2019年重积分的应用78983.ppt_图文

第四节

重积分的应用

重积分在几何上的应用
重积分在物理上的应用

小结 思考题 作业
1

第九章

重积分

重积分的应用

把定积分的元素法推广到重积分的应用中.

一、重积分在几何上的应用
1. 平面区域的面积
设有平面区域D, 则其面积为: D ? 2. 体积

d? ?? D

设曲面方程为 z ? f ( x, y ) ? 0, ( x, y ) ? D. 则D上的曲顶柱体体积为: V ? ?? f ( x , y )d? 占有空间有界域?的立体的体积为:
D

V ? ??? d xd ydz
?
2

重积分的应用

3. 曲面的面积

f ( x , y )在D上具有 连续偏导数 f x ( x , y )和f y ( x , y )
z

z ? f ( x, y ) (1) 设曲面S的方程为:
在xOy面上的投影区域为D, 如图, 设小区域 d? ? D ,
? 为 S 上过 M ( x , y , f ( x , y )) 的切平面.
x

s
dA M dS

点 ( x , y ) ? d? ,

?

o

?

( x, y) d?

y

以 d? 边界为准线 , 母线平行于z轴的小柱面, 截曲面 S为 dS;截切平面 ? 为 dA, 则有
dA ? dS
3

重积分的应用

n ? ( ? f x , ? f y ,1) ?
? d? 为 dA 在 xOy 面上的投影
? d? ? dA ? cos ?

z

n ?
?
s
dA M dS

1 ? cos ? ? 2 2 1 ? fx ? f y
? dA ? 1 ? f ? f d?
2 x 2 y

?
x

o

?

( x, y) d?

y

曲面S的面积元素 曲面S的面积公式

? A ? ?? 1 ? f x2 ? f y2 d?
D

4

重积分的应用

(1) 设曲面S的方程为 z ? f ( x , y )
2 曲面面积公式 A ? ?? 1 ? z x ? z2 y dxdy

Dxy

(2) 设曲面的方程为 x ? g( y , z )
2 2 曲面面积公式 A ? ?? 1 ? x y ? xz dydz

(3) 设曲面的方程为 y ? h( z , x )
2 2 曲面面积公式 A ? ?? 1 ? yz ? yx dzdx

D yz

Dzx

5

重积分的应用

例 求球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 , 含在圆柱体

x 2 ? y 2 ? ax 内部的那部分面积.
解 由对称性知 A ? 4 A1 , 第一挂限图形
z

a

D1 : x 2 ? y 2 ? ax ( x , y ? 0)
曲面方程 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 于是,曲面面积元素为
O

a x

a y
x 2 ? y 2 ? ax

y

1 ? z ? z dxdy a ? dxdy 2 2 2 a ?x ?y
2 x 2 y

D1
O

a
2

? a ?

x
6

重积分的应用

a dxdy 1 ? z ? z dxdy ? 2 2 2 a ?x ?y
2 x 2 y

A ? 4?? 1 ? z ? z dxdy
2 x 2 y D1

y

? ? a cos ?
? D1

? 4??
D1

a dxdy 2 2 2 a ?x ?y

O

a
2

? a ?

x

? 极 a cos? 1 2 坐 ? 4a ? d? ? ? d? 2 2 0 a ?? 0 标

? 2?a 2 ? 4a 2

7

重积分的应用

例 求曲面 z ?

x 2 ? y 2 被柱面 x 2 ? y 2 ? ax(a ? 0)

截下的有限曲面片的面积.

z

解 因曲面方程为 z ?

x2 ? y2

zx ?

x , zy ? 2 2 x ?y
2 x 2 y

y 2 2 x ?y
2

z ? x2 ? y2

y

o D a
x 2 ? y 2 ? ax

所以, 1 ? z ? z ?

x

A ? ??
D

2 2 2 d? ? 2? ? ?a 4
8

重积分的应用

例 计算圆柱面 x 2 ? z 2 ? a 2 被圆柱面 x 2 ? y 2 ? a 2 2 2 2 x ? y ? a 所截的部分的面积. z
解 作出图形在第一卦限的 部分 (如图).
x2 ? z2 ? a2

