11.2 函数极限与连续 Microsoft Word 文档

11. 函数极限与连续性 11.2 函数极限与连续性
一,明确复习目标
1.了解函数极限的概念; . 2.掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限; 3.了解函数连续的意义;会判断简单函数的连续性; 4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. .

二.建构知识网络
1.当 x→∞时函数 f(x)的极限: (1)当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就 说当 x 趋向于正无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a,记作 lim f ( x ) = a ,(或 x→+∞时,f(x)
x → +∞

→a) (2)同理 lim f ( x ) = a 表示——
x → ∞

(3)当 lim f ( x ) = a ,且 lim f ( x ) = a 时, lim f ( x) = a
x → +∞ x → ∞ x →∞

即 lim f ( x) = lim f ( x ) = a lim f ( x) = a
x → +∞ x → ∞ x →∞

2.当 x→x0 时函数 f(x)的极限: 当自变量 x 无限趋近于常数 x0(从 x0 两侧,但 x≠x0)时,如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a,就说当 x 趋向于 x0 时, 函数 f(x)的极限是 a,记作 lim f ( x ) = a ,(或 x→x0
x → x0

时,f(x)→a) (1) lim f ( x ) = a 与函数 f(x)在点 x0 处是否有定义及是否等于 f(x0)都无关.
x → x0

(2)"连续"函数在 x0 处的极限就等于 f(x0) 3.函数 f(x)的左,右极限: (1)如果当 x 从点 x=x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时,函数 f(x)无限趋近于常数 a,就说 a 是函数 f(x)的左极限,记作 lim f ( x ) = a .
x → x0

(2)同理 lim f ( x ) = a 表示——
+ x → x0

(3) lim f ( x ) = lim f ( x ) = a lim f ( x ) = a ——判断函数在一点处极限存在的方 +
x → x0 x → x0

x → x0

法.

4.极限不存在的三种形态:①左极限不等于右极限 lim f ( x) ≠ lim f ( x) ; +
x → x0 x → x0

②x

→ x0 时, f ( x ) → ∞ ,③ x → x0 时, f ( x ) → 的值不确定.
0 0 ∞ ,∞ ∞" 型的极限,要分别通过"约去使分母为零的因式,同除以 ∞

5.函数极限的运算法则——(与数列类似) 6.对 " ,

分子,分母的最高次幂,有理化分子"等变形,转化极限存在的式子再求. 7.函数连续的定义: . (1)如果①函数 f(x)在点 x=x0 处有定义,② lim f(x)存在,③ lim f(x)=f(x0),那么函数
x→ x 0 x→ x 0

f(x)在点 x=x0 处连续. (2)如果函数 f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续,就说函数 f(x)在开区间(a,b) 内连续,或 f(x)是开区间(a,b)内的连续函数. (3)如果 f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x=a 处有 lim f(x)=f(a),在右端点 x=b +
x →a

处有 lim f(x)=f(b),就说函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,或 f(x)是闭区间[a,b]上的连
x →b

续函数. 8.连续函数的性质—— ——最大值最小值定理 .连续函数的性质—— 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和 最小值.

三,双基题目练练手
2 x + 3, x ≠ 1 1.(2006 四川) 已知 f ( x ) = . 四川 , 下面结论正确的是 2, x = 1 A.f(x)在 x=1 处连续 B.f(1)=5 C. lim f ( x ) = 2 D. lim f ( x ) = 5 -
x →1
x →1

(

)

2.设 f ( x) =

x2 3
3

x3 + 1

下列说法不正确的是 ( B. lim f ( x ) =1
x →+∞

)

A. lim f ( x ) =1
x →∞

C. lim f ( x ) =1
x →∞

D. x → ∞ 时 f(x)极限不存在

x 3. 已知函数 f(x)= 1 x

x为有理数, x为无理数,

函数 f(x)在哪点连续

A.处处连续

B.x=1

C.x=0

D.x=

1 2

4.(2006 广东) lim (
x → 2

4 1 )= 2 2+ x 4 x

5. lim
x→0

a2 + x a =______ x
x +1 1
3

6.要使 f (x)=

x +1 1

在点 x=0 处连续,则需补充定义 f (0)=______

简答:1-3.DCD;
3. lim+ f(x)= lim f(x)=f(
x→ 1 2 x→ 1 2

1 ) . 2

4.

