3m-28=0 ?
2

① ②

由②得 m=-7 或 m=4. 因 m=-7 不适合不等式①,

m=4 适合不等式①,
所以 m=4.

故当 m=4 时,复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上. 复数模及其几何意义的应用

1 3 [例 2] 已知复数 z1= 3-i 及 z2=- + i. 2 2 (1)求|z1|及|z2|的值并比较它们的大小; (2)设 z∈C,满足|z2|≤|z|≤|z1|的点 z 的集合是什么图形. [思路点拨] 由复数的模长公式求出|z1|及|z2|, 然后比较大小; (2)根据点数模的几何 意义画出图形. [精解详析] (1)|z1|=| 3-i|= 3 ? ? 1 |z2|=?- + i?= 2 2 ? ? 所以|z1|>|z2|. (2)由(1)知 1≤|z|≤2,因为不等式|z|≥1 的解集是圆|z|=1 上和 该圆外部所有点组成的集合,不等式|z|≤2 的解集是圆|z|=2 上和该圆 内部所有点组成的集合, 所以满足条件 1≤|z|≤2 的点 Z 的集合是以原点 3
2

+ -

2

=2,

?-1?2+? 3?2=1, ? 2? ? ? ? ? ?2?

O 为圆心,以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界,如图
所示. [一点通] (1)计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进 行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. (2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离.

3.(辽宁高考改编)复数 z=

1 的模为________. i-1 -1-i = 2

1 -1-i 解析:∵z= = -1+i -1+ -1- 1 1 =- - i, 2 2 ∴|z|= 答案: 2 2

?-1?2+?-1?2= 2. ? 2? ? 2? 2 ? ? ? ?

4.已知 z=3+ai,且|z-2|<2,则实数 a 的取值范围是________.

解析:∵z=3+ai,∴z-2=1+ai, ∴|z-2|= 1+a <2,即 1+a <4, ∴a <3,即- 3<a< 3. 答案:(- 3, 3) 5.设 z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图 形? 解:法一:由|z|=|3+4i|得|z|=5. 这表明向量 OZ 的长度等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5. 因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 5 为半径的圆. 法二:设 z=x+yi(x,y∈R),则|z| =x +y . ∵|3+4i|=5, ∴由|z|=|3+4i|得 x +y =25, ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 5 为半径的圆.
2 2 2 2 2 2 2 2

复数加减运算的几何意义

[例 3] 已知?OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为 0,3+2i,-2+4i,试求: (1) AO 表示的复数;(2) CA 表示的复数;(3)点 B 对应的复数. [思路点拨] 点O,A,C 向量的坐标表示 AO , CA , OB ― ― ― ― ― ― → 对应的复数 的坐标形式 复数在复平面上 ― ― ― ― ― ― → 与向量一一对应

AO , CA , OB 对应的复数

[精解详析] (1) AO =- OA ,故 AO 表示的复数为-(3+2i),即-3-2i. (2) CA = OA - OC ,故 CA 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) OB = OA + AB = OA + OC ,故 OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即点 B 对应的复数为 1+6i. [一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知:复数的加、减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算. (2)复数的加、减运算用向量进行时,同样满足平行四边形法则和三角形法则. (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.

6.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复 数 z,z 在平面内对应的点在第几象限? 解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z 的实部-1<0,虚部 1>0, ∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内. 7.在复平面内,点 A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i.以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的复数 z4 及 AD 的长. 解:如图,由复数加减法的几何意义,
AD = AB + AC ,

即 z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1). 所以 z4=z2+z3-z1=7+3i. |AD| = |z4 - z1| = |(7 + 3i) - (1 + i)| = |6 + 2i| = 2 10.

1.复数模的几何意义 复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁, 使得复数问题可以用几何方法解 决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径. (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi); (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应向量 OZ 是以原点 O 为起点的,否则就谈不上一一 对应,因为复平面上与 OZ 相等的向量有无数个. 2.复数的模 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a +b ; (2)从几何意义上理解,表示点 Z 和原点间的距离,类比向量的模可进一步引申:|z1 -z2|表示点 Z1 和点 Z2 之间的距离.
2 2

[对应学生用书P45]

一、填空题

1.若 OA 、 OB 对应的复数分别是 7+i,3-2i,则| AB |=________. 解析:∵ OA =(7,1), OB =(3,-2), ∴ AB = OB - OA =(-4,-3), ∴| AB |=5. 答案:5 2.(重庆高考改编)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于第________象限. 解析:i(1-2i)=2+i 对应的点为(2,1),位于第一象限. 答案:一 3.若 z+|z|=2+8i,则 z=________. 解析:法一:设 z=a+bi(a,b∈R), 则|z|= a +b , 代入方程得 a+bi+ a +b =2+8i.
2 2 2 2

?a+ a2+b2=2, 所以? ?b=8,
所以 z=-15+8i.

解得?

? ?a=-15, ?b=8, ?

法二:原式可化为 z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R,∴2-|z|是 z 的实部. 于是|z|= ∴|z|=17. 代入 z=2-|z|+8i,得 z=-15+8i. 答案:-15+8i 4.已知 z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),若 z1+z2 所对应的点在实轴上,则 a=________. 解析:z1+z2=2+i+3+ai=5+(a+1)i, 由 z1+z2 所对应的点在实轴上可知 a+1=0,即 a=-1. 答案:-1 1 5.(新课标全国卷Ⅰ改编)设 z= +i,则|z|=________. 1+i 1 解析: +i= 1+i 2 . 2 1-i + - 1-i 1 1 +i= +i= + i,则|z|= 2 2 2 -|z
2

+8 ,即|z| =68-4|z|+|z| ,

2

2

2

?1?2+?1?2= ?2? ?2? ? ? ? ?

答案:

2 2

二、解答题 6.若复数 z=(m +m-2)+(4m -8m+3)i(m∈R)的共轭复数 z 对应的点在第一象限, 求实数 m 的集合. 解:由题意得 z =(m +m-2)-(4m -8m+3)i, z 对应的点位于第一象限,
?m +m-2>0, ? 所以有? ?- m2-8m+ ?
2 2 2 2 2



?m +m-2>0, ? 所以? 2 ?4m -8m+3<0, ?

2

m<-2或m>1, ? ? 所以?1 3 <m< , ? ?2 2
? ? 3? 3 即 1<m< ,故所求 m 的集合为?m?1<m< ? 2? 2 ? ?

.

7.在复平面内 A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i. (1)求 AB , BC , AC 对应的复数; (2)判断△ABC 的形状; (3)求△ABC 的面积. 解:(1) AB 对应的复数为 zB-zA=(2+i)-1=1+i.
BC 对应的复数为 zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i. AC 对应的复数为 zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.

(2)由(1)知| AB |=|1+i|= 2, | BC |=|-3+i|= 10, | AC |=|-2+2i|=2 2, ∴| AB | +| AC | =| BC | . 故△ABC 为直角三角形. 1 1 (3)S△ABC= | AB |·| AC |= × 2×2 2=2. 2 2 8.若 z∈C 且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值. 解:已知|z-(-2+2i)|=1 中,z 的对应点轨迹是以(-2,2)为圆心,1 为半径的圆,|z- (2+2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离, 最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径, 易 得值为 3
2 2 2


相关文档

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_3复数的几何意义教学案苏教版选修2_2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修2-2
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义教学案苏教版选修2_2(含答案)
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义教学案苏教版选修2 2(数学教案)
江苏省泰兴中学高中数学第3章数系的扩充与复数的引入4复数的几何意义教学案数学知识点苏教版选修2 2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义教学反思新人教A版选修1_2
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义教学案苏教版选修2_2
电脑版