2018一轮北师大版理数学教案:第3章 第4节 函数y=Asinωxφ的图像及三角函数模型的简单应用 含解析 精品

第四节 函数 y=Asinωx+φ 的图像及三角 函数模型的简单应用 [考纲传真] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义; 能画出 y=Asin(ωx+φ) 的图像,了解参数 A,ω,φ 对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期 变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 1.y=Asin (ωx+φ)的有关概念 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω>0,x≥0) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f=T=2π 相位 ωx+φ 初相 φ 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下 表所示 x φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3 2π-φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 3.由 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图像 先平移后伸缩 ? 先伸缩后平移 ? 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移 的单位长度一致.( ) π (2) 将 y = 3sin 2x 的 图 像 左 移 4 个 单 位 后 所 得 图 像 的 解 析 式 是 y = π? ? 3sin?2x+4?.( ? ? ) (3) 函数 f(x) = Asin(ωx + φ) 的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周 期.( ) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T, 那么函数图像的两个相邻对称中 T 心之间的距离为2.( [答案] (1)× ) (2)× (3)× (4)√ ? π? 2.(2016· 四川高考)为了得到函数 y=sin?x+3?的图像,只需把函数 y=sin x ? ? 的图像上所有的点( ) π A.向左平行移动3个单位长度 π B.向右平行移动3个单位长度 π C.向上平行移动3个单位长度 π D.向下平行移动3个单位长度 π A [把函数 y=sin x 的图像上所有的点向左平行移动3个单位长度就得到函 ? π? 数 y=sin?x+3?的图像.] ? ? 3.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图 341,则 ω=( ) 【导学号:57962155】 图 341 A.5 B B.4 C.3 D.2 T π π π 2π [由图像可知,2 =x0+4-x0=4,所以 T=2= ω ,所以 ω=4.] π 4.将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数 的图像,则 φ 的一个可能取值为( ) 【导学号:57962156】 3π A. 4 B π B.4 C.0 π D.-4 π [把函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移8个单位后得到函数的解析 π? ? φ π? ? 式为:y=sin 2?x+2 +8?=sin?2x+φ+4?.又因它为偶函数,则 φ 的一个可能取值 ? ? ? ? π 是 .] 4 5.(教材改编)电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)变化的函数关系式是 I= π? ? 5sin?100πt+3?,t∈[0,+∞),则电流 I 变化的初相、周期分别是________. ? ? π 1 3, 50 π 2π 1 [由初相和周期的定义, 得电流 I 变化的初相是3, 周期 T=100π=50.] 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 ?1 π? 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像? [解] (1)列表取值: x 1 π 2x-4 f(x) π 2 0 0 3 2π π 2 3 5 2π π 0 7 2π 3 2π -3 9 2π 2π 0 5分 描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图. π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移4个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原 来的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像. 12 分 [规律方法] 1.变换法作图像的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩 φ? ? 后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω?确定平移单位. ? ? π 2.用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0,2, 3 π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,描点得出图像.如果在限定的区间内作 图像,还应注意端点的确定. [变式训练 1] π? 1 ? (1)(2016· 全国卷Ⅰ)将函数 y=2sin?2x+6?的图像向右平移4个 ? ? ) 【导学号:57962157】 π? ? A.y=2sin?2x+4? ? ? π? ? C.y=2sin?2x-4? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+3? ? ? π? ? D.y=2sin?2x-3? ? ? 周期后,所得图像对应的函数为( (2)(2016· 全国卷Ⅲ)函数 y=sin x- 3cos x 的图像可由函数 y=sin x+ 3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到. π? π? 2π ? ? (1)D (2) 3 [(1)函数 y=2sin?2x+6?的周期为 π,将函数 y=2sin?2x+6?的 ? ? ? ? 1 π 图像向右平移4个周期即4个单位长度,所得图像对应的函数为 y= π? ? ? π? π? ? x-4?+ ?=2sin?2x- ?,故选 D. 2sin?2? 3? ? 6? ? ? ? ? π? ? π? (2)因为 y=sin x+ 3cos x=2sin?x

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