数学:第三章《三角恒等变换教材分析》教案(新人教B版必修4)(5549078)


必修 4 第三章三角恒等变换教材分析
(一) 编写特色 1. 用向量证明和角公式,引导学生用向量研究和差化积公式。 2. 建立和角公式与旋转变换之间的联系。 3. 融入算法,引导学生找出求正弦函数值的算法。 4. 引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。 5. 和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。 (二) 内容结构 1.内容编排 本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和 差化积公式,为了引起学生学习本章的兴趣,同时为了加强三角变换的实际应用,本 章的开篇从一个实际问题出发,通过数学化,得到一个必须通过三角变换才能解决的 数学问题,从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。全章共分三大节。 第一大节,首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式,接着导出两角和的余 弦公式,再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式,又利用同角三角函数关系式推 出两角和、差的正切公式; 第二大节,推导出倍角公式和半角公式。 第三大节, 推导出积化和差与和差化积公式, 并通过例题讲解以上各公式的应用。 2,地位与作用 变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的,与代 数变换一样, 三角变换也是只变其形不变其质, 它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角 函数式之间的内在联系。在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换。在本章,学生 将运用向量方法推导两角差的余弦公式, 由此出发导出其他的三角恒等变换公式, 并运用这 些公式进行简单的三角恒等变换, 通过本章学习, 学生的推理能力和运算能力将得到进一步 提高。 三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理能力和计算 能力,本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。 3.重点与难点 本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的几何意义。 4.本章知识结构

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Sa-b

S2a

Sa+b 向量的数量积 及其坐标运算 Ca-b Ca+b

Ta+b

Ta-b

积化和差 C2a T2a

和差化积

C

a 2

,Sa

T

a 2

2

(三)课时分配 本章教学时间约 8 课时,具体分配如下: 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦 2 课时 3.1.2 两角和与差的正弦 1 课时 3.1.3 两角和与差的正切 1 课时 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式 1 课时 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 1 课时 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 1 课时 本章小结 1 课时 课题 3.1.1 两角和与差的余弦(一) (一)教学目标: 知识目标:理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程,理解公式的使用条件;会用公 式求值 能力目标:培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能力。 情感目标: 通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴趣, 通过公式的推导 培养数学思想方法和良好的思维品质。 (二)教学重点和难点: 本节课的重点是掌握公式结构,会用公式求值;难点是两角差的余弦公式的推导 (三)教学方法: 教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法; 教师启发式的讲授以及师生、 生
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生间的探讨为一体的教学方式 (四)教学过程: 教 学 环 节

教学内容

师生互动

设计意图

复 习 引 入

首先复习两个向量的 数量积的两种形式的 运算公式; 引入新课: 利用课本本章开头的 问题引入新课。

先让学生阅读书中的问题,并思考如何 将其中的实际问题转化成数学问题?进 而思考你是否能够用你储备的知识解此 数 学 问 题 吗 ? 就 此 提 出

以旧引新、对实际问题出 发的思考探讨得到数学 问题,从而激发学生对本 章的学习兴趣。

sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 是 否 成
立?师生共同探讨。从而引出本章节的 所研究的内容,即如何用

sin ? ,

cos? , sin ? , cos ? 表示 ? ? ? 的三
角函数呢?本节课我们首先研究 ? ? ? 的余弦函数。 1、 公 式 推 导 和 理 解: 问题 1 、已知:点 引导学生用向量方法求 ?AOB 的余弦 值。 师问:由余弦值的表达式你能发现什 么? 生答: cos ?AOB ? 通过求两个已知向量的 夹角问题以及三角函数 定义的应用得出新的结 论,使学生体会和认识到 “温故而知新”的研究数 学问题的思想方法。

O(0, 0) , A(1,1) , B(?1, 2) , 求 ?AOB
的大小? 教 学 过 程 问题 2、已知:点

x1 x2 y1 y2 ? r1 r2 r1 r2

师问:如果定义直线 OA 与 x 轴的正方 向的夹角为 ? ,直线 OB 与 x 轴的正方

O(0, 0) , A( x1 , y1 ) , 向的夹角为 ? ,那么上式又揭示了什么

B( x2 , y2 ) ,
求 ?AOB 的大小?

结论呢? 此时 ?AOB 如何用 ? , ? 表示? 师 生 共 同 探 讨 得 出 公 式 :

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
此时让学生看书有关公式的具体证明过 程。 教 学 过 程 2、公式的深化: 师问: 对公式的思考 (1) 观察结构特点; 使 学 生 牢 记 公 式 并 再 一 ( 2 )公式的使用条件; ( 3 )如何得出 次 亲 身 体 会 利 用 旧 知 识 推出新结论的过程,同时 cos(? ? ? ) ? ? 培养学生的化归的数学 思想方法。
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教 学 过 程

3 公式的应用 例1, 例 2 练习 B 中 1; 教师讲评

通过练习总结出以下内容: ( 1 )将一般的角转化为特殊角的和或 差,可以不查表; (2)在运用公式时,不仅会正用而且要 善于逆用; (3)让学生编出相应的题目。

