创新设计2016


第三章 §3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

学习 目标

1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程. 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在 y轴上 的截距的含义. 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.

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知识梳理

自主学习

知识点一 名称

直线的点斜式方程 已知条件 示意图 方程 使用范围

点斜式

点P(x0,y0) 和斜率k

y-y0=k(x-x0) ______________

斜率存在 的直线

答案

思考

直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?



不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,

其方程都不能用点斜式表示.

答案

知识点二

直线的斜截式方程

1.直线l在坐标轴上的截距 (1)直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的 纵坐标b . (2)直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的 横坐标a . 2.直线的斜截式方程

名称

已知条件
斜率k和在y轴 上的截距b

示意图

方程

使用范围

斜截式

y=kx+b 斜率存在的直线 _________

答案

思考 答

直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可

正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离; 当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.

答案

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题型探究

重点突破

题型一

直线的点斜式方程

例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(-4,3),斜率k=-3; 解 ∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,

由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).

解析答案

(2)过点P(3,-4),且与x轴平行; 解 与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程 为y-(-4)=0×(x-3), 即y+4=0. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.

-4-3 -7 解 过点 P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率 kPQ= = 7 =-1. 5-?-2?

又∵直线过点P(-2,3).
∴直线的点斜式方程为y-3=-(x+2).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 解析

(1)过点(-1, 2), 且倾斜角为135° 的直线方程为 x+y-1=0 .

k=tan 135°=-1,

由直线的点斜式方程得 y-2=-(x+1),即x+y-1=0.

解析答案

(2) 已知直线 l 过点 A(2 , 1) 且与直线 y - 1 = 4x - 3 垂直,则直线 l 的方程 为 x+4y-6=0 .
? 3? ? ? x - y-1=4? 4?, ? ?

解析 方程 y-1=4x-3 可化为

由点斜式方程知其斜率k=4.
1 又因为 l 与直线 y-1=4x-3 垂直,所以直线 l 的斜率为-4. 1 又因为 l 过点 A(2,1),所以直线 l 的方程为 y-1=-4(x-2),

即x+4y-6=0.

解析答案

题型二

直线的斜截式方程

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; 解 由直线方程的斜截式可知,

所求直线方程为y=2x+5. (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
3 解 ∵倾斜角 α=150° ,∴斜率 k=tan 150° =- 3 . 3 由斜截式可得方程为 y=- 3 x-2.
解析答案

(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

解 ∵直线的倾斜角为 60° ,∴其斜率 k=tan 60° = 3,
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3.

∴所求直线方程为 y= 3x+3 或 y= 3x-3.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2 解

已知直线l1 的方程为 y=-2x+ 3,l2 的方程为 y=4x-2 ,直

线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的斜截式方程. 由斜截式方程,知直线l1的斜率k1=-2, 又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2. 由题意,知l2在y轴上的截距为-2, 所以l在y轴上的截距b=-2, 由斜截式,得直线l的方程为y=-2x-2.

解析答案

题型三 证明

直线过定点问题 方法一 直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),

例3 求证:不论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限. ∴直线l过定点(-2,3),
由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.

方法二 直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0.
? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 解得? ? ? ?x+y-1=0, ?y=3.

∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3).

∵点(-2,3)在第二象限,∴直线l总过第二象限.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3


已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,求k的取值范围.

由题意知,需满足它在 y 轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,

? ?-6≤0, 3 则? 得 k≥2. ? ?3-2k≤0,

? ? 3 ? ? 所以,k 的取值范围是?k?k≥2 ?. ? ? ?

解析答案

数学思想

函数与方程思想

例4 已知直线y=kx+b,当-3≤x≤4时,-8≤y≤13.求此直线方程.

解后反思

解析答案

易错点

忽略点斜式使用范围致错

例5 已知直线l过点(1,2)和(a,b),求其方程. 分析 解 本题可利用点斜式求直线方程,注意对字母a进行讨论. 当a=1时,直线l与x轴垂直,直线l的方程为x=1;

b-2 当 a≠1 时,斜率 k= ,由点斜式,得 a-1
b-2 直线 l 的方程为 y-2= (x-1). a-1

解后反思

解析答案

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当堂检测

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1.已知直线l的方程为2x-5y+10=0,且在x轴上的截距为a,在y轴上的 截距为b,则|a+b|等于( A ) A.3 解析 B.7 C.10 D.5 直线l的方程为2x-5y+10=0,

令y=0,得a=-5,令x=0,得b=2, 所以|a+b|=|-5+2|=3.

解析答案

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2.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A ) A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 解析 所求直线与已知直线垂直,因此其斜率为-2,

故方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.

解析答案

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3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( A ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

1 解析 所求直线与已知直线平行,因此其斜率为2,
1 故方程为 y=2(x-1),即 x-2y-1=0.

解析答案

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4. 直线 (2m2 - m + 3)x + (m2 + 2m)y = 4m + 1 在 x 轴上的截距为 1 ,则 m 的值 是( A )
1 A.2 或2 1 B.2 或-2 1 C.-2 或-2 1 D.-2 或2

解析

4m+1 令 y=0,解得 x= 2 . 2m -m+3

4m+1 由已知得 2 =1,则 4m+1=2m2-m+3,即 2m2-5m+2=0. 2m -m+3

1 解得 m=2 或2(符合题意).故选 A.
解析答案

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5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3), 则直线l的方程为 x=3 .

解析 直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45°,
又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的 2 倍,所以所求直线的倾斜角

为90°,其斜率不存在.
又直线过定点P(3,3),所以直线l的方程为x=3.

解析答案

课堂小结 1.建立点斜式方程的依据是:直线上任一点与这条直线上一个定点的连线 y-y1 的斜率相同,故有 =k,此式是不含点P1(x1,y1)的两条反向射线的方 x-x1 程,必须化为y-y1=k(x-x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时,

不能用点斜式表示,此时方程为x=x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过 (0 , b) 点、斜率为 k的直

线y-b=k(x-0),即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个 y,其
系数是1;等号的另一端是x的一次式,而不一定是x的一次函数.如y=c是

直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程.
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