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高三理科数学复习教案:三角函数总复习教学案
【】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目,教案逻 辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。 因此小编在此为您编辑了此文:高三理科数学复习教案:三 角函数总复习教学案希望能为您的提供到帮助。 本文题目:高三理科数学复习教案:三角函数总复习教学案 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念,能进行弧度与角度的 互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ,的正弦、余弦、 正切的诱导公式,能画出 y=sin x, y=cos x , y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2]上的性质(如单调性、最 大值和最小值、图象与 x 轴的交点等),理解正切函数在(- , ) 上的单调性. 5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1 , =tan x. 6.了解函数 y=Asin(x+)的物理意义,能画出函数 y=Asin(x+) 的图象,了解参数 A,,对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描
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述周期变化现象的重要函数模型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,会用两角差 的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角 的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用上 述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式,但不要求记忆). 9.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度 量问题,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题. 本章重点:1.角的推 广,三角函数的定义,诱导公式的运用;2.三角函数的图象 与性质,y=Asin(x+) (0)的性质、图象及变换;3.用三角函数模型解决实际问题;4. 以和、差、倍角公式为依据,提高推理、运算能力;5.正、 余弦定理及应用. 本章难点:1.任意角的三角函数的几何表示,图象变换与函 数解析式变换的内在联系;2.灵活运用三角公式化简、求值、 证明; 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断,最值的求法;4. 探索两角差的余弦公式;5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数,是描述周期现象的重要数学模型. 三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之 一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解;运用函数公 式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质
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以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他 知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系,考查考生的 数学应用意识,体现以能力立意的高考命题原则. 知识网络 5.1 任意角的三角函数的概念 典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若是第二象限角,试分别确定 2、 的终边所在的象 限. 【解析】因为是第二象限角, 所以 k 360+90 因为 2k 360+18022k 360+360(kZ),故 2 是第三或第四象限 角,或角的终边在 y 轴的负半轴上. 因为 k 180+452 当 k=2n(nZ)时,n 360+452 当 k=2n+1(nZ)时,n 360+2252 所以 2 是第一或第三象限角 . 【点拨】已知角所在象限,应熟练地确定 2 所在象限. 如果用 1、2、3、4 分别表示第一、二、三、四象限角,则 12、22、32、42 分布如图,即第一象限角的半角是第一或第 三 象限角(其余略),熟记右图,解有关问题就方便多了. 【变式训练 1】若角 2 的终边在 x 轴上方,那么角是()
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A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意 2k22k,kZ, 得k 当 k 是奇数时,是第三象限角. 当 k 是偶数时,是第一象限角.故选 C. 题型二 弧长公式,面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是,所在圆的半径是 R. (1)若=60,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C0),当为多少弧度时,该扇形 的面积有最大值?并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, 因为=603,R=10 cm,所以 l=103 cm, S 弓=S 扇-S=1210103-12102sin 60=50(3-32) cm2. (2)因为 C=2R+l=2R+R,所以 R=C2+, S 扇=12R2=12(C2+)2=C22 2+4+4=C22 1+4+4C216, 当且仅当=4 时,即=2(=-2 舍去)时,扇形的面积有最大值为 C216. 【点拨】用弧长公式 l= || R 与扇形面积公式 S=12lR=12R2|| 时,的单位必须是弧度. 【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S,当圆心角为多
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少弧度时,该扇形的周长 C 有最小值?并求出最小值. 【解析】因为 S=12Rl,所以 Rl=2S, 所以周长 C=l+2R22Rl=24S=4S, 当且仅当 l=2R 时,C=4S, 所以当=lR=2 时,周长 C 有最小值 4S. 题型三 三角函数的定义,三角函数线的应用 【例 3】(1)已知角的终边与函数 y=2x 的图象重合,求 sin (2) 求满足 sin x32 的角 x 的集合. 【解析】(1)由 交点为(-55,-255)或(55,255 ), 所以 sin =255. (2)①找终边:在 y 轴正半轴上找出点(0,32),过该点作平 行于 x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、P2 两点,连接 OP1、 OP2,则为角 x 的终边,并写出对应的角. ②画区域:画出角 x 的终边所在位置的阴影部分. ③写集合:所求角 x 的集合是{x|2k32k3,kZ}. 【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义 的,因此,用定义求值,转化为求交点的问题.利用三角函 数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练 3】函数 y=lg sin x+cos x-12 的定义域为. 【解析】 所以函数的定义域为{x|2k 总结提高
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1.确定一个角的象限位置,不仅要看角的三角函数值的符 号,还要考虑它的函数值的大小. 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致,防止出现 诸如 k3603 的错误书写. 3.三角函数线具有较好的几何直观性,是研究和理解三角函 数的一把钥匙. 5.2 同角三角函数的关系、诱导公式 典例精析 题型一 三角函数式的化简问题 【点拨】运用诱导公式的关键是符号,前提是将视为锐角后, 再判断所求角的象限. 【变式训练 1】已知 f(x)=1-x,4,),则 f(sin 2)+f(-sin 2)=. 【解析】f(sin 2)+f(-sin 2)=1-sin 2+1+sin 2=(sin -cos )2+(sin +cos )2=|sin -cos |+|sin +cos |. 因为 4,),所以 sin -cos 0,sin +cos 0. 所以|sin -cos |+|sin +cos |=sin -cos -sin -cos =-2cos . 题型二 三角函数式的求值问题 【例 2】已知向量 a=(sin ,cos -2sin ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan 的值; (2)若|a|=|b|,0,求 的值. 【解析】(1)因为 a∥b,所以 2sin =cos -2sin , 于是 4sin =cos ,故 tan =14.
