2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换

一、选择题

[A 级 基础巩固]

1.函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.23π C.π D.2π

解析:因为 y= 3sin 2x+cos 2x

=2??? 23sin 2x+21cos 2x???

=2sin???2x+π6 ???,

所以最小正周期为 T=2ωπ =22π =π .

答案:C

2.若函数 f(x)=-sin2 x+12(x∈R),则 f(x)是(

)

A.最小正周期为π2 的奇函数

B.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析:f(x)=-1-c2os 2x+12=12cos 2x.

答案:D

3.已知 cos???x-π6 ???=- 33,则 cos x+cos???x-π3 ???的值是(

)

A.-2 3 3 B.±2 3 3 C.-1 D.±1

解析 :cos

x+cos???x-π3 ???=cos

x+

1 2

cos

x+

3 2

sin

x



3 2

cos

x+

3 2

sin

x=

3

??? 23cos x+12sin x???= 3cos???x-π6 ???=-1.
答案:C 4.若 sin(α + β )cos β -cos(α + β )sin β =0,则 sin(α +2 β )+sin(α

1

-2 β )等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 解析:因为 sin(α + β )cos β -cos(α + β )sin β =sin(α + β - β )=
sin α =0, 所以 sin(α +2 β )+sin (α -2 β )=2sin α cos 2 β =0. 答案:C

5.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x<π2 ,则 f(x)的最大值是( )

A.1 B.2 C. 3+1 D. 3+2

解析:f(x)=(1+ 3tan x)cos x=

???1+

3

sin cos

xx???cos

x=

3sin x+cos x=

2sin???x+π6 ???.

因为

0≤x<π2

,所以π6

≤x+π6

2 <3π



所以当 x+π6 =π2 时,f(x)取到最大值 2.

答案:B 二、填空题 6.已知 α 为第二象限角,sin α =35,则 tan 2α =________.

解析:由 sin α =35,且 α 为第二象限角得,cos α =- 1-sin2α =-45,

所以 tan

α

sin =cos

α α

3 =-4,tan



=12-tatnanα2α

24 =- 7 .

答案:-274

7.若 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ =________.

解析:因为 3sin x- 3cos x=2 3??? 23sin x-12cos x???=2 3sin???x-π6 ???,因为 φ ∈(-
π ,π ),所以 φ =-π6 .

答案:-π6

1

3

8. sin

π18-cos

π =________. 18

2

cos 1π8-

3sin

π 18

解析:原式=

sin

1π8cos

π 18



2???21cos

π18- 21sin

23sin
π 9

π18???=4sin
sin

π 9
π 9

=4.

答案:4

三、解答题

9.已知 cos

θ

=-275,θ

∈(π ,2π ),求 sin

θ 2

+cos

θ 2

的值.

解:因为 θ ∈(π ,2π ),

所以θ2 ∈???π2 ,π ???,

所以 sin

θ 2



1-cos 2

θ

=45,

cos

θ 2

=-

1+cos 2

θ

=-35,

所以 sin

θ 2

+cos

θ 2

=15.

10.已知 2sin???π4 +α

???=sin

θ

+cos

θ

,2sin2β

=sin



,求证:sin



1 +2cos

2β =0.

证明:由 2sin???π4 +α ???=sin θ +cos θ ,

得 2cos α + 2sin α =sin θ +cos θ ,

两边平方得,2(1+sin 2α )=1+sin 2θ ,①

又 sin2β =sin 2θ ,② 由①②两式消去 sin 2θ ,得 2(1+sin 2α )=1+2sin2β ,

即 2sin 2α +cos 2β =0,所以 sin 2α +12cos 2β =0.

B 级 能力提升

1.(2016·山东卷)函数 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)的最小正周期是 ()

A.π2

B.π

3

C.3π2

D.2π

解析:法一:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)

=4??? 23sin x+12cos x?????? 23cos x-12sin x???

=4sin???x+π6 ???cos???x+π6 ???=2sin???2x+π3 ???, 所以 T=22π =π .

法二:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)

=3sin xcos x+ 3cos2x- 3sin2x-sin xcos x

=sin 2x+ 3cos 2x=2sin???2x+π3 ???, 所以 T=22π =π .

答案:B 2.在△ABC 中,若 cos A=13,则 sin2B+2 C+cos 2A 等于________.

解析:在△ABC

中,B+2 C=π2

A -2,

所以 sin2B+2 C+cos 2A=sin2???π2 -A2???+cos 2A= cos2 A2+cos 2A=1+c2os A+2cos2 A-1=-19.

1 答案:-9 3.(2015·安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间???0,π2 ???上的最大值和最小值. 解:(1)因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2

sin???2x+π4 ???+1, 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π2 =π .