训练学生正用和逆用公 式,加深对公式结构的记 忆,同时培养学生逆向思 维方法。 让学生认识到求一个一 般角的余弦值可以转化 为特殊角的和或差的余 弦值的数学转化思想

归 纳 小 结 布 置 作 业

让学生谈收获和体会

看书复习,并预习例 2 和例 3 并尽所能的 做练习 A\、B 中的习 题 教学内容 师生互动 设计意图

教学环节

备注: 三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理能力和计算能力, 课本的题目应适当拓展。 课题 3.1.1 两角和与差的余弦(2) (一) 教学目标 1、知识目标:会用公式求值和证明。 2、能力目标:培养学生分析问题解决问题的能力,推理,联想能力。 3、情感目标:发展学生的正向,逆向思维能力,前后知识灌溉和呼应的能力,培养良好、 严谨的数学思维品质。 (二) 教学重点,难点 重点是运用公式求值,证明,并建立与原有知识(诱导公式) ,方法(旋转变换)的联系。 难点是公式的变形和逆向应用。 (三) 教学方法 教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题, 通过提问, 讨论等形式来促使学生 自己思考, 自发学习, 获得解决问题的途径, 同时构建基于旧有知识的更新结构体系。 同时, 通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升, 以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目 的。 (四) 教学过程
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复习公式 复 习 引 入

C? ? ?

让学生默写两角和与差的余弦公式。同 时,从公式形式出发,让学生总结提炼 该公式的本质思想:讨论角 ? ? ? 的余 弦和单角 ? , ? 的正弦,余弦函数间的 关系,于是,利用这一公式我们可以用 已知特殊角来求得某些角的余弦。

温习所学,引导学生 积极思考,进而由简 渐繁,强化应用。

设置例题, 复习强化

P135 A, 学生练习,板演,教师讲评。 2 (2) (3)

是对公式的简单应 用。在第二个问题的 处理上要用到诱导 公式。也是为下一步 工作的开展做铺垫。 在以上过程中感受 解决此类问题的思 想,步骤。进一步, 通过学生对练习 B 中 题目 2 的练习达到巩 固这一类问题的目 的。

教材例 2。 分析,解决 完此问题之 后,通过练 习 B 中题目 2 来巩固该 方 法 和 步 骤。

形式出发, 小作提升

思考: 由公式形式来看,对其应用是不是仅仅 局限于特殊角? 由对公式的理解我们知道:由公式出 发,比特殊角更广泛的角可以加入进 来。前提是只要知道其正,余弦值。 看教材中的例 2。 提问: 欲求其值,打算用何工具? 题目中是否具有了该工具可行的条 件? 该条件能否实现?如能,怎么实现? 通过学生讨论,找到解决问题的办法— —利用和角余弦公式,通过判断各象限 角的正,余弦的符号这一部分内容完成 题目的瓶颈问题。再利用公式得结果。 思考: 通过已有的知识,能否判断该等式成 立? 依据是什么? 通过对上问题的思考温习诱导公式部 分的内容以及方法(是用单位圆以及对 称性来实现的) 。 进一步问题:还有没有其他的方法来说 明这件事情? 引导学生从形式的角度结合新获得的 工具来看待这个问题。 公式的左边可以看作两角和的余弦值, 从而想到用两角和的余弦公式尝试证 明。具体而言,即用 (2k ? 1)? 来代替

教材例 3

小议证明, 建立联系

既完成了旧知识的 复习又巩固了新知 识。从实际操作得 出:证明结论的途径 不唯一。在该例题的 结论上,不难推广到 一般,建立起诱导公 式与 C? ? ? 的联系, 知道诱导公式是

C? ? ? 的特例,引导
学生探究由 C? ? ? 推 出其他余弦形式的

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公式中的 ? ,则不难推出等式成立。 问题:能否用 C? ? ? 推出其他余弦形式 的诱导公式? B, 引导学生用整体的观点来看待变量从 4 (2), 5 (1) 而达到方便处理的目的:

诱导公式。体会数学 内在的和谐,联系之 美。

cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin(? )
形式上看是 ?, ? 两个角,但此处视 灵活逆用, 巩固新知

公式的应用不只局 限在从左到右的正 用,还要锻炼从右到 左的逆用。有助于活 跃思维,简化问题, 提高数学素养。

? ? ? 为一整体。
同时化简的过程又是公式逆用的形式; 在第二个证明上,可以从右往左推,利 用公式展开即可,也可以从左往右,先 写成具体的 cos

?
6

cos ? ? sin

?
6

sin ?
及时小结,有利于形 成解题技巧和知识 网络。

再用公式。也是公式逆用的一个练习。 归 纳 小 结 总结用该公 式可以解决 哪些类型的 问题,主要 的方法和步 骤是什么。 教材练习: P135 A、 2 (4); 3 (1) B、3; 5 (2) 公式的贡献主要体现在“求值”和“证 明” ;而证明过程中所用到的方法又是 不唯一的,在不同的工具之间又可以建 立联系。

布 置 作 业

课后思考题: sin15 能否不查表而求 值?

