人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章-2.3.1

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理 并能灵活应用定理证明直线与平面垂直.3.知道斜线在平面上的射影的概念,斜线与平面 所成角的概念. 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面 α 内的 ________________直线都 ________,就说直线 l 与 平面 α 互相垂直,记作 ________.直线 l 叫做平面 α 的 ________,平面 α 叫做直线 l 的 ________. (2)判定定理 文字表述:一条直线与一个平面内的________________________都垂直,则该直线与 此平面垂直. 符号表述:Error!?l⊥α. 2.直线与平面所成的角 (1) 定义:平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________,叫做这条直线和这 个平面所成的角. 如图所示,________就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. (2)当直线 AP 与平面垂直时,它们所成的角的度数是 90°; 当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是________; 线面角 θ 的范围:________. 一、选择题 1.下列命题中正确的个数是(  ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是(  ) A.a⊥β B.a∥β C.a?β D.a?β 或 a∥β 3.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是(  ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P? α, PB⊥ α, C 是平面 α 内异于 A (  ) 和 B 的 动 点 , 且 PC⊥ AC, 则 △ ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜 线与平面成等角,有如下命题: ①△ABC 是正三角形;②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心;④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________. 8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满足条件________时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若 ∠B1MN 是直角,则∠C1MN=________. 三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB. 11.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面, E、F 分别是 AB,PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD. 能力提升 12.如图所示,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, P 为 DD1 的中点, O 为 ABCD 的中 心,求证 B1O⊥平面 PAC. 13.如图所示,△ ABC 中,∠ ABC= 90°, SA⊥平面 ABC,过点 A 向 SC 和 SB 引垂 线,垂足分别是 P、Q,求证:(1)AQ⊥平面 SBC; (2)PQ⊥SC. 1.运用化归思想,将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判 定,而同时还由此得到直线与直线垂直.即“线线垂直?线面垂直” . 2.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论: ①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α; ②若 α∥β,a⊥α,则 a⊥β. 3.线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是 90°. (2)线面垂直,则线线垂直. §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 答案 知识梳理 1.(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 (2)两条相交直线 a?α b?α a∩b=A 2.(1)射影 锐角 ∠PAO (2)0° [0°,90°] 作业设计 1.B [只有④正确.] 2.D 3.C [取 BD 中点 O,连接 AO,CO, 则 BD⊥AO,BD⊥CO, ∴BD⊥面 AOC,BD⊥AC, 又 BD、AC 异面,∴选 C.] 4.B [易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC.] 5.A [Error!?Error! ?BC⊥平面 PAC?BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.] 6.A [PO⊥面 ABC. 则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO 全等, OA=OB=OC, O 为△ABC 外心. 只有③正确.] 7.(1)45° (2)30° (3)90° 解析  (1)由线面角定义知∠A1BA 为 A1B 与平面 AB

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