最新-北师大版高中数学必修四学案:第二章 5 从力做的功到向量的数量积(一)(1)-word版

最新-北师大版高中数学必修四学案:第二章 5 从力做的功到向量的数量积(一)(1)-word版 知识点一 思考 1 两向量的夹角 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在夹 角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 思考 2 少? 梳理 (1)夹角: 已知两个____________a 和 b, a, → OB=b,则__________=θ △ABC 为正三角形,设=a,=b,则向量 a 与 b 的夹角是多 作= (0°≤θ ≤180°)叫 作向 量 a 与 b 的夹角 (如图所示). 当 θ =0°时,a 与 b________; 当 θ =180°时,a 与 b________. (2)垂直: 如果 a 与 b 的夹角是 90°, 我们说 a 与 b 垂直, 记作 a⊥b. 规定零向量可与任一向量垂直. 知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图. 思考 1 如何计算这个力所做的功? the men talked abou t in the speech? —No problem. They talked abou t air pollution. 1/8 思考 2 力做功的大小与哪些量有关? 梳理 (1)数量积:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ ,我 们把______________叫作 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a·b, 即 a·b =____________. (2)数量积的特殊情况 当两个向量相等时,a·a=__________. 当 两 个 向 量 e1 , e2 是 单 位 向 量 时 , e1·e2 = ________________________. 知识点三 思考 1 平面向量数量积的几何意义 什么叫作向量 b 在向量 a 上的射影?什么叫作向量 a 在向量 b 上的射影? 思考 2 向量 b 在向量 a 上的射影与向量 a 在向量 b 上的射影相同吗? 梳理 (1)射影:若非零向量 a,b 的夹角为 θ ,则________叫作向量 b 在 a 方向上的射影(简称为投影). (2)a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向 上的射影________的乘积,或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影 ____________的乘积. 知识点四 思考 1 别? 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符 平面向量数量积的性质 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区 号由什么来决定? 梳理 向量的数量积的性质 (1)若 e 是单位向量,则 e·a=____________=____________. (2)a⊥b?____________. the men talked abou t in the speech? —No problem. They talked abou t air pollution. 2/8 (3)________=. (4)cos θ =(|a||b|≠0). (5)对任意两个向量 a,b,有|a·b|____|a||b|,当且仅当 a∥b 时等 号成立. 类型一 例1 求两向量的数量积 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角 为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤:(1)求 a 与 b 的夹角 θ , θ ∈[0°,180°];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即 a·b= |a||b|cos θ , 要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连接, 而不能用“×”连接,也不能省去. 跟踪训练 1 ( ) B.-a2 求向量的模 C.a2 D.a2 已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则·等于 A.-a2 类型二 例2 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为,求|a+b|,|a-b|. 引申探究 若本例中条件不变,求|2a+b|,|a-2b|. 反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用 a2=|a|2,即 |a|=,勿忘记开方. 跟踪训练 2 类型三 例3 已知|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5,求|3a+b|的值. 求向量的夹角 设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 反思与感悟 当求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出 the men talked abou t in the speech? —No problem. They talked abou t air pollution. 3/8 来再代入公式求角,注意向量夹角的范围是[0,π ]. 跟踪训练 3 已知 a·b=-9,a 在 b 方向上的射影为-3,b 在 a 方 向上的射影为-,求 a 与 b 的夹角 θ . 1.已知|a|=8,|b|=4,〈a,b〉=120°,则向量 b 在 a 方向上的 射影为( A.4 ) C.2 D.-2 ) B.-4 2.设向量 a,b 满足|a+b|=,|a-b|=,则 a·b 等于( A.1 B.2 C.3 D.5 3.若 a⊥b,c 与 a 及与 b 的夹角均为 60°,|a|=1,|b|=2,|c| =3,则(a+2b-c)2=________. 4.在△ABC 中,||=13,||=5,||=12,则·的值是________. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: (1)·;(2)·;(3)·. 1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为 正 ( 当 a≠0 , b≠0,0°≤θ <90° 时 ) , 也 可 以 为 负 ( 当 a≠0 , b≠0,90°<θ

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