江苏专版高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解析

问题 12 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题
一、考情分析 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面 笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分 类解析,供参考. 二、经验分享 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正 数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本 不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数 式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然 后利用基本不等式求解最值. (4)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解. (5)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (6)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围. 三、知识拓展 1.(1)若,则;(2)若,则(当且仅当时取“=”). 2.(1)若,则;(2)若,则(当且仅当时取“=”); (3)若,则(当且仅当时取“=”). 3.若,则(当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”). 4.若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”). 6.若,则(当且仅当时取“=”). 7.一个重要的不等式链:. 8. 9.函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示:
(2)函数性质:

①值域:; ②单调递增区间:;单调递减区间:. 10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的 最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”; (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”; (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 四、题型分析 (一) 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件:“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本.因为 在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取 决于定值的作用.主要有两种类型:一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式. 类型一 给出定值 【例 1】【江苏省南通市三县(通州区、海门市、启东市)2019 届高三第一学期期末】已知实数,且,则的 最小值为____ 【答案】 【解析】由于 a+b=2,且 a>b>0,则 0<b<1<a<2, 所以,, 令 t=2a﹣1∈(1,3),则 2a=t+1, 所以, 当且仅当,即当时,等号成立. 因此,的最小值为. 故答案为:. 【小试牛刀】设是正实数,且,则的最小值是__________. 【答案】. 【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值; 【解析一】 【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数. 【解析二】设, ,则, 类型二 未知定值

【例 2】已知为正实数,则的最小值为

A.

B.

C.

D.3

【答案】3

【解析】,当且仅当时取等号.

【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对

于这种没有明确定值式的求最大值(最小值)问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式.

【小试牛刀】已知函数在 R 上是单调递增函数,则的最小值是

【答案】1

【解析】 由题意的,

因为函数在上单调递增,所以满足,可得,且

所以,当且仅当时等号成立,

所以.

技巧一:凑项

【例 3】设,则的最小值是

【分析】拼凑成和为定值的形式

【解析】

(当且仅当和,即时取等号).

【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则:非正化正、非

定构定、不等作图(单调性).平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训

练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.

【小试牛刀】【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期中】设为正实数,且,则的最小值为________.

【答案】27

【解析】因为,所以

因此

当且仅当时取等号,即的最小值为 27.

技巧二:凑系数

【例 4】 当时,求的最大值.

【分析】由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定

值.注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可.

【解析】,当,即时取等号,∴当时,的最大值为 8.

【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值.

【小试牛刀】设,求函数的最大值.

【解析】∵,∴,∴,当且仅当,即时等号成立.

【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式.

技巧三: 分离

【例 5】 求的值域.

【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离.

【解析一】,当,即时,(当且仅当时取“=”号).

【小试牛刀】已知 a,b 都是负实数,则的最小值是

【答案】2(﹣1)

【解析】



技巧四:换元
1 【例 6】已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求 y=ab 的最小值.
【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性

或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既

有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进

行.

30-2b

30-2b

-2 b 2+30b

【解法一】由已知得 a= b+1 ,ab= b+1 ·b= b+1 .∵a>0,∴0<b<15.令 t=b+1,则

-2t 2+34t-31

16

16

16

1

1<t<16,∴ab=

t

=-2(t+ t )+34.∵t+ t ≥2 t· t =8,∴ab≤18,∴y≥18 ,

当且仅当 t=4,即 a=6,b=3 时,等号成立.

【解法二】由已知得:30-ab=a+2b.∵a+2b≥2 2 ab ,∴30-ab≥2 2 ab .令 u= ab ,则 1
u2+2 2 u-30≤0,-5 2 ≤u≤3 2 ,∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥18 . 【点评】①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键

是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.

