江苏省江阴市长泾中学高考数学一轮复习正弦定理和余弦定理课件_图文

正弦定理和余弦定理 高考原题赏析 (2014 江苏·14)若三角形 ABC 的内角满足 sinA+ 2sinB=2sinC, 则 cosC 的最小值是 . 解析: 【点评】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边,得 a+ 2b=2c,再由余弦定理,用 a,b 去表示 c,并结合基本不等 式去解决,化简 a2+b2 为 ab,消去 ab 就得出答案. 本题主要考查正、余弦定理,以及不等式等,最终最值是 在 C=75° 这样一个较为特殊的角处取的, 题目做为填空题的压轴 题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要用正、余 弦定理和不等式即可很轻松做出答案. 一、学习目标: 1.掌握正弦定理、余弦定理,利用正弦定理、 余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解 决问题; 2.熟练运用正余弦定解决一些简单的三角形度 量问题. 二、基础回顾: 1.若△ABC 23 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, ? 则 cosC=________. 110 . 1.解:a∶b∶c=5∶11∶13, 不妨令 a=5x,b=11x,c=13x, 25x 2 ? 121x 2 ? 169x 2 cosC= = 2 ? 5 x ? 11x 23 ? 110 . 2.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边, 若 abc=16 2,则三角形的面积为________ 2 . 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 30° 若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=________. 二、基础回顾: 4.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所 在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° , 50 2 ∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m. 5. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观 察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯 北偏西10° 塔 B 的方位为__________ . 知识梳理 1.三角形的有关性质 π ; (1)在△ABC 中,A+B+C=____ > c,a-b<c; (2)a+b____ > > B; (3)a>b?sin A____sin B?A____ (4)三角形面积公式: 2 1 = 2R sin AsinBsinC 1 1 1 bcsin A S△ABC= ah= absin C= acsin B=____________________ ; 2 2 2 2 (5)在三角形中有: A+ B C sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2 2 A+B=π/2 sin 2A=sin 2B?A=B 或_____________ ?三角形为等腰或 直角三角形; 2.正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 ________________=2R ①a=______, b=______, c=_____; ②sin A=______,sin B=_______, 变形 形式 sin C=___ _____; ; 余弦定理 a2=___ _________ b2=__ _________ c2=_____ _______ cos A=__________ ____ cos B=________________ cos C=_________________ ③a∶b∶c=________ a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A 解决 的问 题 ①已知两角和任一边, 求另一角和其 ①已知三边,求各角; 他两条边. ②已知两边和其中一边的对角, 求另 ②已知两边和它们的夹角,求第 三边和其他两个角. 一边和其他两角. 3.有关概念 ( 1) .仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线 下方时叫俯角.(如图所示) (2)方向角:相对于某一正方向的水平角.(如图所示) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似. (3)方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角 45° ,是指北偏东 45° ,即东北方向. (4)坡角 坡面与水平面的夹角 (如图所示) . (5)坡比 h 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i= l =tan α(i 为坡 比,α 为坡角). 4.解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等 问题,实质是数学知识在生活中的应用,要解决好,就要把握 如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的问 题,即建立数学模型. 三、典例精析 题型一 正弦定理的应用 例 1.(1)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,求角 A、C 和边 c; (2)在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c. 1 (3)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB=_____; 3 a b 3 解 (1)由正弦定理 = 得,sin A= . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A>B,∴A=60° 或 A=120° . 6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , c= sin B = 2 ; 6- 2 bsin C 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = . sin B 2 6+ 2 综上,A=60° ,C=75° ,c= , 2 6- 2 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2 (2)∵B=60°

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