(2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin???2x+π4 ???+1.

4

当 x∈???0,π2 ???时,2x+π4 ∈???π4 ,54π ???, 由正弦函数 y=sin x 在???π4 ,54π ???上的图象知, 当 2x+π4 =π2 ,即 x=π8 时,f(x)取得最大值 2+1; 当 2x+π4 =54π ,即 x=π2 时,f(x)取得最小值 0.

π (一)12分
? 爸的白发不是老
李娟 ①父亲病了。你问他一件事,回答句话重复多遍走路变得慢有时不小心就会摔倒
综上,f(x)在 0, ②我陪他去医院看病,住进部十五楼的心脑血管科。 ③医生问他,清晨吃的什么饭有几个孩子。时答对错你女儿日是哪天?想不起来了看着我向求助像无摇头要替回苦笑一脸奈走出病房再也忍住满眶盈泪水 ④上个世纪六十年代大学毕业的父亲,专是建筑设计。那深夜里伏案图纸哪去了?给我辅导高等数健步如飞无情光阴带走轻 ⑤下午,在医院的走廊里我搀扶着父亲练习路一步慢地。牵手他柔软温暖臂上有了几颗老人斑边陪散安慰生说你症状是最轻要好运动就能恢复得和从前样点头像个年幼孩子依恋对话深信不疑 ? 2 ⑥握着父亲温暖的手,恍然记起我童年时那冬天故乡白鹿原落了一场罕见大雪。寒夜里要去邻村学校接母他急忙穿件黑色毛呢衣出门蹦跳也跟只早停并不走在望无际田间后空气清新极冽如甘泉般踏步地小花棉袄迈碎路跑才得上脚有力中问冷?摸冻红鼻子仰头说撩让钻进好脑袋到腰即使躲片漆看道牵点怕串印旁伴踩积“吱”作响 ⑦恍惚间,我还是四岁的小妞父亲天空高山大树永远依恋家。可一转眼就老了月积雪堆满发作朱文说爸白不读着这句话泪落下来 ⑧我们站在医院十五楼的窗口向外张望,父亲说几年前来汉江之畔小城时这里还是一片荒地现都盖满高了。 ⑨父亲就像是黄昏暮色里的一只倦鸟,卧在高楼上回忆昔日往事他黑发健步如飞风华正茂—眼含着无尽忧伤。 ⑩是谁说过,长寿的代价沧桑。似水流年里人间亲情都雪中炭锦上花不吗?你我来及慢地等在父母有生之好爱他们因为两命衔接处光阴只窄台阶啊 (选自《北京青年报》,有删改) 15.文章多处将父亲的现在与过去作对比,请写出其中两组。(2分) (1)过去父亲深夜里伏案设计图纸,给“我”辅导高等数学现在却变得健忘、迟钝。2步如飞走路慢了有时一不小心就会摔倒3是的依靠保护神像个年幼孩子恋对话信疑 16.联系上下文,说第⑥段画线句环境描写的作用。(2分) 渲染了雪夜里“我”跟随父亲去接母时的欢快心情,为下文叙事和抒做铺垫。 17.请自选一个角度,简要赏析第⑨段文字。(可从用词、修辞表现手法等)2分 示例:把父亲比喻为“黄昏暮色里的一只倦鸟”,写出了老迈;排句气呵成字行间流露对怜惜之情有淡忧伤。 18.请结合语境,理解第⑩段画线句“似水流年里人间亲情都是雪中的炭锦上花”深刻含义。(2分) 时间的流逝是无情和沧桑,唯一不变亲。它就像“雪中送炭”给我们带来温暖;又锦上添花心灵慰藉馨生命短暂要珍惜善待人 19.【甲】乙两个片段都写了作者为父亲流泪,请具体说的原因。(4分) 【甲】可是一转眼间,父亲就老了岁月的积雪堆满发。作家朱天文说爸白不读着这句话我泪落下来 (李娟《爸的白发不是老》) 【乙】我北来后,他写了一信给中说道:“身体平安唯膀子疼痛厉害举箸提笔诸多不便大约去之期远矣。”读到此处在晶莹的泪光又看见那肥胖、青布棉袍黑马褂背影唉!知何时再能与相 (朱自清《背影》) 【甲】作者看到爸满头白发,想父亲一生的辛劳沧桑对充着怜惜而流泪。 【乙】“我”读了父亲的来信,想到艰难和困顿流是伤心之泪表达对深思念情。 (二)1分 翠湖留下的心影 张长 ①翠湖,这个昆明市中心的公园内楼台亭阁曲水回廊树影婆娑波光潋滟于高大厦车马龙突现样一好去处实为难得。汪曾祺先生在《》说:“城有国全世界都是不多” ②翠湖原名“九龙池”。