A1: z ? a 2 ? x 2 则 x zx ? ? 2 , zy ? 0 2 a ?x
2 x 2 y

O

y

x
y

a 1 ? z ? z dxdy ? dxdy 2 2 a ?x

x2 ? y2 ? a2

O

a

x
9

重积分的应用

a dxdy dA1 ? 1 ? z ? z dxdy ? 2 2 a ?x
2 x 2 y

在第一挂限部分面积为

z

x2 ? y2 ? a2
x2 ? z2 ? a2
O

a A1 ? ?? 2 dxdy 2 a ?x D1 a2 ? x2 0 0 ? ? ? a dx dy 1 a a2 ? x2
?a
x
2

y

y

x2 ? y2 ? a2

整个面积 A ? 8 A1 ? 8a 2

O

a

x
10

重积分的应用

求由曲面 x 2 ? y 2 ? az 和 z ? 2a ? x 2 ? y 2 z (0,0,2a) ( a ? 0) 所围立体的表面积.
2 2 ? x ? y ? az ? 解 解方程组 ? 2 2 ? z ? 2 a ? x ? y ?

o

y

x ? x2 ? y2 ? a2 得两曲面的交线为圆周 ? ?z ? a

在xOy平面上的投影域 Dxy : x 2 ? y 2 ? a 2
2y 2x 1 2 2 , zy ? 由 z ? ( x ? y )得 z x ? a a a
11

重积分的应用

求由曲面 x 2 ? y 2 ? az和 z ? 2a ? x 2 ? y 2 ( a ? 0) 所围立体的表面积. 2 2 1 2 2 2 2 x 2 y ? ? ? ? a ? 4 x2 ? 4 y2 1 ? zx ? z y ? 1 ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? a ?
2 由 z ? 2a ? x 2 ? y 2知 1 ? z x ? z2 y ? 2

? A?

1 2 2 2 a ? 4 x ? 4 y dxdy ? ?? 2dxdy ?? a D D
xy

? ? d? ?
0

2?

a

0

6 Dxy : x 2 ? y 2 ? a 2

?

?a 2

1 2 a ? 4 ? 2 ? ? d? ? 2?a 2 a

xy

(6 2 ? 5 5 ? 1)
12

重积分的应用

1989年研究生考题,计算,9分



设半径为R的球面Σ的球心在定球面

x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0)上, 问:R取何值, 球面Σ

在定球面内部的那部分面积最大? 解 由于球为中心对称图形, 不妨设球面Σ 的方程为:

z

x 2 ? y 2 ? ( z ? a )2 ? R 2 因为是求球面Σ 在定球面内部 的面积, 故由方程 x 2 ? y 2 ? ( z ? a )2 ? R 2 z ? a ? R2 ? x 2 ? y 2 解得

O

y

x

13

重积分的应用

z ? a ? R2 ? x 2 ? y 2
1 ? z ? z dxdy ?
2 x 2 y

面积元素是

R dxdy 2 2 2 R ?x ?y

2 2 ? x 2 ? y 2 ? ( z ? a )2 ? R 2 2 a ? R 又由 ? 2 ?z? 2 2 2 2a ?x ? y ? z ? a

2a 2 ? R 2 (z ? ) 即得出球面Σ 在定球面内部的 2a 那部分在xOy面上的投影区域 Dxy :
4 令 2 R 2 2 2 x ? y ?R ? 2 ?b 4a
14

重积分的应用

所以 球面Σ 在定球面内部的面积设为A,则
2 A ? ?? 1 ? z x ? z2 y dxdy

Dxy : x 2 ? y 2 ? b 2
4 R b2 ? R2 ? 2 4a

R ? ?? dxdy 2 2 2 R ?x ?y x ? y ?b 2? b 极 ? R R2 ? ? d ? ? 2?R ? R ? ? 坐 ? ?0 d? ?0 2 2 2a ? ? R ? ? 标 ? 3 R2 ? ? 3 R2 ? 而A? ,令A? ?0 R ? 2? ? 2 R ? R ? 2? ? 2 R ? ? ? 2a ? 2a ? ? ? ( R ? 0) 3R 4 所以, 2 ? ? 0, 即R ? a时, A取得最大值 . 2a 3
2 2 2

