(江苏专版)高考数学总复习 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理(新版)苏教版必修1

固 基 础 · 自 主 落 实 第三节 函数的奇偶性与周期性 启 智 慧 · 高 考 研 析 提 知 能 · 典 例 探 究 课 后 限 时 自 测 内容 函数 的基 本性 质 要求 A B C 考纲传真 √ 1.函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域 A 内任意一个 x 定义 都有 f(-x)=-f(x) , 那么 都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于原点 对称 f(x)是偶函数 关于 y轴 对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同 的单调性;偶 函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. (2)如果奇函数 f(x)在原点有意义,则 f(0)= 0 ;如果函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数,则有 f(x)=0 . (3)奇函数的图象关于原点 对称,偶函数的图象关于 y轴 对称. 3.周期函数 若 f(x)对于定义域中任意 x 均有 f(x+T)=f(x) (T 为不等于 0 的 常数),则 f(x)为周期函数. 若 T 是函数 y=f(x)的一个周期, 则 nT(n∈N, 且 n≠0)也是 f(x) 的周期. 1.(夯基释疑)判断下列结论的正误. (正确的打“√”,错误的打 “×”) (1)函数 y=x3,x∈(0,+∞)是奇函数.( ) ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( 2 1 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +x ,则 f(-1)=- 2.( ) (4)函数 f(x)在定义域 R 上满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期为 2a(a>0) 的周期函数.( ) [解析] 错误. (1)由于定义域不关于原点对称,故不是奇函数, (1) (2)奇函数只有当 x=0 有意义时,图象过原点,(2)错误. (3)f(-1)=-f(1)=-f(1+1)=-2,(3)正确. (4)由 f(x+a)=-f(x)可知 f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),即 f(x)的 周期为 2a,(4)正确. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改编题)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶 函数,那么 a+b 的值是________. [解析] 依题意 b=0,且 2a=-(a-1), 1 1 ∴b=0 且 a=3,则 a+b=3. [答案] 1 3 3.(2014· 湖南高考改编)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶 函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=________. [解析] ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1, ∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1. ∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1. [答案] 1 4.定义域为 R 的四个函数:①y=x3,②y=2x,③y=x2+1, ④y=2sin x 中,是奇函数的为________(填序号). [解析] 这四个函数的定义域都是 R.y=x3 和 y=2sin x 都是奇 函数.y=x2+1 是偶函数.因为 2 x≠-2x,2 x≠2x,所以 y=2x 既 - - 不是奇函数也不是偶函数. [答案] ①② 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8) 的值为________. [解析] ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(8)=f(0). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(8)=f(0)=0. [答案] 0 考向 1 【典例 1】 函数奇偶性的判断及应用 (1)(2014· 广东高考改编)下列函数为奇函数的是 ________.(填序号) 1 ①2 -2x;②x3sin x;③2cos x+1;④x2+2x. x (2)判断函数 3 2 ? ?x -3x +1 f(x)=? 3 2 ? ?x +3x -1 x>0 的奇偶性. x<0 2x-a (3)已知函数 f(x)= x 在其定义域上为奇函数,求 a 的值. 2 +a [解析] (1)设函数为 f(x),则④中 f(-x)=x2+2 x≠± f(x),为 - 非奇非偶函数; ③中 f(-x)=2cos x+1=f(x)为偶函数; ②中 f(-x)=x3sin x=f(x)为偶函数; 1 1 ①中 f(-x)=2 - -x=2x-2x=-f(x)为奇函数,故选①. 2 -x [答案] ① (2)函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1 =-(x3-3x2+1)=-f(x). 当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1 =-(x3+3x2-1)=-f(x). 综上可知, 当 x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, 都有 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. 2 x-a 2x-a (3)由 f(-x)=-f(x),得 -x =- x . 2 +a 2 +a - 1 x - 2 a-2x a 于是1 = x, a + 2 x + 2 a 1 ∴a=a, ∴a=± 1. 【规律方法】 1.判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对 称;在定义域关于原点对称的条件下,再化简解析式,根据 f(-x) 与 f(x)的关系作出判断,对于分段函数,应分情况判断. 2.给出了函数奇偶性.就等于给出了 f(x)与 f(-x)之

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