陕西省府谷县同心路初级中学高中数学必修一教学课件:1.3.2奇偶性_图文

1.3.2 奇偶性 思维导图 奇偶性的 应用 奇函数的 定义 图象特征 及运用 函数的 奇偶性 奇偶性的 判断 偶函数的 定义 奇函数的图象 关于原点对称 分段、抽象 函数奇偶性 的判断 偶函数的图象 关于y轴对称 导图 ? 1.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内① 任意 一个x,都有② f(-x)=f(x) , 那么函数 f(x)就叫做偶函数. ? 2.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内③ 任意 一个x,都有④ f(-x)=-f(x) , 那么函数 f(x)就叫做奇函数. ? 特别提醒: ? (1)一般地,奇函数要么在x=0处没有定义,要么在x=0处的函数值为0,即 f(0)=0. 定义域关于原点对称 的情况下既是奇函数又是 ? (2)常数函数 f(x)=0在⑤ 偶函数. ? 1、函数奇偶性与单调性的区别: ? (1)奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性 单调性反映的是 函数在某一区间上函数值的变化趋势; ? (2)奇偶性是针对整个函数定义域而言的(整体性质) 单调性 则是针对函数定义域的某一个子区间而言的(局部性质); ? 2、定义域“关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提. ? 3、若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0. ? 4、等价关系: (1)偶函数 : f ( x ) ? f ( ? x )可等价变形为 f (? x) ? f ( x) ? 0 f (? x) 也可等价变形为 ? 1( f ( x ) ? 0). f ( x) (2)奇函数 : f ( ? x ) ? ? f ( x )可等价变形为 f (? x) ? f ( x) ? 0 f (? x) 也可等价变形为 ? ?1( f ( x ) ? 0). f ( x) 导图 例1.判断下列函数的奇偶性 : (1) f ( x) ? x ? 2 ? 2 ? x 1 (2) f ( x) ? x ? 3 x 1? x (3) f ( x) ? x?2 ?2 2 (4) f ( x) ? x ? a ? x ? a (a ? R ) ? f1 ( x ), x ? I1 判断分段函数 f ( x) ? ? ,的奇偶性的步骤: ? f 2 ( x ), x ? I 2 (1)判断定义域是否关于原 点对称. ? x(1 ? x )( x ? 0) 例2.判断函数f ( x ) ? ? ? x(1 ? x )( x ? 0) 的奇偶性. 若对称, 则进行以下步骤 (2)当x ? I1时, 判断 ? x在I1内还是在I 2内, 求f ( ? x), 判断f ( ? x)与f ( x)的关系; (3)当x ? I 2时, 判断 ? x在I1内还是在I 2内, 求f (? x), 判断f (? x)与f ( x)的关系; (4)得出结论 (如果函数在 x ? 0处有定义, 须验证f (0)) 例3.(1)已知函数f ( x ), x ? R, 若对于任意实数 a, b都有 f (a ? b) ? f (a ) ? f (b).求证 : f ( x )为奇函数. (2)已知函数f ( x ), x ? R, 若对于任意实数 x1 , x2都有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? 2 f ( x1 ) f ( x2 ), 且f (0) ? 0. 求证 : f ( x )为偶函数. 定义域关于 原点对称? 非奇非偶函数 f(-x)=f(x) f(-x)与f(x)的关系 偶函数 f(-x)=-f(x) 没有上述 关系 奇函数 非奇非偶 导图 ? 1.如果一个函数是 ,则这个函数的图象是以⑥ 为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的 图象是以⑦ 为对称中心的中心对称图形,则这个函 数是 ? 2.如果一个函数是 ,则它的图象是以⑧ 为对 称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 对称,则这个函数是⑨ . ? 1、函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性, 因而当问题涉及奇函数或偶函数时,不妨利用 图象的对称性帮助解决,或者研究关于原点对 称的区间上的函数值的有关规律等。 ? 2、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同;偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反。 例4.如图给出了偶函数 y ? f ( x)的局部图象, 试比较f ( ?1)与f (3)的大小 . 例5.已知函数y ? f ( x)是偶函数, 且图象与x轴有四个交点 , 则方程f ( x) ? 0的所有实根之和是 (?) A.4 B.2 C.1 D.0 导图 ? 1、设所求区间上的任意x; ? 2、把所求区间内的变量转化为已知区间内的变量(x -x); ? 3、利用f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)求出所求区间的函数解析式。 例6.(1)已知函数f ( x)是偶函数,且当x ? 0时 f ( x) ? x( x ? 1),试求当x ? 0时, f ( x)的解析式 (2)已知函数f ( x)是奇函数,且当x ? 0时 f ( x) ? ? x ? 1, 试求当x ? 0时,f ( x)的解析式 一般地,若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的 两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性; 若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于原点对称的 两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性; 例7.定义[?2,2]在上的偶函数 g ( x),当x ? 0时, g ( x)单调递减, 若g (1 ? m) ? g (m)成立, 求m的取值范围 .

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