0

培养学生主动思考 , 沟通知识间联系的 一种习惯,同时为下 一节课的开展做铺 垫。

备注: (1)在教学安排上,注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用,可以布置较为开放性的 题目,使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网; (2)在题目的设计上,如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系 的理解。在这个问题上似乎还需要更深入的探索。 课 题 3.1.2 两角和与差的正弦 一、教学目标 ⒈知识目标:掌握两角和与差公式的推导过程; ⒉能力目标:培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊情感目标:发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。 重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式; 难点:两角和与差公式变 aSina+bCosa 为一个角的三角函数的形式。 温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点
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二、教学重点、难 点 三、教学方法
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四、教学过程 教学环节 复习引入 教学内容 复习:⑴Cos(α ? β )=? ⑵Sin(π /2-α )=? ⑶任意角三角函数的定义: 若 p(x,y) ︱op︱=r 则 Sinα =? Cosα =? 例:求证: Sin(α +β )=Sinα Cosβ +Cosα Sinβ 证明: (略) 师生互动 学生回答 设计意图 为证明 Sin(α ? β )作好准 备。

公式推导及理 解

分析:等式两边 的特征? 如何由左→右把 α +β 的正弦化 成 α 、 β 的正、 余弦?联系所学 知识,已学过的 哪一个公式可把 α +β 的三角函 数化成 α 、 β 的 函数形式?(学 生回答)故需要 把(α +β )的正 弦化成与α +β 的相关的余弦形 式即可。 问: Sin( α + β ) 应化成哪个角的 余弦形式? 问: Cos[

注重分析,使 学生理解知识 间的相互转 化。

? -(α 2

+ β )] 又 如 何 展 开才可得到 α 、
求证: Sin(α -β )=Sinα Cosβ - Cosα Sin β β 的正、余弦形 式? 巩固 Sin( α + β )的推导过 程。

学生证明 公式的深化 (标题)两角和与差的正弦 Sin(α +β )=Sinα Cosβ +Cosα Sinβ Sin(α -β )=Sinα Cosβ - Cosα Sin β (1) 公式的特征及与两角和与差 的余弦的区别 (2) 公式的作用 正用:求非特殊角的正弦值。如:求
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练习: P138/2⑴—⑸,3

巩固公式

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Sin75°=? Sin15°=? 逆用:把具有角α 、β 的正余弦交叉 积 的 形 式 化 简 求 值 。 如 Sin22 ° Cos38°+Cos22°Sin38°=?

公式的应用

例 1: 已知向量 op =(3, 4)逆时针旋转 45 °到 op , 的位置,求点 p’(x’, y’)的坐标。 解: (略)

问 题 : 求 点 p’(x’,y’)的 坐标必须知怎样 的条件? 由所给点 P 的坐 标可知哪些结 论? 师生共同完成解 答过程 若 把 向 量

培养学生的分 析能力和运算 推理能力

例 2:已知点 P(x,y)与原点的距离 保持不变,逆时针旋转θ 角到点 p’(x’,y’) 求证:x’=xCosθ -ySinθ y’=xSinθ +yCosθ 证明: (略)

op =(3 , 4) 改为 op =(x , y) ,结
论变吗?再把 45 °改为 θ ,对 结论有影响吗? 学生证明。 问:公式的记忆 规律?

注:这个结论叫旋转变换公式 练习:P139/2 例 3: 求函数 y=aSinx+bCosx 的最大值 和最小值,其中 a,b 是不同时为零的 实数。 解: (略)

问题:欲求函数

y=aSinx+bCosx
的最值和周期, 必须化成什么形 式?已知表达式 中的 Sinx、Cosx 系数变成同一个 角 θ 的余弦、正 弦方可。 设 P(a,b),则

op ?

a 2 ? b2

设以 op 为终边的
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注:凡形如的相关问题,一般提出

a2 ? b2 去处理。

一个角为 θ ,则 Cos θ 、 Sin θ 即 可用 a、b 表示 此 时 需 对

y=aSinx+bCosx
做怎样的变形? 问题:y=aSinx+ bCos β 还 可 提

a2 ? b2 吗?
学生练习 学生看书 练习:(1)求 y=Sinx+Cosx 的最值和 周期 (2)p138 例 5 归纳小结 本节所学知识:Sin(α ±β )公式的推 导及 Sin(α ±β )的应用。 P139/A 4,B 1,3 师生一起总结 培养学生的归 纳整理的学习 习惯

作业

备注: ⑴注重教学过程,注重探索,应贯穿于每一节课的始终。 ⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系,创设问题情景,激发学生的 学习兴趣。 ⑶通过不断地提出问题、解决问题,逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 课题 3.1.3 两角和与差的正切 (一) 教学目标 1. 知识目标:掌握公式及其推导过程,理解公式成立的条件;会用公式求值。 2. 能力目标:培养学生的观察、分析、类比、联想能力;间接推理能力(即不能直接套公 式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论) ;自学能力。 3. 情感目标:发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力,构建良好的数学思维品质 (二) 教学重点、难点 重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件,运用公式求值 难点是公式的逆向和变形运用。 (三) 教学方法 教师按照课本的知识结构先设计若干问题(即“知识台阶” ) ,课前印发给学生,引导他们阅 读课本。课堂上在教师三导(引导、指导、辅导)下,以学生为主体,对所设问题进行读、 议、练、讲,其间教师通过提问、参与讨论,巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道, 及时搜集反馈信息,及时作出评价,再发指令,使教学过程处于动态平衡之中。 (四) 教学过程 教 学 教学内容
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师生互动