Dxy

15

重积分的应用

二、重积分在物理上的应用
1、质心 (1) 平面薄片的质心

设xOy平面上有n个质点,它们分别位于 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )?, ( xn , yn )处, 质量分别为 m1 , m2 ,?, mn . 则该质点系的质心的坐标为 对y轴的静矩
My x? ? M

mi xi ? i ?1 mi ? i ?1
n

n

对x轴的静矩

Mx y? ? M

m i yi ? i ?1 mi ? i ?1
16

n

n

质点系的总质量

重积分的应用

M y ? ? m i x i M x ? ? m i yi
i ?1 i ?1

n

n

设有一平面薄片, 占有xOy面上的闭区域D, 在点(x, y)处的面密度为 ? ( x , y ), 假定 ? ( x , y ) 在D上连续, 平面薄片的质心 由元素法: 薄片中相应于 d? 的部分的质量近似等于
? ( x , y )d? , 这部分质量可近似看作集中在点

(x, y)上, 于是可写出静矩元素: x ? y? ( x , y )d? d M dM ? x? ( x, y )d? ,
y

所以, M y ? ?? x? ( x , y )d? , M x ? ?? y? ( x , y ) d ?
D

D

17

重积分的应用

所以,薄片的质心坐标为
My x? ? M x? ( x , y )d? ?? D
D

Mx , y? ? M ?? ? ( x , y )d?

y? ( x , y )d? ?? D

? ( x , y )d? ?? D

注 当薄片是均匀的, 质心称为形心.

1 x ? ?? xd? , AD
其中 A ? ?? d?
D

1 y ? ?? yd? AD
平面的面积.
18

重积分的应用

1、质心

(2) 物体的质心

设物体占有空间域? ,有连续密度函数 x? ( x , y , z )dv y z ??? y? ? 则其质心坐标为 z x 当物体是均匀的, 则得形心坐标 xdv ??? x? ? , y? V 其中 V ? ??? dv
?

即当? ( x , y , z ) ?
ydv ??? ?

? ( x , y , z )dv ??? ?

常数时,

M

V V 物体的体积.
19

, z?

zdv ??? ?

重积分的应用

例 求位于两圆 ? ? a cos ? , ? ? b cos? (0 ? a ? b ) 之间的均匀薄片的质心. 解 薄片关于x轴对称. 则 y ? 0, 1 x ? ?? xd? AD
?
2 0 b cos?

y

O

a

b x

? x ? ? cos? 2 ? d? ? ? cos? ? ? d? a cos? ? ? y ? ? sin? 2 2 ? ? b? ?a? ? ? a cos? ? ?? ? ??? ? 2 2 ? 2? ? 2? a a ? ? ? ? 2 x ? ? y ? b 2 ? ba ? a 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? . 2(b ? a ) 2 2 1 1 b ? ba ? a 质心( ,0). x ? A ?? xd? , y ? A ?? yd?20 D D 2(b ? a )

重积分的应用

z

例 一个炼钢炉为旋转体形,剖面 壁线的方程为 Dz h 若炉内储有高为h的均质钢液,不计 炉体的自重,求它的质心. y O 解 由对称性知质心在 z 轴上, x 2 2 2 9 ( x ? y ) ? z ( 3 ? z ) z d xd ydz ??? Mz ? ? 故 x ? y ? 0, z ? V V 2 z ( 3 ? z ) 炉壁方程为 9( x 2 ? y 2 ) ? z ( 3 ? z )2? x 2 ? y 2 ? 9 h? h 2 ? d z d x d y ? z ( 3 ? z ) dz V ? ??? d xd ydz ?0 ?? ? 0 9 Dz ? ? 2 9 1 2 ? h ( ? 2h ? h ) 9 2 4 21

重积分的应用

Mz z? ? V
?

z d xd ydz ??? ? V

M z ? ??? zd xd ydz

9 1 2 V ? h ( ? 2h ? h ) 9 2 4 2 z ( 3 ? z ) x2 ? y2 ? 9
2

?

3 1 2 ? h (3 ? h ? h ) 9 2 5
3

?

