2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一.教学目标 了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 三.教学过程(一)概念引入 ? ? ? ? 1. 两向量的夹角与垂直: : 我们规定:已知两个非零向量 a , b ,作 OA ? a , OB ? b ,则
? ? 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 。 如 果 ?A O B? ? ,
? ? 时,表示 a 与 b 同向;当

②当a与b同向时, a ? b ? a b ;

? ? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时, a ? b ? - a b ;

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ④特别地, a ? a ? a ,或 a ? a ? a ?3? a ? b ? a b ;

(5).数量积的运算律 (1) 交换律: 四.应用提高 (2)分配率 (3)结合律

则 ? 的取值范围是

。当 时,表

? ? 时,表示 a 与 b 反向;当

? ? 示 a 与 b 垂直。记作: a ? b .在不共线的两个向量中, ? ? 90 ,即两向量垂直是一种重要的

? ? ? ? ? ? 例 1.已知 a ? 5, b ? 4, a 与 b 的夹角 ? ? 120?, 求 a ? b .

情形,把一个向量分解为_____________,叫做把向量正交分解。 2.物理背景:如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, (1)力 F 所做的功 W= 。 (2)分析这个公式有几个量, 各量的特点: F (力)是 量, S (位移)是 量, α 是 ,W(功)是 量 你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量, 其结果又该如何表述? 3.数量积的定义: (1)数量积定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角为 ? ,我们把数量___________叫做
? ? ? ? 例 2.已知 ?ABC 中, AB ? 5 , BC ? 4 , ?ABC ? 60? ,求 AB ? BC .

? ? ? ? ? ? ? ? 与 的数量积(或内积) ,记作: a ? b ,即: a ? b ? a b cos? ,其中 ? 是 a 与 b 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为 0(数) ? ? ? ? ? (2) 投影定义: b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影。你能在图中做出 b 在 a 上的投影吗?

? ? ? ? ? 练习.判断下列各题是否正确(1)若 a ? 0 ,则对任意向量 b ,有 a ? b ? 0; ( ? ? ? ? ? (2)若 a ? 0 ,则对任意非零向量 b ,有 a ? b ? 0; (
? ? ? ? ? ? (3)若 a ? 0 ,且 a ? b ? 0; 则 b ? 0
? ? ? 2 (5)对任意向量 a 有 a ? a ? a (



) )





? ? ? ? ? ? (4)若 a ? b ? 0; 则 a ? 0 或 b ? 0 (


? ? ? ? ? ? ? ? ) (6)若 a ? 0 ,且 a ? c ? a ? b , 则 b ? c. (

例 3.求证:

? ? (3).数量积 a ? b 的几何意义
______________________________________________________________. (4).数量积的性质①a ? b ? a ? b ? 0.

? ?1??a ? b? ?

2

? ? ? ? ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ,

? ? ? ?2??a ? b ??a ? b ? ? a 2 ? b 2 ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 例 4.已知.已知 a ? 6, b ? 4, a 与 b 的夹角 ? ? 60?, 求 a ? 2b ? a ? 3b 。

?

??

?

? ? ? ? ? ? 5.在 ?ABC 中, AB ? a, BC ? b , 且 a ? b ? 0, 则 ?ABC 是(
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

) 。

D.等腰三角形

? ? ? ? ? ? ? ? 例 5. 已知.已知 a ? 6, b ? 4, 且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂
直?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? b ? 1, 且 a ? b ? 3 a ? b , 求 3a ? 2b .

巩固练习

? ? ? ? ? ? 1. 若 a ? 1, b ? 2, 且 a 与 b 反向,则 a ? b ? _____.
? ? ? ? ? ? ? ? 2. 已知向量 a ? b , 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2, 则 a 与 b 的夹角为————。 ? ? ? ? ? 3. 已知 b ? 3, a 在 b 方向上的投影为 3 ,则 a ? b ? _____. 2 ? ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a 与 b ,满足 a 2 ? 9, a ? b ? ?12, 求 b 的取值范围。


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