设计意图

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环 节 复习公式

S? ? ? 和

先让学生默写两角和与差的正弦、余弦公式, 然后指出这两个公式是讨论复角

复 习 引 入

C? ? ? 并由此提出问题,
引入新课

? ? ? 与单角 ? , ? 的正弦、余弦函
数的关系, 且此关系对任意角 ? , ? 均 成立, 那么, 能否用 tan ? 和 t an ? 来 表示 tan( ? ? ? ) 呢?

以旧引新,注意 创设问题的情境, 通过设疑,引导学 生开展积极的思维 活动。

公 式 的 推 导 入 理 解

? ? ?) 的推导 公 式 tan(
及两角和与差的正切公 式的“三掌握”

学生阅读课本中“两角和与差的正切”公式的 推导,教师板书课题和公式的推导过程。 阅毕思考讨论: (投影) ( 1 )公式是如何推导出来的?有什么限 制?(2)公式有何特点?如何记忆?( 3)公 式有何用处?有何变形? 由学生回答上述问题,教师点评,结论如 下: (1)由两角和与差的正弦、余弦公式可推 导正切公式:

tan( ? ? ?) ?
教 学 环 节 教学内容 师生互动

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

. 通过对三个问 题的分析讨论,使 学生对公式有一个 清晰完整的认识, 为公式的灵活运用 打下基础,并给学 生一个自由的空 间,逐步培养他们 的自学能力。

设计意图

由正切函数的定义域可知,公式成立的条件 是 ? , ? , ? ? ? 都不能取 k? ?

?
2

(k ? Z ) 。

(2)注意符号与等式的结构特征,可理解记 忆,对比记忆。 (3)此公式可用来求值,进行三角变换等 (学生的回答可能有很多种,教师择要归纳) 注意公式的逆向形式和变形形式。 公 式 的 深 化 对两角和与差的正切公 式“三想” (1)特想: tan 2? ? ?有何限制条件? (2)联想:如何推导两角各与差的余切公式? 有几种方法? 对公式进行深挖 掘,显示其“辐射” “作用,培养学生 的分析、联想能力、 优化思维品质

? ? ? ? ? ) ?由学生推导。 (3)扩想: tan(

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公 式 的 应 用

两角和与差的正切公式 的“三会用” 。 例 1 求出下列各式的精 确值: (1) tan 75 ;
? ? (2) tan17 ? tan 43 1 ? tan17? tan 43? 巩固练习一:练习 A,1, 2;练习 B,2,3。 例 2 不查表,求值:

?

例 1 学生练习、板演、教师讲评,注意几 个问题: (1)将一般角转化为特殊角的和或差, 可以不查表求值; (2)运用公式时,不能仅局 限在从左到右的正用,还要善于从右到左的逆 用。 例 2 学生思 考、讨论解决,教师巡视指导,然后教师提问, 学生回答. 师:有几种解法?如何 求解? 生:两种, (一) :先求出 tan 75 ,再求 值; (二)用 tan 45 代换1,再逆用公式.
? ?

师:哪种解法运算简捷? 巩固练习二: 练习 生: (2) A3(1) ;练习 B,第 1 题。 师:此法运用的关键是什么? 例 3 不查表,求值: 生:1的代换,配凑公式. 教师指出,这里运用了观察、联想、转 tan15? ? tan30? ? (1) 化的数学思想。 tan15? tan30? 例3 学生思考讨论,教师进行必要的 启发引导。 ? ? (2) tan17 tan43 ? ? 生 : 先 求 出 tan15 再 求 解 。 ? ? ? ?

1 ? tan 75 1 ? tan 75?

?

tan17 tan30 ? tan43 tan30

师:还有其他解法吗?(略停顿,启发学生回 答)这个式子有什么特点? 15 ? 30 ? 45 ;
? ? ?

例1是使学生掌握 公式的正向和逆向 运用,并进一步熟 悉公式的特征,为 后在的灵活运用作 铺 垫 。 例2是一道典型例 题,对它的解法的 深入探讨,有益于 启发学生思维,提 高学生的解题能 力;且在解题过程 中提炼思想方法, 有利于培养学生良 好的数学思维品 质 。 例3通过具体例子 显示出灵活运用公 式的优越性,必将 给学生留下深刻的 印象,及时小结, 升华公式,有利于 学生解题技巧的形 成。

出现有 “ tan15 ? tan30 和 “ tan15 tan30 ” 。
? ? ? ?

师:好,由此你能联想到什么? 教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意图

15 ? 30 ) ? 生:tan(
? ?

tan15? ? tan30? 1 ? tan15? tan30?