Mz 60 ? 30h ? 4h2 ?z ? ?h V 90 ? 40h ? 5h2
2 ? 60 ? 30 h ? 4 h 质心为 ? 0, 0, h 2 ? 90 ? 40 h ? 5 h ?

? ? ?. ?
22

重积分的应用

2、转动惯量

(1) 平面薄片的转动惯量

设平面薄片占有平面区域D, 有连续密度函数 ? ( x , y ), 则转动惯量为 y

y2

D
O

x

2

x

I o ? ?? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x , y )d?
D
23

重积分的应用

2、转动惯量 (2) 物体的转动惯量 设物体占有空间区域? , 有连续的密度函数 z ? ( x , y , z ), 则转动惯量为

I x ? ???( y ? z ) ? ( x , y , z )dv
2 2

?
O

?

I y ? ???( x 2 ? z 2 ) ? ( x , y , z )dv
?

y

x

I z ? ???( x 2 ? y 2 )? ( x , y , z )dv
?

I 0 ? ??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )? ( x , y , z )dv
?
24

重积分的应用

I x ? ?? y 2 ? ( x , y )d?
D

例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别 为a、b, 求这三角形对任一直角边的转动惯量. 解 设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上(如图)
对y轴的转动惯量为
y

I y ? ? ?? x dxdy
2

b
O

x y ? b(1 ? ) a

1 3 ? ? dy x dx ? a b ? 0 12 对x轴的转动惯量为 1 3 2 I x ? ? ?? y dxdy ? ab ? . 12 D

?

D b

?

y a (1? ) b 0

a

x

2

25

重积分的应用

3、引力 (1)平面薄片对质点的引力

m1m2 F ?k 2 r

设有一平面薄片, 占有xOy面上的闭区域D, 在点(x, y)处的面密度为 ? ( x , y ), 假定 ? ( x , y ) 在D上连续, 计算该平面薄片对位于z轴上的点 M 0 (0,0, a )处的单位质点的引力. ( a ? 0) 用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力 F ? ( Fx , Fy , Fz ). z M (0,0, a ) d F , d F , d F 0 ? x y z 引力在三个坐标轴上的投影 Fx , Fy , Fz 元素. y 薄片中 d? 的部分对该质点的引力 O D ? ? ( x , y ) d ? k ? x 的大小近似地为 dF ? 1 ?
r2
( x , y ,0 )

d?

26

重积分的应用

薄片中 d? 的部分对该质点的引力 k ? 1 ? ? ( x , y )d? 的大小近似地为
dF ? r2

m1m2 F ?k 2 r

r ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( 0 ? a ) 2 ?

x2 ? y2 ? a2
?r r r ?

x y ?a? 引力的方向 ( x , y , 0 ? a ) 方向余弦 ? ? , , ?

薄片中 d? 的对该质点的引力在三个坐标轴 z M0 (0,0, a ) F , F , F 上的投影 x y z 的元素: ky? ( x , y )d? kx? ( x , y )d? , dFx ? , dF y ? 3 3 r r O y D ? ka? ( x , y )d? ? dFz ? . x 3 r
( x , y ,0) d?
27

重积分的应用

ky? ( x , y )d? kx? ( x , y )d? , dFx ? , dF y ? 3 3 r r ? ka? ( x , y )d? dFz ? . 3 z r M0 (0,0, a ) ? ( x, y) x Fx ? k ?? 2 d? , 2 2 3 2 D (x ? y ? a ) O y ? ( x, y) y D Fy ? k ?? 2 d ? , ? 2 2 3 x 2 ( x ? y ? a ) D ( x , y ,0) d? ? ( x, y) Fz ? ? ak ?? 2 d? . 2 2 3 2 D (x ? y ? a )

k为引力常数.
28

重积分的应用

3、引力 (2) 物体对质点的引力

m1m2 F ?k 2 r

空间一物体对于物体外一点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的单位质量的质点的引力. 设物体占有空间区域?,有连续分布的密度 函数 物体对于物体外一点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的单位质量的质点的引力 利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别 1 ? ? ( x , y , z )dv ? ( x , y , z )( x ? x0 )dv 为 dFx ? k cos? ? k 2 r r3 ? ( x , y , z )( y ? y0 )dv 1 ? ? ( x , y , z )dv dF y ? k cos? ? k 2 r3 r 3 dFz ? k cos? ? ( x , y , z )( z ? z0 )dv 1 ? ? ( x , y , z )dv ?k r3 29

