【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮题组训练:2-3函数的奇偶性与周期性

第3讲
一、填空题 1.(2013· 温州二模)若函数 f(x)=

函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组(建议用时:40 分钟)

sin x 是奇函数,则 a 的值为________. ?x+a?2

2.(2014· 温岭中学模拟)f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(1-x),则 f(3)=________. 3.(2013· 重庆卷改编)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2)) =________. 4.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的 解集为______. 5. (2014· 武汉一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0 且 a≠1),若 g(2)=a,则 f(2)=________. 6.(2013· 青岛二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x)对任意 x∈R 成 ?5? 立,当 x∈(-1,0)时 f(x)=2x,则 f?2?=________. ? ? 7.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取 值范围是________. 8.(2013· 临沂模拟)下列函数①y=x3;②y=|x|+1;③y=-x2+1;④y=2x 中既是偶函数,又 在区间(0,+∞)上单调递增的函数是________. 二、解答题 9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式.

10.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数,且最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判定 f(x)的奇偶性; (2)试求出函数 f(x)在区间[-1,2]上的表达式.

能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.(2013· 昆明模拟)已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x-2)=-f(x),且当 x∈[-1,0]时 f(x)=2x, 则 f(2 013)=________. 2.(2014· 郑州模拟)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0 恒成 ? 1? 立,设 a=f?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为________. ? ? 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1] ?1? 时,f(x)=?2?1-x,则: ? ? ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ?1? ④当 x∈(3,4)时,f(x)=?2?x-3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 二、解答题 4.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1) =f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论.

第3讲
一、填空题 1.解析 由 f(-1)=-f(1),得

函数的奇偶性与周期性参考答案
基础巩固题组(建议用时:40 分钟)

sin?-1? -sin 1 = ,∴(-1+a)2=(1+a)2 解得 a=0.答案 ?-1+a?2 ?1+a?2 -2

0

2.解析 f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案 3.解析 ∵f(x)=ax3+bsin x+4,①

∴f(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+4,即 f(-x)=-ax3-bsin x+4,② ①+②得 f(x)+f(-x)=8,③ ? 1 ? 又∵lg(log210)=lg?lg 2?=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2),∴f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=5, ? ? 又由③式知 f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2))=3.答案 4.解析 f(x)的图象如图. 3

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0,得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)>0,得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0,得 x∈(1,3).∴x∈(-1,0)∪(1,3).答案 (-1,0)∪(1,3)

5.解析 依题意知 f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-x-ax+2,联立 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,解 1 15 得 g(x)=2,f(x)=ax-a-x,故 a=2,f(2)=22-2-2=4-4= 4 .答案 ?5? ?1? ? 1? 6.解析 因为 f(x+2)=f(x),故 f?2?=f?2?=-f?-2?=1.答案 ? ? ? ? ? ? 1 15 4

7.解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|).

?|1-m|>|m|, 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.∴?-2≤1-m≤2, ?-2≤m≤2,
8.解析 偶函数,不成立,所以填②.答案 ②

1 解得-1≤m<2.答案

1? ? ?-1,2? ? ?

因为①是奇函数,所以不成立.③在(0,+∞)上单调递减,不成立,④为非奇非

二、解答题 9.解 当 x<0 时, -x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.

由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x),所以当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0.

?-2x +3x+1,x>0, 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0, ?2x2+3x-1,x<0.
10.解 (1)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(-x)=f(2+x). 又 f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)当 x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],则 f(x)=f(-x)=x; 进而当 1≤x≤2 时,-1≤x-2≤0,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.

2

?-x,x∈[-1,0?, 故 f(x)=?x,x∈[0,1?, ?-x+2,x∈[1,2].
能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.解析 由 f(x-2)=-f(x)得 f(x-4)=f(x),所以函数的周期是 4,故 f(2 013)=f(4×503+1) 1 =f(1)=f(-1)=2-1=2.答案 1 2

2.解析 ∵f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴y=f(x)关于 x=1 对称.又 1<x1<x2, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, 5 ? 1? ?5? ?5? 知 y=f(x)在[1,+∞)是增函数,又 f?-2?=f?2?,且 2<2<3,∴f(2)<f?2?<f(3),即 b<a ? ? ? ? ? ? <c.答案 b<a<c 3. 解析 由已知条件: f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数, ①正确; 当-1≤x≤0 ?1? 时 0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=?2?1+x, ? ? 函数 y=f(x)的图象如图所示:

?1? 当 3<x<4 时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=?2?x-3,因此②④正确,③不正确.答案 ? ?



②④ 二、解答题 4.解 (1)若 y=f(x)为偶函数,则 f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x),

∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=-f(0), ∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ?f?2-x?=f?2+x?, ?f?x?=f?4-x?, (2)由? ?? ? ?f?7-x?=f?7+x? ?f?x?=f?14-x? f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期 T=10. 由 f(3)=f(1)=0,得 f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 014]上有 404 个解, 在[-2 014,0]上有 402 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有 806 个解.


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