【小试牛刀】设正实数满足,则的取值范围为

【答案】

【解析】因为,所以
设,所以 当时,上式取得最大值 当时,上式取得最小值 所以的取值范围为 【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用 在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和 与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解. 技巧五:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错. 【例 7】已知,且,求的最小值. 【错解】,且,,故. 【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是,即,取等号的条件的不一致,产 生错误.因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有 误的一种方法. 【正解】, ,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,. 【小试牛刀】【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】已知正实数满足,则的最小值为____. 【答案】 【解析】正实数 x,y 满足 1, 则:x+y=xy, 则: 4x+3y, 则: 437+4, 故的最小值为. 故答案为:. 技巧六:取平方 【例 8】已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 【解析】W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y) =20,∴W≤ 20 =2 5 .

【小试牛刀】求函数的最大值.

【解析】注意到与的和为定值.

,又, ,当且仅当 =,即时取等号,故.

【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件.

技巧七:构造

要求一个目标函数的最值,我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式(一般为二次不等式),解之即

可得的最值.

【例 9】设为实数,若,则的最大值是



【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式,再求的最大值.

【答案】.

【解析】,可解得的最大值为.

【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中

的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式.

【小试牛刀】若正实数, ,满足,则的最大值为

【分析】构成关于的不等式,通过解不等式求最值

【解析】由,得.即,

.计算得出:.的最大值是.

技巧八:添加参数

【例 10】若已知,则的最小值为



【解析】时可取得函数的最小值,此时,此时,最小值为.

【小试牛刀】设是不全为零的实数,求的最大值.

【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数满足:

故依据取等号的条件得, ,参数就是我们要求的最大值.消去我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所

求的最大值,得到.

【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据

是等号成立的条件,目的就是为了取得最值.

【小试牛刀】设是正实数,求的最小值.

【解析】引进参数,使之满足,依据取等号的条件,有:,故的最小值 4.

综上所述,应用均值不等式求最值要注意:

一要“正”:各项或各因式必须为正数;二可“定”:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和

为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错;三能

“等”:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值.

(二) 基本不等式与恒成立问题

【例 11】已知>0, >0,且,若恒成立,则实数的取值范围是



【分析】先求左边式子的最小值

【解析】∵, ,且,∴,当且仅当,即时取等号,又,∴, ,∴,要使恒成立,只需,即,解得,故答案为.

【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件(如恒大于等),此时,函数中的参数成为限制了这一可

能性(就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件),因此,适当的分离参数能简化解题

过程.例:要使函数恒大于,就必须对进行限制--令,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分

离参数的话做题较简单.

【小试牛刀】若对任意的正实数恒成立,求的最小值.

【解析】对任意的正实数恒成立,∴对任意的正实数恒成立.

设,由取等号条件:,消去,可以得到:,解得:,因此的最小值为.

题型二 基本不等式的实际应用

【例 12】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不足

1

10 000

80 千件时,C(x)=3x2+10x(万元).当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ x -1 450(万元).每件

商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;

(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

【解析】(1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元,依题意得:当 0<x<80

时,
1 L(x)=1 000x×0.05-(3x2+10x)-250
1 =-3x2+40x-250;
当 x≥80 时,
10 000 L(x)=1 000x×0.05-(51x+ x -1 450)-250
10 000 =1 200-(x+ x ).

?? 1 -3x2+40x-

x

? ∴L(x)=

10 000

??1 200- x+ x

, x

1 (2)当 0<x<80 时,L(x)=-3(x-60)2+950. 对称轴为 x=60,
即当 x=60 时,L(x)最大=950(万元); 10 000
当 x≥80 时,L(x)=1 200-(x+ x ) ≤1 200-2 10 000=1 000(万元), 当且仅当 x=100 时,L(x)最大=1 000(万元),
综上所述,当年产量为 100 千件时,年获利润最大.

【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.

(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【牛刀小试】 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时 x
间为8天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,
每批应生产产品________件.

【答案】80

【解析】设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得

800 x y= x +8≥2

800 x x ·8=20.

800 x 当且仅当 x =8(x>0),即 x=80 时“=”成立.

y

25

(2)年平均利润为x=-x- x +18

25 =-(x+ x )+18,

25

25

∵x+ x ≥2 x· x =10,

y

25

∴x=18-(x+ x )≤18-10=8,

25 当且仅当 x= x ,即 x=5 时,取等号.