师:请试解这一题。 学生做题,教师巡视指导,并让学生板 演. 点 评 : 在 公 式 T? ? ? 中 , 体 现 了

tan( ? ? ? ) tan? ? tan ? , tan? tan ? , 三者之
间 的 关 系 , 通 过 变 形 , 可 得
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tan? ? tan? ? ?, tan? tan? ? ?
完成第(2)小题,并板演。

让学生

归 纳 小 结

从知识、方法两个方面来 对本节课的内容进行归 纳总结。

对公式做到三个“三” :即“三掌握” “三 想” “三会用”

使学生对所学内容 有一个清晰完整的 认识,并点出学习 三角公式的基本方 法。 巩固本节课所学知 识,培养学生自觉 学习的习惯,同时 给学有余力的学生 留出自由发展的空 间。

布 置 作 业

教材习题3-1A,5 教材习题3-1B,1 教材习题第6题

备 注 补 充

公式变形应用: 计算(1) tan20 ? tan40 ? 3 tan20 tan40
? ? ?
?

?

(2)已知 A ? B ? 225 ,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ( 3 ) 课 后 思 考 题 : 当 A ? B ? C ? k? (k ? Z ) , 并 且 tan A, tan B, tanC 存 在 时 ,

tan A ? tan B ? tan C 与 tan A tan B tan C 有何关系?其逆命题成立吗?

课 题 一教学目标 1.知识目标 掌握
2 2 2

3.2.1 倍角公式

S ? C ? T ? 公式的推导,明确 ? 的取值范围;

能运用二倍角公式求三角函数值 2.能力目标 通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力 通过综合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力 3.情感目标 通过公式的推导, 了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系, 从而培养逻辑推理 能力和辩证唯物主义观点 二教学重点、难点
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重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式

C ? 的两种变形;
2

难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法,运用现代化多媒体教学手段, 进行教学活动, 通过设置问题引导学生观察分析, 使学生在独立思考的基础上进行合作交流, 在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式,对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进 行处理,使学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化对公式的记忆。

四、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 先让学生回忆两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的来龙去脉,并请一个同 学把这六个公式写在黑板上 学生板演 教师点评这些公式: 一方面要从公式的 推导上去理解它, 另一方面要从公式的 结构特点上去记忆,还要注意公式的 正、用、逆用和变用。今天,我们继续 学习二倍角的正弦、余弦和正切公式 请学生想一想,在公式 公 式 的 推 导 探索研究 二倍角的 正弦、余弦 和正切公式 设计意图

复 习 引 入 复习两角和 与差的三角 函数公式

温旧知新, 让学生明确学 习的内容

S?

??

C? ?
?

T?

??

中对 ? , ? 如何合理赋值,才

能出现 sin2 ? ,cos2 ? ,tan2 ? 的表 达式, 并请同学把对应的等式写在黑板 上 学生板演 教师提出问题: 二倍角的正切公式还有 没有其它的推导方法 学生课后思考

1. 引 导 学 生 运 用 已 学 过的两角和的三角 函数公式推得二倍 角公式,使学生理解 二倍角公式就是两 角和的三角函数公 式的特例,这样有助 于公式的记忆 2. 问 题 的 提 出 可 以 让 学生了解公式的不 同推导方法,有助于 学生发散思维的培 养

1. 二倍角的 公 正切公式 式 的适用范围 的

提出对于公式

T ? ,我们要注意些什
2

么? 请学生想一想要关注什么?公式中的 ? 有限制吗? 学生回答要使 意义

T ? 有意义,需分母有
2

使学生掌握二倍角的余 弦公式的不同表示形式, 并掌握二倍有正切公式 的适用范围, 以加深对公

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深 化 理 解 2. 二倍角余 弦公式的不 同表现形式

师生讨论要使 tan2 ? 有意义, ? 取值 范围 2 2 提出对于 cos2 ? =cos ? -sin ? , 还 有没有其他的形式? 学生板演 教师板书三个公式, 并告诉学生公式记 号分别为

式的认识和理解, 培养严 谨的数学思维品质

S ? C ?T ?
2 2 2

,对二倍角公

式大家要注意以下问题:(1)用单角的 三角函数表示复角的三角函数; (2)

C ? 有三种形式,T ? 是有条件的
2
2

教学环节 例1. 已知 sin ? ?

教学内容

师生互动 例1. 可让学生自己解 决,本题也可按其 程它的程序来做, 并让学生比较方法 之优劣。 师:证明恒等式有 哪些途径? 生:一是由左边证 到右边,二是由右 边证到左边,三是 左右两边同时变形 为同一个式子。 师:针对例 2 待证 恒等式中式子的特 点,我们应采取哪 种途径? 生:由左边证到右 边 师:下面同学们自 己试着证明该题 完成后学生完成巩 固练习二

设计意图 例 1 是两倍角公式 的应用求值问题, 同时复习了同角的 三角函数关系及三 角函数的符号问 题,为学生展示不 同的解题方法,可 培养学生灵活运用 知识解决问题的能 力 例 2 是一个三角恒 等式的证明问题, 要引导学生运用合 理的途径进行证明

求 sin2 ? ,cos2 ? ,tan2 ? 的值 巩固练习一: 练习 A,1,2,3。 例2. 证明恒等式:

5 ? ,? ? ( ,? ) , 13 2

公式的应 用

sin 2? ? sin ? ? tan ? 2 cos 2? ? 2 sin 2? ? cos ?