1 1 ; 5. ; 4 2a
x +1 1 x +1 1
3

6. f (0)= lim f (x)= lim
x→0

x→0 3

= lim
x→0

( x + 1) 2 + 3 x + 1 + 1 x +1 +1

=

3 2

四,经典例题做一做
【例 1】求下列各极限: (1) lim

x3 + x + 1 x →∞ 2 x 4 x 2
x →∞

(2) lim ( ( x + a )( x + b) -x) ;

(3) lim
x→0

x2 + a2 a x2 + b2 b

. a>0) (

1 1 1 + 3+ 4 x3 + x + 1 x = 0+0+0 =0 解:(1) lim 4 = lim x x x →∞ 2 x x 2 x →∞ 1 2 2 2 4 200 x x
(2)原式= lim

(a + b) x + ab

x →∞

x 2 + (a + b) x + ab + x

=a+b

(3) 原式= lim
x→0

( x 2 + a 2 a )( x 2 + a 2 + a )( x 2 + b 2 + b) ( x 2 + b 2 b)( x 2 + b 2 + b)( x 2 + a 2 + a )

= lim
x→0

( x 2 + a 2 a 2 )( x 2 + b 2 + b) ( x 2 + b 2 b 2 )( x 2 + a 2 + a )

= lim
x→0

x2 + b2 + b x +a +a
2 2

=

| b | +b | a | +a

0 = b a

(当b ≤ 0时), (当b > 0时).

提炼方法:1.对于题(1)"
然后再求极限;

∞ "要先除以 x 的最高次方;题(2)"∞-∞"要先有理化, ∞
x2 + a2 a x2 + b2 b

2. 在题(3)中,当 b<0 时,f(x)=

在 x=0 处连续,极限值就等于 f(0). b>0 当

时, f (x)在 x0 处不连续,x→0 时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极 限.

2 x + b (1)设 f(x)= 0 【 例 2】 1 + 2 x
(2)f (x)为多项式,且 lim
x →0 x →0 x →∞

x > 0, x = 0, 试确定 b 的值,使 lim f ( x) 存在. x →0 x < 0,

f ( x) 4 x 3 f ( x) =1, lim =5,求 f(x)的表达式 x→0 x x

解:(1) lim+ f (x)= lim+ (2x+b)=b,
x →0

lim f(x)= lim (1+2x)=2,
x →0 x →0 x →0

当且仅当 b=2 时, lim+ f (x)= lim f (x), 故 b=2 时,原极限存在 (2)由于 f(x)是多项式,且 lim

f ( x) 4 x 3 =1, x →∞ x ∴可设 f (x)=4x3+x2+ax+b(a,b 为待定系数)

又∵ lim
x→0

f ( x) =5, x

即 lim (4x2+x+a+

b )=5, x→0 x ∴a=5,b=0, 即 f (x)=4x3+x2+5x 点评:(1)理解极限的定义和极限存在的条件; (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值.
【例 3】已知函数 f (x)= lim

2n xn 2n + xn

n →∞

,试求:

(1)f (x)的定义域,并画出图象; (2)求 lim f (x) lim+ f (x),并指出 lim f (x)是否存在. ,
x → 2 x → 2 x → 2

解:(1)当|x|>2 时,

2 ( )n 1 lim = lim x =-1; n →∞ 2 n + x n n →∞ 2 n ( ) +1 x 2n xn
x 1 ( )n 2 x 2 =1; 当|x|<2 时, lim n = lim n →∞ 2 + x n n →∞ x 1 + ( )n 2
n n

当 x=2 时, lim

n →∞

2n xn =0; 2n + xn 2n xn 不存在. 2n + xn

当 x=-2 时, lim

n →∞

1 ∴f (x)= 0 1

( x > 2或x < 2), ( x = 2), (2 < x < 2).