据清人倪蜕《滇云历年传》载:泉所出,汇而成故还有一个老字菜海子想是当回透彻蔬圃居其半再早只昆明城外片沼泽水河洗马初沐英带兵入南曾在这里种柳牧19政府此地修建公园因十亩荷花鱼世界杨拂楼台的光山色改 ③翠湖一年四季都是绿的。尤以雨草木繁茂,树几乎覆盖了全部楼台亭阁高处望去只片碧水此时就剩个字—“”引得汪曾祺又次赞叹:这名取真好!还写道昆明人特意来游也有不多数往里穿过(《心影》)可想见当地西郊么静谧 ④随着城市的急剧膨胀,昆明区较以往扩大许多翠湖早已置身中心成了一个街花园。闹能有这样好去处自然会为路人、游客抄近道览休闲健首选我家住边是福气现在却无奈 ⑤每日里尚未破晓,必有一中年壮汉在湖边仰天作狮子吼道:“欧—!”此公气十足声音极具穿透力和感染闻心头颤整个人都要随他痛惜良久。即这类叫层出不穷起彼伏时间翠百家争鸣
⑥稍后歌舞健身大军正式入园。“水月轩”面积不足一亩,却有五六群唱跳晨练的人他们自带音响各踞方种风格异乐轰然混成片旁早已分清楚者能安之若素互见怪依旧踩着己节奏手蹈 ⑦也有占据一个小亭子,角回栏在支笛或把二胡的伴奏下独唱哪怕声音沙哑尖锐刺耳歌者自得其乐。还郑重地穿上演出服化了妆大妈们三五成群开足响边跳陶最气势当数彝族左脚舞来便几十百人围圈弹着月琴、弦时中间不停歇通宵达旦问题 ⑧临窗而望,如今的翠湖被几十层高楼大厦团围住已成了一个小盆景昔日那片“柳林洗马”田园风光早没寻处。 ⑨“逝者如斯夫”,吾梦寐以求之。我一直试图找回汪曾祺先生笔下的翠湖心影日傍晚小雨淅沥不再人头攒动歌舞欢腾当即决定独自漫步寻丝去静谧穿行于园中听细沙作响树语看绰楼阁品这些百年前留风景…鱼儿出泼喇声里果真跃起了条大刹那间仿佛到《》阵惊喜然而落入水面却荡五颜六色霓虹种变幻使明白:早已是红只罢 ⑩明天,又将是这个小盆景歌舞喧嚣的一。 20.联系上下文,说第⑤段中加点的词“百家争鸣”含义。(分) 原指说法很多,文中早晨翠湖里吼叫的人。在此作者委婉地表达了对清“扰梦”声厌恶与不满 21.作者住在翠湖边,对的感受有怎样变化?(3分) 先前的翠湖是一个好去处,实在难得;随着城市急剧膨胀昆明区不断扩张成了街心花园“我”感到无奈。如今留下只影而已 2.文中多处引用汪曾祺先生《翠湖心影》的句子,有何意?(3分) 多处引用汪曾祺先生《翠湖心影》中的句子,体现出文章厚重化底蕴;优美语进一步表了丽充分达作者对喜爱之情。 23.细读全文,结合下面的链接材料谈你对选主旨理解。(分) 【材料一】如今,鳞次栉比的高楼和变幻莫测霓虹灯已经把萋荒草、幽土路永远留给了昨天记忆。都市原来也人样在不断地发育等我们倏然领悟到它迁时往昔切深入泥中老酒… (杜卫东《明天不封阳台》) 【材料二】无论这世界多么大,去过少地方总有一个点让我刻骨铭心它收藏着的童年成长。是人仍在寻找和精神联系 (王开岭《人出生的地方》) 选文对留在“心影”里的翠湖回忆以及现实中景象描写,表达了作者美好田园风光怀念与向往之情嘈杂喧嚣都市生活厌恶无奈感。 五、语言综合运用(10分) 24.名著阅读。(分) 法国昆虫学家布尔的《记》不仅是一部研究科巨著,同时也讴歌生命宏伟诗篇。堪称与文完美结合典范无愧于“史”之誉 25.综合性学习。(8分) 八年级(3)班准备开展“我所了解的‘互联网+’”综合性学习活动,请你积极参与并完成下面任务。 (1)阅读下面材料,结合实际生活举例解释什么是“互联网+”。2分 材料:“互联网+”作为新经济引擎,具有无限魔力能够发创造在推动格局转变的同时我国型升级注入了强大。如今线上下融合成业最活跃领域 示例:“互联网+”就是各个传统行业。大家经常使用的打车软件、上购买火票和飞机出导航系都属于交通

??上的最大值为

2+1,最小值为 0.

5


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