巩固练习二: 习题 3-2A,3(1) (2) (3)

(1) 说明二倍角的三角函数公式是 两角和与差的三角函数公式的 特例
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(2) 归纳小结

S ? C ? 中角 ? 没有限制条件,
2 2

而 T 2? 中, ? 有限制条件 (3) 要熟悉多种形式的两个角的倍 数关系,才能熟练地应用好二 倍角公式,这是灵活运用公式 的关键 (4) cos2 ? 有三种形式,要依据 条件,灵活选用公式。另外,逆用 此公式时,更要注意结构形式。 层次一: 教材练习 B,1,2 层次二: 教材练习 B,1,2,3,4;教材习题 3-2A,4(2)

引导学生总结回 顾,可采取提问的 方式进行

系统地总结回顾本 节课所学的内容有 助于学生形成清晰 的知识网络

布置作业

作业分三个层次, 第一层次要求所有 学生都要完成; 第二层次要求学有 余力的学生完成;

通过分层作业使学 生进一步巩固本节 课所学内容,并为 有余力的学生的发 展提供更加广阔的 空间 设计意图

教学环节

教学内容 层次三: .教材练习 B, 1,2, 3(1)(2)(3)

师生互动 第三层次要求学有余 力的学生完成

布置作 业

通过分层作业使学生 进一步巩固本节课所 学内容,并为有余力 的学生的发展提供更 加广阔的空间

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实施新教材,教师该如何“采集”和“创生”有效的教学素材,寻找适合学生 的教学设计,使学生获得最优的发展是这节课要体现的设计理念. 1. 以旧引新,明确学习内容.

S?
?

??

――――→

C? ?


S? ―――→ C ?
2

2

化 单

T?
归” )

??

―――→

T?
2

(感受“化

令? 备 注 2.教会学生合理赋值.

??

? ??
( 合角 )

-----------------→

2?

( 倍 角 )

3.思考与交流: (给学有余力的学生留有发展的空间)

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? ⑴求证: 2 tan ? 1 ? tan 2?

⑵利用三角公式化简: sin 50

0

(1 ? 3 tan100 )

2

⑶ sin

?
12

?

1 2

4.教学中点出发现二倍角公式的基本思想,体现 “授之以鱼, 不如授之以渔’’ 的教育思想.对公式要求做到三个“三” :即“三掌握” “三想” “三会用”.

课题 3.2.2 半角的正弦 余弦和正切 (-)教学目标 1 知识目标:会推导半角的正弦,余弦和正切并会用半角公式进行证明,求值和化简
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2 能力目标: 会灵活运用公式进行推导变形 3 情感目标 灵活运用公式化繁为简 (二)教学重点,难点 重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值,化简,证明 难点是用公式求值 (三)教学方法 引导学生复习二倍角公式, 按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式, 课堂上 在老师引导下,以学生为主体,分析公式的结构特征,会根据公式特点得出公式的应用,用 公式来进行化简证明和求值,老师为学生创设问题情景,鼓励学生积极探究。 教学 环节 教学内容 复习 二倍角 公式,提出问 题,并引出新 课 师生互动 让学生默写二倍角公式, 让学生思考二倍角公式的实质?学生 0 0 0。 练习求 sin120 Cos120 tan120 老师提出问题学生思考 a 可 看作哪个角的 2 倍角?怎样用二倍角公式写出 sina cosa tana ?学生默写 设计意图 以旧引新,注意创 设问题的情景,通 过设疑,引导学生 开展积极的思维活 动

复 习 引 入

公 sin



公 式 的 推 导

? 的推 ? 1 ? cos ? 得到 cos = ? 2 2 2 导,
,tan sin

? 2

? ,cos 2

老师启发学生思考有时常用 a 的三角函数表示 数, 比如 sin

? ? 公式的推导过程 , cos 可以用 a 的哪个三角函数怎样表示? 2 2

? 通过设疑使学生学 的三角函 会分析问题,掌握 2

学生推出结论

? 1 ? cos ? =? 2 2 ? 1 ? cos ? =? 2 1 ? cos ?
引导学生观察,分 析,记忆培养学生 能力。强调注意事 项。根据公式特点 分析应用

tan

公 式 的 理 解

( 1 )公式有 何特点?如 何记忆? (2) 公式有何 用途?