五、迁移运用 1.【江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究,中国早在商朝 时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例,而西方直到公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯才 提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于 5,那么这个直角三角形面积的最大值等于 ______. 【答案】 【解析】设直角三角形的斜边为 c,直角边分别为 a,b, 由题意知, 则, 则三角形的面积, , , 则三角形的面积,当且仅当 a=b=取等 即这个直角三角形面积的最大值等于, 故答案为:. 2.【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次(2 月)模拟】在平面四边形中,,则的最 小值为_____. 【答案】 【解析】如图,以 A 为原点,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),
因为 DA=DB,可设 D(,m), 因为,AB=1,由数量积的几何意义知在方向的投影为 3, ∴可设 C(3,n), 又所以,,即 , ==, 当且仅当,即 n=1,m=时,取等号, 故答案为. 3.【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知正数满足,则的最小值为________.

【答案】4 【解析】由基本不等式可得, 所以, 当且仅当,即当 y=x2 时,等号成立, 因此,的最小值为 4, 故答案为:4. 4.【江苏省扬州市 2018-2019 学年度第一学期期末】已知正实数 x,y 满足,若恒成立,则实数 m 的取值范 围为_______. 【答案】 【解析】由于 x+4y﹣xy=0,即 x+4y=xy,等式两边同时除以 xy 得,, 由基本不等式可得, 当且仅当,即当 x=2y=6 时,等号成立, 所以,x+y 的最小值为 9. 因此,m≤9. 故答案为:m≤9. 5.【江苏省徐州市(苏北三市(徐州、淮安、连云港))2019 届高三年级第一次质量检测】已知,,且,则的 最大值为_________. 【答案】 【解析】化为,即, 解得:,所以,的最大值为。 故答案为: 6.【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中,已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C,则的 最小值为___. 【答案】 【解析】由正弦定理,得:, 如图,作 BD⊥AC 于 D,设 AD=x,CD=y,BD=h, 因为,所以,,化简,得: ,解得:x=3y

,,, == ==,当且仅当时取得最小值. 故答案为:. 7.【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】设函数 (,).若不等式对一切恒成立,则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】由题可得:, 不等式对一切恒成立,可化为:对一切恒成立,
所以,又,解得:, 不等式对一切恒成立化为: 对一切恒成立, 所以:恒成立。 所以=,当且仅当,时等号成立。 8.【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】已知,,,则的最小值为_______. 【答案】3 【解析】因为,, 所以=
9.【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】若正实数、、满足,,则的最大值为________. 【答案】 【解析】由,,解得, ,,,
10.【江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研(三)】已知,若,满足,且,则的最小值为_______. 【答案】 【解析】由,且,,所以,即,所以,得,所以,当且仅当,即时,等号成立,综上,的最小值为 11.【2018 年江苏高考试卷】在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点 D,且,则的最小值为________. 【答案】9

【解析】由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此 当且仅当时取等号,则的最小值为. 12.【江苏省南京市 2018 届高三第三次模拟】若正数成等差数列,则的最小值为_________. 【答案】 【解析】因为正数 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c. 所以 令 5a+c=x,2a+c=y,则 所以 当且仅当时取等号. 故答案为: 13.【江苏省苏锡常镇四市 2017-2018 学年度高三教学情况调研】已知为正实数,且,则的最小值为____. 【答案】. 【解析】由题得, 代入已知得, 两边除以得 当且仅当 ab=1 时取等. 所以 即的最小值为. 故答案为: 14.【江苏省无锡市 2018 届高三第一学期期末检测】已知双曲线与椭圆的焦点重合,离心率互为倒数,设 分别为双曲线的左,右焦点,为右支上任意一点,则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】由已知,, ; 又双曲线与椭圆焦点重合,离心率互为倒数, ,则双曲线; 在右支上,根据双曲 线的定义有 , ,故的最小值为. 15.【江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研】已知 a,b,c 均为正数,且 abc=4(a+b),则 a+b+c 的 最小值为_______. 【答案】8

