高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质(一)课后导练新人教B版选修2_1-含答案

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一) 课后导练 基础达标 2 2 1.椭圆 6x +y =6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) C.(- 6 ,0)、( 6 ,0) 答案:D ) B.(-6,0)、(6,0) D.(0,- 6 )、(0, 6 ) x2 y2 x2 y2 ? 2.已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 与椭圆 =1 有相同的离心率,则椭圆 C 的方程可能是 4 8 a b ( A. ) x2 y2 2 ? =m (m≠0) 8 4 x2 y2 ? =1 8 2 B. x2 y2 ? =1 6 64 C. D.以上都不可能 答案:A 3.曲线 x2 y2 + =xy( 25 9 ) B.仅关于 y 轴对称 D.以上都不对 A.仅关于 x 轴对称 C.关于原点对称 答案:C 4.已知椭圆 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? ? =1 与椭圆 =1 有相同的长轴,椭圆 =1 的短轴长与椭 25 16 a2 b2 a2 b2 ) B.a =9,b =25 2 2 D.a =25,b =9 2 2 y2 x2 ? 圆 =1 的短轴长相等,则( 21 9 A.a =25,b =16 2 2 2 2 C.a =25,b =9 或 a =9,b =25 答案:D 2 2 5. 若椭圆长轴长与短轴长之比为 2, 它的一个焦点是 (2 15 ,0), 则椭圆的标准方程是 _____________. x2 y2 ? 答案: =1 80 20 6. 如 右 图 , 直 线 l:x-2y+2=0 过 椭 圆 的 左 焦 点 F1 和 一 个 顶 点 B, 该 椭 圆 的 离 心 率 为 ______________________. 1 答案: 2 5 5 6 ,求椭圆的标准方程. 3 7.椭圆过(3,0)点,离心率 e= 解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, ∵a=3, c 6 = , a 3 ∴c= 6 . 从而 b =a -c =9-6=3, ∴椭圆的方程为 2 2 2 x2 y2 ? =1. 9 3 当椭圆的焦点在 y 轴上时, ∵b=3, c 6 = , a 3 ∴ 2 6 a2 ? b2 = . 3 a ∴a =27. x2 y2 ? ∴椭圆的方程为 =1. 9 27 ∴所求椭圆的方程为 x2 y2 x2 y2 ? ? =1 或 =1. 9 27 9 3 8.如右图,已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴的两个端点 B1、B2 的连 线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 10 ? 5 ,求这个椭圆的方程. 分析:如题图,由椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上知,椭圆方程的形式是 x2 y2 + =1(a>b a2 b2 2 >0),再根据题目条件列出关于 a、b 的方程组,求出 a、b 的值. 解:设椭圆方程为 x2 y2 ? =1(a>b>0). a2 b2 由椭圆的对称性知,|B1F|=|B2F|,又 B1F⊥B2F, 因此△B1FB2 为等腰直角三角形. 于是|OB2|=|OF|,即 b=c. 又|FA|= 10 ? 5 , 即 a-c= 10 ? 5 ,且 a =b +c . 2 2 2 ?b ? c, ? 将以上三式联立,得方程组 ?a ? c ? 10 ? 5 , ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 解得 a =10,b =5. 因此,所求椭圆的方程为 2 2 x2 y2 ? =1. 10 5 综合运用 9.如右图, 已知椭圆的对称轴是坐标轴, 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三 角形,且焦点到椭圆的最短距离是 3 ,求此椭圆方程,并写出其中焦点在 y 轴上的椭圆的 焦点坐标、离心率. 解析:由题设条件及椭圆定义知 2a=4c; 且 a-c= 3 . ∴c= 3 ,a=2 3 ,b =a -c =9. 2 2 2 当焦点在 x 轴上时,所求的方程为 x2 y2 ? =1; 12 9 x2 y2 ? =1. 9 12 当焦点在 y 轴上时,所求的方程为 对后一个方程,离心率 e= c 1 = ,焦点坐标为(0,± 3 ). a 2 10.已知 F1、F2 是椭圆 x2 y2 ? =1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B a2 b2 3 的周长为 16,椭圆的离心率为 e= 3 ,求此椭圆方程. 2 ?4a ? 16, ? 解析:由题意可得 ? c 3 . ? ? 2 ?a a=4,c=2 3 , ∴b =16-12=4. 所求椭圆方程为 拓展探究 11.(2006 全国Ⅰ,文 20) 设 P 是椭圆 个动点,求|PQ|的最大值. 解:依题意可设 P(0,1) ,Q(x,y)则 2 2 |PQ|= x ? (1 ? y ) 2 x2 y2 ? =1. 16 4 x2 2 +y =1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一 a2 又因为 Q 在椭圆上,所以 x =a (1-y ), 2 2 2 2 |PQ| =a (1-y )+y -2y+1 2 2 2 =(1-a )y -2y+1+a =(1-a )(y2 2 2 2 1 1 2 2 )+1+a 2 1? a 1? a2 1 |≤1, 1? a2 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2 ,则| 当 y= 1 a2 a2 ?1 时, |PQ| 取最大值 ; 1? a2 a2 ?1 若 1<a< 2 ,则当 y=-1 时 |PQ|取最大值 2. 4 - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、 “中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。 ”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作峰. 论疲劳 源于肝 脏[J]. 广西中 医药,20 08,31( 1)

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