老师:公式有何特点?如何记忆? 学生回答: 老师补充: (1)可以把 a 看作二倍角来记 (2)公式用 cosa 表示出 cos 前的符号取决于

? 所在象限( 2

? ? ? sin tan 的三角函数公式 2 2 2

3)公式可以用来化简,证明,求值

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公 式 的 应 用

例1 0 求 sin15 0 Cos15 ,tan15 0 练习: 习题 3-2 A 1 练习 B,1 得规律

用根式求值时一般处理办法如下 ①如果没有给出决定符号的条件, 则在根号前保留正负两个符 号 ②如果给出 a 的具体范围时,则先求出 根据

? 所在范围选用符号 2
? 2
第一,三象限 第一,三象限 第二,四象限 第二,四象限 sin

? 所在范围,然后再 2

通过练习使学生进 一步理解公式及其 应用,明确公式的 用法

③如给出的角时某一象限的角时,则根据下表决定符号

?
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

? 2

cos

? 2

tan + + - -

? 2

+,- +,- +,- +,-

+,- +,- -, + -, +

公 式 补 充

例2 求 证 tan =

sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? = sin ?
习题 3-2B 3,(5) 求 证

? 2

老师引导学生证明得到结论。 这两个结论也可以作正切的二倍 角公式记忆,老师提问它和上面的公式对比有何特点?学生思 考并回答,老师补充 例 2 的结论也可以看作半角的正切公式,它是有理式,所以在 计算时常用上面的根式,证明常用有理式形式。证明恒等式时 有理式形式也常由右边写出左边,注意灵活运用。老师引导学 生分析公式特点并记忆。

理解半角正切的另 一种形式,复习证 明三角恒等式的方 法,区分两种公式 形式的不同用法

例 题 和 练 习

老师:证明三角恒等式的方法? 学生:可以从左往右证,也可以从右往左证,也可以两边同时 证,应化异为同 2sin ? ? sin 2?师:左有单角,二倍角。右为半角,所以两边统一为单角 ? ? tan 2 2sin ? ? sin 2?同学自己完成。找一学生到前面写 2
2

半角正切第二种形 式的应用,进一步 复习三角恒等式的 证明

= tan

?

2
(1) 本节课重点学习了半角公式的两种形式,要求掌握公 式的推导过程。记忆公式的形式。特别注意运算时根 式形式的符号选择。 (2) 具体问题中会选适当的形式解决。注意证明三角恒等 式的证明方法 要学生明确本节课 的重点和要达到的 要求

小 结

从知识,方法 两个方面对 本节课内容 进行归纳和 总结 练习 A,2,3 练习 B2,3

布 置 作 业

对本节内容及时巩 固

反思: 重视新旧知识的联系,新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展,形成新知识的同时 提升了学生的能力。 在教学过程中, 注重培养学生的观察能力, 分析问题及解决问题的能力, 及分情况讨论的思想,和化归的思想使学生的数学素养的到提高。 课题 3.3 三角函数的积化和差与和差化积
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(一) 教学目标: 1.知识目标:了解积化和差、和差化积公式的推导过程,能初步运用公式进行和、积 互化. 2.能力目标:能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明. 3.情感目标:通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观 点. (二) 教学重点、难点 本节重点是公式的推导和应用,难点是公式的灵活应用. (三) 教学方法 观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法. (四) 教学过程 教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意图

复习两角和与差的正 弦、余弦公式 复 习 引 入

让学生将两角和与差的正弦余弦公 式写出来. cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

② ③ ④

复习旧知识 同时为推导积 化和差公式作 准备.

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
积 化 和 差 公 式 的 推 导 推导积化和差公式:

1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? 能否用sin(? ? ? ),sin(? ? ? ),cos(? ? ? ) 2 cos(? ? ? )]. cos(? ? ? ), 来表示 cos ? cos ? ,sin ? sin ? 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos ? sin ?, sin ? cos ? . 2 cos(? ? ? )]. 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? 1 2 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; sin(? ? ? )]. 2

师:考察写出来的两角和与差的正 弦、余弦公式这四个公式,你

生: ①式与②式两边分别相加和相 减除以 2 得到:

培养学生运 用已有知识分 析问题的能力 和问题探究的 能力, 同时也是 学生认识到了 新公式产生的 来龙去脉.

教 学 环 节

教学内容

师生互动

设计意图

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1 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; 2 2 sin(? ? ? )].
③式与④式两边分别相加和相减除以 2 得到:

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; 2
1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2
师: 这个公式称为三角函数积化和差公 式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点 在于将“积式”化为“和差” ,有利于 简化计算 积 化 和 差 公 式 的 应 用

教材练习 A 第 2 题

学生做练习教师巡视检查

让学生初步学 会应用公式

推导和差化积公式:

和 化 积 差 公 式 的 推 导

sin x ? sin y ? x? y x? y 2sin cos ; 2 2 sin x ? sin y ? x? y x? y 2cos sin ; 2 2

师:从上面的积化和差公式变形可 以得到:

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ;
cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? ;

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? ; sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos ? sin ? .
左边是和差的形式,左边世纪的形 式,设: ? ? ?

cos x ? cos y ? x? y x? y cos ; 2 2 cos x ? cos y ? x? y x? y ?2sin sin . 2 2 2cos

? x,? ? ? ? y 后请同学

们自己将上面四个市子进行整理,把

? , ? 用 x , y .换下来,学生整理后
师生互动

引导学生有 积化和差公式 和差化积公式, 推导过程中运 用带换法进行 角的转化. 通过组织学 生分组讨论探 究, 逐步培养学 生团结协作的 思想品质, 提高 学生中和运用 知识思考问题 问题解决问题 的能力.