∴f (x)的定义域为{x|x<-2 或 x=2 或 x>2}. 如下图:
y 1 -2 O -1 2 x

(2)∵ lim f (x)=-1, lim+ f (x)=1.∴ lim f (x)不存在.
x → 2 x → 2 x → 2

【例 4】讨论函数 f ( x) = lim

1 - x2n x (0 ≤ x < ∞ ) 的连续性,并作出函数的图象. 2n n →∞ 1 + x 分析:应先求出 f (x)的解析式,再判断连续性.
解:当 0≤x<1 时,f (x)= lim
n →∞

1 x 2n x=x; 1 + x 2n

当 x>1 时,f (x)= lim

n →∞

1 x 1 + x 2n
2n

1 1 x 2n x= lim x=-x; n →∞ 1 +1 x 2n

当 x=1 时,f (x)=0.

x ∴f (x)= 0 x
x →1 x →1

(0 ≤ x < 1), ( x = 1), ( x > 1).
x →1 x →1

∵ lim f(x)= lim (-x)=-1, lim f(x)= lim x=1, + + ∴ lim f(x)不存在.
x →1

∴f (x)在 x=1 处不连续,f (x)在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.
y 1 O -1 1 x

提炼方法: 分段函数讨论连续性,要讨论在"分界点"的左,右极限,进而判断连续
性. 【研讨.欣赏】设 f(x)在(a,b)内连续,如果 x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn 为(a,b)内的任意 n 个 点.求证:在[x1,xn]上至少存在一点 x0,使得 f ( x0 ) =

1 [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )] n

证明:由连续函数的性质,f(x)在闭区间[x1,xn]上必有最大值 M,和最小值 m,从而

m≤f(xi)≤M,(i=1,2,……n). ∴m ≤

1 [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( xn )] ≤ M ,从而必有 x0,使 n 1 f ( x0 ) = [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( xn )] . n

五.提炼总结以为师
1.有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数极限的和(或积),在求几个函数的 和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限; 2.两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和,差,积,商的极限 不一定不存在. . 3.求函数的极限的几种基本的方法: ①代入法;②约去分母为零的因式;③分子,分母同除 x 的最高次幂;④有理化法 4.函数 f(x)在点 x0 处连续必须具备以下三个条件: 函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; 函数 f(x)在点 x=x0 处有极限; 函数 f(x)在点 x=x0 处的极限值等于在这一点 x0 处的函数值,即 lim f(x)=f(x0) .
x→ x0

同步练习
【选择题】

11. 11.2 函数极限与连续性

1.函数 f(x)在 x0 处连续是 f(x)在点 x0 处有极限的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2.下列命题中正确的是 ( )

(

)

A. 若f ( x) =

x 1 , 则 lim f ( x) = 1 x →∞ x

B. 若f ( x) = 1 x,则 lim f ( x) = 0
x →1

sin x x2 + x C . 若f ( x ) = ,则 lim f ( x) = 1 D. 若f ( x) = ,则 lim f ( x)不存在 x →0 x →1 tan x x +1
π x 的不连续点为 ( 3. f(x)= π cos x cos
A.x=0 B.x=

)

2 (k=0,±1,±2,…) 2k + 1

C.x=0 和 x=2kπ(k=0,±1,±2,…) 【填空题】 4. 2006 北京) lim . ( 北京)

D.x=0 和 x=

2 (k=0,±1,±2,…) 2k + 1

x 2 + 3x + 2 的值等于________ x →1 x2 1

5. 设 f (x ) =

2 x , x > 0 ,则 lim f ( x) = 0, x = 0 x →0 1 + x 2 , x < 0

6. lim
π x→ 2

cos x . =________ x x cos sin 2 2 cos 2
x x sin 2 2 2 = lim (cos x +sin x )= 2 π x x 2 2 x→ cos sin 2 2 2
4.
2

6.原式= lim
x→ π 2

简答提示:1-3.ACD;
x →0 x →0

1 ; 2
x x →0 x→0

5. lim f ( x) = lim (1 + x ) = 1, lim f ( x ) = lim 2 = 1 + +

lim f ( x) = 1 .
x →0

6. 2

【解答题】 7.求下列函数的极限: (1) lim

3x 2 1 x → ∞ ( x + 1) 3

(2) lim (
x → 1

x2 3 1 ) 2 x 1 x +1

(3) 设 f(x)=

5 x + 1 x e

( x ≤ 0, k为常数) 求 lim f(x) x→0 ( x > 0),

1 3 ( )3 3x 3 1 x = 30 = 3 解: (1) lim = lim 3 3 x → ∞ ( x + 1) x →∞ 1 (1 + ) 3 (1 + 0) x
(2) lim(

x2 3 1 x2 x 2 (x +1)(x 2) x 2 12 3 ) = lim 2 = lim = lim = = 2 x→1 x 1 x +1 x→1 x 1 x→1 (x +1)(x 1) x→1 x 1 11 2

