【高等数学习题及解答】第二章 导数与微分

第二章 导数与微分 一、用定义求导数 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) 1. 设f ?( x0 )存在,求 lim ?x ?0 2?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )? 1 解:原式 ? lim 2 ?x?0 ?x 1 ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?       ? lim ? ? ? 2 ?x?0 ? ?x ?x ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 1?       ? ?? lim ? lim ? ?x ?0 2 ? ?x?0 ? ?x ?x ? 1       ? ?? f ( x0 ) ? f ?( x0 )? ? ? f ?( x0 ) 2 ?ln(x 2 ? a 2 )   x ? 1, 2. 设f ( x) ? ? ?sin b( x ? 1)   x ? 1,    试确定常数a, b之值,使f ( x)在x ? 1处可导. 解:  1? 首先使f ( x)在x ? 1处连续,     lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (1)   , x ?1? 0 x ?1? 0       ( f (1 ? 0) ? f (1 ? 0) ? f (1)),     ? f (1 ? 0) ? 0,   f (1 ? 0) ? ln(1 ? a ),    f (1) ? 0, 2     ? ln(1 ? a 2 ) ? 0  ? 1 ? a 2 ? 1,a ? 0.   2? f ?? (1) ? f ?? (1) f ( x) ? f (1) sin b( x ? 1) ? 0  f ?? (1) ? lim ? lim x ?1? 0 x ?1? 0 x ?1 x ?1 b( x ? 1) b cosb( x ? 1)      ? lim ? b   (or lim ? b), x ?1? 0 x ? 1 x ?1? 0 1 f ( x) ? f (1) ln x 2 ? 0 f ?? (1) ? lim ? lim x ?1? 0 x ?1? 0 x ?1 x ?1 1 2 2 ln x     ? lim ? lim x ? 2, x ?1? 0 x ? 1 x ?1? 0 1   ?  b ? 2,故当a ? 0,  b ? 2时,f ( x)在x ? 1处可导  . ? ? x12 ? x ? 3   x ? 0, 3. 设f ( x) ? ? 求f ?( x). ? ?0   x ? 0,   解:当x ? 0时, f ( x) ? f (0) x ?3 ? 0   f ?(0) ? lim ? lim x ?0 x ?0 x?0 x x2 ? 1       ? lim 3 x ?0 ? 1 x2 ? 0.   若将x3 ? 1 x2 ? f ?? (0) ? ?? 改为x3 ,则? ? f ?? (0) ? 0 ? 1 x ? 1 x2   当x ? 0时   f ?( x) ? 3 ? 1 x2 ? x3 2x ln 3 ? ( 4 ) x ? 1 x2 2 ln 3       ? (1 ? )3 2 x 二、用公式、法则求导数 1. 求下列函数的导数与 微分 x    (1)  y ? log5    (0 ? x ? 1),求dy; 1? x 1 arctan dy x    (2)  y ? (sin x )e ,求 ; dx dy tan 2 x    (3)  y ? x    ( x ? 0),求 . dx 解:( 1 )y ? log5 x ? log5 (1 ? x)    dy ? d log5 x ? d log5 (1 ? x) 1 1       ? dx ? (1 ? x)?dx x ln 5 (1 ? x) ln 5 1 1       ?( ? )dx x ln 5 (1 ? x) ln 5 1       ? dx x(1 ? x) ln 5 1 1   另解: y? ? ? (?1) x ln 5 (1 ? x) ln 5 1       ? x(1 ? x) ln 5 1     ? dy ? dx x(1 ? x) ln 5 (2) y? ? cos x ? 1 2 x e 1 arctan  x ? sin xe 1 arctan  x 1 1      ? ? (? 2 ) 1 2 x 1? ( ) x 1 arctan  cos x sin x x     ?e ( ? ) 2 1? x 2 x (3)  解一: 1  y ? e ? (sec 2 x ? 2 ln x ? tan 2 x ) x tan 2 x tan 2 x 2    ? x (2 ln x ? sec 2 x ? ) x tan 2 x ln x 2 (3)  解二:  ln y ? tan 2 x ln x 1 tan 2 x 2     y? ? sec 2 x ? 2 ln x ? y x     y? ? x tan 2 x tan 2 x (2 ln x ? sec 2 x ? ) x 2 2. 设方程y ? xe ? 1确立了y ? y ( x), y dy   求  dx d y 和  2 dx x ?0 2 . x ?0 解:方程两边对 x求导,得 y y ?   y ? (e ? xe ? y?) ? 0 ey   y? ?   ,  当 x ? 0 代入原方程得 y ? 1. y 1 ? xe dy ?    ?e dx x?0 y ?1 (1 ? xe )e ? y? ? e ?

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