教 学 环 节

教学内容

设计意图

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得到和差化积公式。 师:下面同学们看课本中的“探索 与研究” ,然后分组进行讨论看如何运 用向量的知识来推导和差化积公式. 组织学生讨论. 师:这组公式称为和差化积公式,其特 点是同名的正(余)弦才能使用,它与 积化和差公式相辅相成,配合使用 .可 形象地记为“因式分解” 例 1 化 cos3? ? cos ? 为 利用和差化积这四个公式和其他 积的形式。 三角函数关系式,我们可以将某些三角 巩固练习: 练习 A,1, 函数的和差化成积的形式. 3. 老师指导学生做例 1,并检查学生 练习 B,1. 做的情况,用投影仪订正,并强调说明 积的最后结果必须是几个函数积的形 式 , 而 且 是 最 简 形 式 , 如 例2 已知 A ? B ? C ? 例 1 是积化和 差公式的直接 应用, 要让学生 明确化积问题 未最后结构的 要求.

和 化 积 差 公 式 的 应 用

180 ,求证:

sin A ? sin B ? sin C A B C ? 4cos cos cos 2 2 2
巩固练习:练习 B,3 从知识、方法两个方面来 对本节课的内容进行归 纳总结.

例 2 是一道典 型的综合性问 题, 对于它的解 ? ?? ? ?? cos 题过程深入探 果应写成 2sin ? sin . 2 2 讨, 有益于启发 例 2 是一道综合类较强的证明题, 学生思维, 提高 要利用到诱导公式、二倍角的正弦公 学 生 分 析 问 题 式,和差化积公式,教师要扮演整个解 和 解 决 问 题 的 题过程,并在解题过程中引导学生思 能力. 考.

sin ? (sin ? ? sin ? ) 不符合要求,最后结

小 结

(1) 本节课重点学习了两组公式,对于 公式不要求记住,但要学会运用这 些公式进行三角函数和差与积的 互化,并能够运用这些公式解决一 些求值、化简和证明问题; (2) 把一个式子化为积的形式是一类 重要题型,尤其要注意其最后结果 的形式是否符合要求; (3) 在公式的推导过程中我们用到了 换元法,要注意该方法在解题中的 应用.

让学生明确本 节课的重点和 要达到的要求.

教 学 环 节

教学内容

师生互动

设计意图

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布 置 作 业

教材习题 3-3 A , 3, 4

对本节内容复 习巩固

1. 教学设计出发点: 运用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方法,力从提高学生 的思维、探索、实践动手能力. 备 2. 以熟悉认知陌生,学生推导 注

S? ? ? , C? ?? ? 积化和差,和差化积,公式变形及换元法的应用
3. 不查表,不使用计算器,求值:



3 cos37.5? cos22.5?
积化和差,凑角或二倍角公式的综合练习。 4. 学生分组讨论:共两种不同方法计算下式的值:



sin 7? ? cos15? sin 8? cos7? ? sin 15? sin 8?
通过分组讨论,启发学生多途径、多思路地考虑问题。并且使思维得到扩展,培 养学生解决问题的合作精神。

课题 第三章 三角恒等变换小结 (一)教学目标 1、知识目标:掌握几个公式间的内在联系,理解公式中所会有的“元素” ,会用公式解决化 简求值问题。 2、能力目标:培养学生观察、分析、联想、推理能力。 3、情感目标:构建良好的数学思想品质。 (二)教学重点、难点 重点:11 个公式之间的内在联系。 难点:公式的应用(如何使用公式) 。 (三)教学方法 首先使学生明确 11 个公式的内容,之间的内在联系,公式能解决的问题的类型。 (四)教学过程 教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意图

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复 习 引 入

(1)11 个公式 (2)公式之间的 内在联系(结构 图)

C? ?? S? ?? T? ??

C? ? ? S? ? ? T? ? ?

C2? S 2? T2? T?
2

使学生进一 步熟悉公式 之间的内在 联系。

提出针对每一个 提前由学生准备。相互交流,共同提高。 (可以 公式的典型例题。 针对时间安排做相应调整) 例 1:

使学生了解 公式解决问 题的对象。 使学生进一 步掌握公式 的应用。

教 学 过 程

3 ? ? sin ? ? sin ? ? 5 已知 ? , 4 ?cos? ? cos ? ? 5 ?
求 cos(? ? ? ) 的值。 由学生解决问题 提示:如何利用已知条件。 例 2: 已知 ? ? ? ?

?
3



求 tan? ? tan? ? 3 tan? tan? 的值。 例 3: 求 cos10 ? cos20 ? cos 40 ? cos80 的值。
0 0 0 0

归 纳 小 结 布 置 作 业 P154 2(2),3,11

由学生完成。

由学生发现 问题与解决 问题的方法。 进一步巩固 提高。

备注: 在内容的把握上,很多原有的必须掌握的知识在要求上有所降低,辨证地来看这个问题,适 当的降低难度有利于学生负担的减轻,但另一方面,内容并无减缩,只是要求降低,习题难 度降低,这样的做法是否不大利于学生适应高考的形式?仅就这个问题提出本人的一点看 法。

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