2.3.2《双曲线的几何性质(1)》导学案 (1)


数学选修 2-1

2.3.2《双曲线的简单几何性质(1)》导学案
编写人:田勇 班级 审核:高二数学组 组名: 时间:2013-03-07 姓名

【学习目标】 A 级目标:1、通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的简单几何性质。 B 级目标:能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 【重点难点】 重点:双曲线的简单几何性质及其应用。 难点:渐近线方程的导出及理解。 【学习过程】 复习引入 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

二、独立学习

归纳结论

x2 y2 几何性质的方法,研究双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的几何性质。 a b y2 ①范围 :由双曲线的标准方程可得: 2 ? 从而得 x 的范围: ; b x2 即双曲线在不等式 和 所表示的区域内。 2 = 从而得 y 的范围 a
为 。 所以双曲线关于 对称。同理,以 ? y

②对称性:以 ?x 代 x ,方程不变,这说明 代 y ,方程不变得双曲线关于 双曲线关于 对称。

对称,以 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y ,方程也不变,得

③顶点:即双曲线与对称轴的交点。在方程 线的顶点坐标为 A1 ( 上 (如图) 。 线段 ) A2 (

x2 y2 ? ? 1 里,令 y=0,得 x= a2 b2
) B2 (

得到双曲 )也画在 y 轴 。

) ;我们把 B1 (

分别叫做双曲线的实轴和虚轴, 它们的长分别为

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④离心率:双曲线的离心率 e=

,范围为



[思考]离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?

5 渐近线: ○ 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 a 2 b2

,双曲线各支向外延伸时,与它的渐近线

闯关练习 两班对抗 根据上述五个性质,画出椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 的图象。 16 9 16 9

三、对学群学,交流展示 整合前面的探究结果,类比出双曲线焦点在 y 轴时的几何性质,完成下表。 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

图 象

范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c 关系

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闯关练习 两班对抗
椭圆 方程 双曲线

a,b,c 的关系

图形

范围

对称性

顶点

离心率

渐近线

四.合作互助

攻克疑难
2 2

例 1.求双曲线 9 y ?16 x ? 144 渐进线方程。

的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、

闯关练习 两班对抗 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

例 2.求双曲线的标准方程: ⑴ 实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵ 离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ;

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闯关练习 两班对抗 x2 y 2 1.求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程. 8 5

2.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一焦点是 F1 (?6,0) ,求它的标准方程和渐近线方程.

【当堂检测】

x2 y 2 . ? ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.双曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . , 2 ) A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ( ?0 ) 并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 的方程 3 . 经 过 点 A( 3?, 1 , 是 .
1. 双曲线 4.求 16x ? 9 y ? ?144的顶点坐标,半实轴长、半虚轴长,渐近线方程。
2 2

【课后反思】 1.今天你的收获是什么? 2.你有哪些方面需要努力? 【课后巩固提高】 x2 y 2 1.双曲线 ? . ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 2.双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方程是 3.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ? .

4 的双曲线的标准方程. 3

4.求离心率为 2 ,经过点 M(-5,-3)的双曲线标准方程。

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