第一章


第一章 集合与函数概念小结 (1)

一、本章知识结构
含义

集合

集合间的基本关系
集合的运算 函数的概念

函数

函数的基本性质
映射 映射的概念

本章围绕着集合主要是三个问题: 1.元素与集合的从属关系;

2.集合与集合的包含关系
3.集合与集合的运算关系

本章函数概念和基本性质是重点,函数的定 义是在初中学习的基础上,用数集对应的语言给 出的,函数是数集上的一个映射.映射可以说是 函数概念的推广,这种推广是带有本质性的,它 不仅从实数域推广到具有更一般的数学结构的集 合上,而且对应关系也推广到更一般的情形,从 而拓广了研究的对象.

二、回顾与思考
1.集合语言是现代数学的基本语言,使 用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容. 2.函数概念的本质:两个数集间的一种 确定的对应关系.定义域、对应关系和值域是 函数的三要素.

二、回顾与思考
3.函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种. 函数思想,就是学会用变量和函数来思考,就是从变量 的内在联系和整体角度考虑问题,研究问题和解决问题, 就是使用函数的方法研究和解决函数的问题以及构建函 数关系式来研究和解决非函数问题. 函数图象是函数的一种表示方法,是研究函数的主 要工具,能够直观地研究获得函数变化规律的感性认识, 培养学生的数形结合的数学思想.

三、例题
例1. 设 全 集 ? {( x , y ) | x , y ? R}, I y?3 集 合M ? {( x , y ) | ? 1}, N ? {( x , y ) | y ? x ? 1}, x?2 那 么CI M ? CI N 等 于( ) B A.? B .{(2,3)} C .(2,3) D.{( x , y ) | y ? x ? 1}

例2. 若非空集合A ? {x | 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 22}, 则能使A ? ( A ? B )成立 的所有a的集合是( A.{a | 1 ? a ? 9} C.{a | a ? 9} ) B.{a | 6 ? a ? 9} D.?

B

巩固练习
1. 已知A ? { x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0},B ? { x | ax ? 2 ? 0}, 且A ? B ? A, 求实数 组成的集合 a .

{0,1,2}
2. 用 列 举 法 表 示 下 列 集 : 合 (1) A ? { x | x 2 ? 9}; ( 2) B ? { x ? N | 1 ? x ? 2}; ( 3)C ? { x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0}.

巩固练习
3. 设P表 示 平 面 内 的 动 点 , 于 下 列 集 合 的 点 组 成 么 图 形 ? 属 什 (1){P | PA ? PB} ( A, B是 两 个 定 点 ); ( 2){P | PO ? 3cm} (O是 定 点 ).

4. 已知集合 ? { x | x 2 ? 1}, B ? { x | ax ? 1}, A 若B ? A, 求实数 的值. a
5. 已知集合 ? {( x, y ) | 2 x ? y ? 0}, B ? {( x, y ) | 3 x ? y ? 0}, A C ? {( x, y ) | 2 x ? y ? 3}, 求A ? B, A ? C , ( A ? B) ? ( B ? C ).

? x 2 ? 1,     |? 1 |x 例3. 已 知f ( x ) ? ?   ,   ?   1   | x |? 1 (1)画 出f ( x )的 图 象 ; ( 2)求f ( x )的 定 义 域 和 值 域 ; ( 3)求f (a 2 ? 1)的 值.

例4. 求函数 ?| x ? 3 | ? | x ? 1 | 的值域 y .

例6 判断下列函数的奇偶性: (1) (2)

1 1 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 3 |; 2 2

f ( x) ? x ? 1, x ? (a,1)
2

课后作业
课本第44页复习参考题A组第3、7题;
课本第44页复习参考题B组第1、2、3、4、5、7题.

第一章 集合与函数概念小结(2)

一、选择题(每小题只有一个正确选项)

1. 方 程x 2 ? px ? 6 ? 0的 解 集 为 , 方 程 2 ? 6 x ? q ? 0 M x 的 解 集 为 , 且M ? N ? {2}, 那 么 ? q ? ( N p ( A)21 ( B )8 (C )6 ( D)7
2. 下 列 四 组 函 数 中 , 表 相 等 函 数 的 一 组 是 ( 示 ( A) f ( x ) ?| x |, g( x ) ? x2 ( B) f ( x) ? x2 ? 1 (C ) f ( x ) ? , g( x ) ? x ? 1 ( D ) f ( x ) ? x ?1

A

).

x 2 , g( x ) ? ( x )2 x ? 1 ? x ? 1 , g( x ) ? x2 ? 1

. A)

3. 下 列 四 个 函 数 中 , 在,? ?)上 为 增 函 数 的 是 (0 ( ( A) f ( x ) ? 3 ? x 1 (C ) f ( x ) ? ? x ?1 ( B) f ( x ) ? x ? 3 x
2

C

)

( D) f ( x ) ? ? | x |

4. f ( x)是定义在 ?6,6]上的偶函数, 且f (3) ? f (1), [ 则下列各式一定成立的 C ( ) ( A) f (0) ? f (6) ( B) f (3) ? f (2) (C ) f (?1) ? f (3) ( D) f (2) ? f (0)

5. 已 知 函 数 ( x )是R上 的 增 函 数A(0,?1), B( 3,1)是 其 f , 图 象 上 的 两 点 么| f ( x ? 1) |? 1的 解 集 的 补 集 是 ,那 ( ( A)(?1,2) ( B )(1,4) (C )(? ?,?1) ? [4,? ?) ( D )(? ?,?1] ? [2,? ?)

D

)

二、选择题

6. 函 数y ?

1 { x ?1 ? 的 定 义 域 为x | x ? ?1, 且x ? 2} . __________ 2? x

x( x ? 1______ ) 则 当x ? 0时, f ( x ) ? __________
? x 2 ? 1, x ? 0, 8. f ( x ) ? ? 若f ( x ) ? 10, ? ? 2 x , x ? 0, 则x ? __________ . ?3 _

7. 已 知f ( x )是 偶 函数当x ? 0时, f ( x ) ? x( x ? 1), ,

三、分析题

2x ? 1 9. 求 函 数 ? y , x ? [3,5]的 最 小 值 和 最 大 值 . x ?1

分析: 2x ? 1 , x ? [3,5]是增函数, 可证得 y ?
x ?1

当x=3时,y取最小值 5 ;
4

3 当x=5时,y取最大值 . 2

10.如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC 长为7cm,腰长为 2 2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F) 的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线 l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y 与x的函数解析式,并画出大致图象. l A D

E

B F

G

H

C

解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别 是G,H. 因为ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB= 2 2 cm, 所以 BG=AG=DH=HC=2cm, 又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.

(1)当点F在BG上时,即x∈(0,2]时,
1 2 y? x ; 2

(2)当点F在GH上时,即x∈(2,5]时, y=2+(x-2)·2=2x-2; (3)当点F在HC上时,即x∈(5,7)时,

y ? S五 边 形ABFED ? S 梯 形ABCD ? S Rt?CEF

1 ? ? ( x ? 7)2 ? 10. 2

?1 2 ?2 x , ? 所以,函数解析式为 y ? ? 2 x ? 2, ?1 ( x ? 7)2 ? 10, ?2 ?

x ? (0,2], x ? ( 2,5], x ? (5,7).


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