重积分的应用

r3 ? ( x , y , z )( y ? y0 )dv dF y ? k 在?上分别积分, 3 r ? ( x , y , z )( z ? z0 )dv dFz ? k r3 ? ( x , y , z )( x ? x0 ) dv 得 Fx ? k ??? 3 r ? ? ( x , y , z )( y ? y0 ) Fy ? k ??? dv 3 r ? ? r3 ??? Fz ? k dv 0 ? ( x , y , z )( z ? z )
30

dFx ? k

? ( x , y , z )( x ? x0 )dv

重积分的应用

? x ,y y y) ? (( x ,( ),) xy ? x Fzx ?? kak ? k ? d ? 3d 3d y? 3 ?? ?? ?? 22 2 2 2 2 2 222 2 2 (x x ?y yy aa ? ?? a ) )) 例 设有面密度为常量,半径为RD 的均匀圆的薄片 (x ? ? D( D 求它对位于点 处的单位质量质点的引力.
z

解 由对称性知 Fx ? Fy ? 0 M0 (0,0, a ) ? ( x, y) ? Fz ? ? ak ?? 2 d ? 2 2 3 F 2 ( x ? y ? a ) D 1 ? ? ak? ?? 2 d? y o 2 2 3 2 ( x ? y ? a ) D 极坐标 x 2? R 1 ? ? ak? ? d? ? 3 ? d? 0 0 ( ? 2 ? a 2 )2 1 1? ? ? ? 2?ka? ? ? ?. 引力为 F ? (0 , 0 , Fz ). 2 2 31 ? R ? a a?

重积分的应用

求密度 ? 为常数的半圆环: a 2 ? x 2 ? y 2 ? b2 , ( y ? 0) 对原点一单位质点的引力. 答案:
y

b ? 引力为 ? 0, 2k? ln ? ?. a? ?

Oa b

x

32

重积分的应用

三、小结
? 平面的面积 ? 几何应用 ? 曲面的面积 ? 体积 ? ? 平面薄片、空间物体的质心 ? 物理应用 ? 平面薄片、空间物体的转动惯量 ? ? 平面薄片、空间物体对质点的引力
33

重积分的应用

思考题

2001研究生考题

设有一高度为 h( t ) ( t为时间)的雪堆在融化 2( x 2 ? y 2 ) , 过程中,其侧面满足方程 z ? h( t ) ? h( t ) 设长度单位为厘米, 时间单位为小时,已知体积 减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问 高度为130(厘米)的雪堆全部融化需要多少小时? z 解 记雪堆体积为V, 侧面积为 S ,则 h( t ) ? 3 d x d y ? h (t ) V ? ?0 dz ?? Dz 4 Dz

1 2 Dz : x ? y ? [ h ( t ) ? h( t ) z ] 2
2 2

O
x

y
34

重积分的应用

V?

?
4

h (t )

3

2( x ? y ) z ? h( t ) ? h( t )
2 2

z

D

O

y

h( t ) ?0 0 ? ? d? 2 h2 ( t ) ? 16 ? 2 ? d? 1 2? h( t ) h( t ) ?0 ? h2 ( t ) ? 16 ? 2 ? d? 13? 2 2 ? h (t ) 2?
h( t )

1 D : x 2 ? y 2 ? h2 ( t ) 2

x

12

35

重积分的应用

已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9) dV ? 3 ? ? 0.9 S V ? h (t ) dt 4 12 S? h2 ( t ) ? dh 13? 2 2 13? ? ? 3h ( t ) ? ?0.9 ? h (t ) 4 dt 12

令 h( t ) ? 0 , 得 t ? 100 (小时) 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需 的时间为100小时.
36

? ?? ?

?

重积分的应用

作业
习题9-4 (116页)

2. 3. 4.(1) (3) 9.(3) 11. 13.

6. 7.(1)

8.

37


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