(3)

x →0

lim f(x)=1, lim+ f(x)=1,
x →0

∴ lim f(x)=1.
x→0

8. 设函数 f(x)=ax2+bx+c 是一个偶函数,且 lim f(x)=0, lim f(x)=-3,求出这一函数最大
x →1 x → 2

值 解:∵f (x)=ax2+bx+c 是一偶函数, ∴f (-x)=f (x), 即 ax2+bx+c=ax2-bx+c ∴b=0 ∴f (x)=ax2+c 又 lim f (x)= lim ax2+c=a+c=0, lim f(x)= lim ax2+c=4a+c=-3,
x →1 x →1 x → 2 x → 2

∴a=-1,c=1 ∴f (x)=-x2+1 ∴f (x)max=f(0)=1 ∴f (x)的最大值为 1

e x 9. 设 f(x)= . a + x
x →0 x →0

( x < 0), 当 a 为何值时,函数 f(x)是连续的 ( x ≥ 0),
x →0 x →0

解: lim+ f(x)= lim+ (a+x)=a, lim f(x)= lim ex=1,而 f(0)=a,故当 a=1 时,
x →0

lim f(x)=f(0),

即说明函数 f(x)在 x=0 处连续,而在 x≠0 时,f(x)显然连续,于是我们可判断当 a=1 时, f(x)在(-∞,+∞)内是连续的 10. 设 f(x)是 x 的三次函数,已知
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

f ( x) f ( x) f ( x) = lim = 1 .试求 lim 的值,(a 为非零常数). x → 2 a x 2a x → 4 a x 4a x → 3a x a lim
解:由已知可设 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-c),且有

{

c = 3a A(2a )(2a + c) = 1 1 A 2a (4a + c) = 1 A= 2 2a

1 ( x 2a )( x 3a )( x 4a ) 2a 2 f ( x) 1 1 lim = 2 (3a 2a )(3a 4a ) = x →∞ x 3a 2a 2 f ( x) =
【探索题】在一个以 AB 为弦的弓形中,C 为 AB 的中点,自 A, 分别作弧 AB 的切线, B

交于 D 点,设 x 为弦 AB 所对的圆心角,求 lim

S ABC . x →0 S ABD

解:设 AB 所在圆圆心为 O,则 C,D,O 都在 AB 的中垂线上, ∴∠AOD=∠BOD=

x .设 OA=r. 2 x 1 x x S△ABC=S 四边形 AOBC-S△AOB=r2sin 2 - r2sinx=r2sin (1-cos ), 2 2 2
sin 3

x 2 x 1 S△ABD=S 四边形 AOBD-S△AOB=r2tan - r2sinx=r2 x . 2 2 cos 2 r 2 sin x x x cos (1 cos ) 2 2 = lim 2 =1. x→0 x 2 x 1 + cos r 2 sin 3 2 2 x cos 2

S ∴ lim ABC = lim x→0 S x→0 ABD

备题 1.已知 lim
x → 2

x 2 + mx + 2 = n, 求 m, n x+2

2 x 2 + mx + 2 解法一:∵ lim = n, ∴ x = 2 为方程 x + mx + 2 = 0 的一根, x → 2 x+2

得m

= 3 ,代人可得 n = 1
2

解法二:

lim( x + mx + 2) = lim ( x + 2 )
x → 2

x →2

x 2 + mx + 2 x+2

= lim( x + 2) lim
x → 2 x → 2

x 2 + mx + 2 = 0n = 0 x+2

2 ∴ ( 2) + ( 2)m + 2 = 0 m = 3 ,代人可得 n = 1


相关文档

2.11分段函数、绝对值函数Microsoft Word 文档
反比例函数2 Microsoft Word 文档
2.1-2函数的图象 Microsoft Word 文档
二次函数的运用 Microsoft Word 文档 (2)
11.1 数列极限 Microsoft Word 文档
二次函数的性质Microsoft Word 文档
2.1.3函数的解析式Microsoft Word 文档
巅峰营试题Microsoft Word 文档 (2)
2.1-1函数的概念Microsoft Word 文档
14.3.2一次函数与一元一次不等式 Microsoft Word 文档
电脑版