【解析】
16.【江苏省南通、徐州、扬州等六市 2018 届二模】已知均为正数,且,则的最小值为____. 【答案】8 【解析】∵均为正数,且 ∴ ∴,当且仅当,时取等号 ∴的最小值为 故答案为. 17.【江苏省扬州市 2017-2018 学年度第一学期期末】已知正实数,满足,则的最小值为__________. 【答案】 【解析】令,则:,即, 则:,据此有:, 综上可得:
当且仅当时等号成立. 综上可得:的最小值为. 17.【江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟】已知,求证. 【解析】证明:证法一 因为 a>0,b>0,a+b=1,
所以()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+≥5+2=9. 而 (2a+1)+(2b+1)=4,所以. 证法二 因为 a>0,b>0,由柯西不等式得 ()[(2a+1)+(2b+1)]≥(+)2=(1+2)2=9. 由 a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4, 所以. 18.【江苏省南通市 2018 届高三上学期第一次调研】已知,,求的最小值. 【答案】8 【解析】试题解析:因为,,

所以,. 两式相加: , 所以. 当且仅当且时“”成立. 即时,取得最小值. 19.【山东省德州市 2018 届高三上学期期中】水培植物需要一种植物专用营养液,已知每投放(且)个单 位的营养液,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中,若多次投放, 则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中营养 液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能有效. (1)若只投放一次 2 个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天? (2)若先投放 2 个单位的营养液,3 天后再投放个单位的营养液,要使接下来的 2 天中,营养液能够持续 有效,试求的最小值. 【答案】(1) 3 天;(2). 【解析】 (1)营养液有效则需满足, 则或, 即为或, 解得, 所以营养液有效时间最多可达 3 天; (2)解法一:设第二次投放营养液的持续时间为天, 则此时第一次投放营养液的持续时间为天,且; 设为第一次投放营养液的浓度,为第二次投放营养液的浓度,为水中的营养液的浓度; ∴, , 由题意得在上恒成立, ∴在上恒成立, 令,则, 又, 当且仅当,即时等号成立;

因为 所以的最小值为. 答:要使接下来的 2 天中,营养液能够持续有效,的最小值为. 解法二:设两次投放营养液后的持续时间为天, 则第一次投放营养液的持续时间为天, 第二次投放营养液的持续时间为天,且, 设为第一次投放营养液的浓度,为第二次投放营养液的浓度,为水中的营养液的浓度; ∴,

由题意得在上恒成立

∴在上恒成立



又,

当且仅当即时等号成立;

因,

所以的最小值为.

答:要使接下来的 2 天中,营养液能够持续有效,的最小值为.

20.【江苏省南京市 2018 届高三数学上学期期初】某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务,

每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型

装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有 x 人,他们加工完甲型装置

所需时间为 t1 小时,其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2 小时. 设 f(x)=t1+t2. (Ⅰ)求 f(x)的解析式,并写出其定义域;

(Ⅱ)当 x 等于多少时,f(x)取得最小值?

【答案】(1) 定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}(2)当 x=75 时,f(x)取得最小值.

【解析】(1)因为

所以

定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}.

(2)f(x)==,

因为 1≤x≤99,x∈N*,所以>0,>0,

所以≥2=6, 当且仅当=,即当 x=75 时取等号. 答:当 x=75 时,f(x)取得最小值.


相关文档

江苏专版高三数学备考冲刺140分问题04函数与方程不等式相结合问题含解析
江苏专版高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题含解析
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_12
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_26
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_47
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_24
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_80
高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习总结:专题一-函数与导数、不等式_77
备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题31应用基本不等式求最值的求解策略Word版含解析
2019-2020学年高三数学一轮复习 微专题 线性规划与基本不等式 第2节 求线性目标函数的最值试题.doc
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科