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(2)由|a|=|b|知,sin2+(cos -2sin )2=5, 所以 1-2sin 2+4sin2=5. 从而-2sin 2+2(1-cos 2)=4,即 sin 2+cos 2=-1, 于是 sin(24)=-22. 又由 0 知,244, 所以 24=54 或 24=74. 因此 2 或=34. 【变式训练 2】已知 tan =12,则 2sin cos +cos2 等于() A.45 B.85 C.65 D.2 【解析】原式=2sin cos +cos2sin2+cos2=2tan +11+tan2=85. 故选 B. 题型三 三角函数式的简单应用问题 【例 3】已知-2 (1)sin x-cos x 的值; (2)sin3(2-x)+cos3(2+x)的值. 【解析】(1)由已知得 2sin xcos x=-2425,且 sin x0 所以 sin x-cos x=-(sin x-cos x)2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75. (2)sin3(2-x)+cos3(2+x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x) =75(1-1225)=91125. 【点拨】求形如 sin xcos x 的值,一般先平方后利用基本
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关系式,再求 sin xcos x 取值符号. 【变式训练 3】化简 1-cos4-sin41-cos6-sin6. 【解析】原式 =1-[(cos2+sin2)2-2sin2cos2]1-[(cos2+sin2)(cos4+sin4 -sin2cos2)] =2sin2cos21-[(cos2+sin2)2-3sin2cos2]=23. 总结提高 1.对于同角三角函数基本关系式中同角的含义,只要是同一 个角,那么基本关系式就成立,如:sin2(-2)+cos2(-2)=1 是恒成立的. 2.诱导公式的重要作用在于:它揭示了终边在不同象限且具 有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系,从而可化负 为正,化复杂为简单. 5.3 两角和与差、二倍角的三角函数 典例精析 题型一 三角函数式的化简 【例 1】化简 (0). 【解析】因为 0,所以 022, 所以原式= = =-cos . 【点拨】先从角度统一入手,将化成 2,然后再观察结构特 征,如此题中 sin22-cos22=-cos .
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【变式训练 1】化简 2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x). 【解析】原式 =12(2cos2x-1)22tan(4-x)cos2(4-x)=cos22x4cos(4-x)sin (4-x)=cos22x2sin(2-2x)=12cos 2x. 题型二 三角函数式的求值 【例 2】已知 sin x2-2cos x2=0. (1)求 tan x 的值; (2)求 cos 2x2cos(4+x)sin x 的值. 【解析】(1)由 sin x2-2cos x2=0tan x2=2,所以 tan x= =221-22=-43. (2)原式=cos2x-sin2x2(22cos x-22sin x)sin x =(cos x-sin x)(cos x+sin x)(cos x-sin x)sin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=(-34)+1=14. 【变式训练 2】2cos 5-sin 25sin 65= . 【解析】原式=2cos(30-25)-sin 25cos 25=3cos 25cos 25=3. 题型三 已知三角函数值求解 【例 3】已知 tan(-)=12,tan =-17,且,(0,),求 2-的值. 【解析】因为 tan 2(-)=2tan(-)1-tan2(-)=43, 所以 tan(2-)=tan[2(-)+]=tan2(-)+tan 1-tan 2(-)tan =1, 又 tan =tan[(-)+]=tan(-)+tan 1-tan(-)tan =13, 因为(0,),所以 04, 又,所以-2-0,所以 2-=-34.
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【点拨】由三角函数值求角时,要注意角度范围,有时要根 据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小. 【变式训练 3】若与是两锐角,且 sin(+)=2sin ,则与的大 小关系是() A.= B. C. D.以上都有可能 【解析】方法一:因为 2sin =sin(+1,所以 sin 12,又是 锐角,所以 30. 又当=30,=60 时符合题意,故选 B. 方法二:因为 2sin =sin(+)=sin cos +cos sin 所以 sin 又因为、是锐角,所以,故选 B. 总结提高 1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数 恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型:求值题,化简题,证明题; (2)对公式会正用、逆用、变形使用 (3)掌握角的演变规律,如 2=(+)+(-)等. 2.通过运用公式,实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、 和与差、函数名称的转化,以达到求解的目的,在运用公式 时,注意公式成立的条件. 5.4 三角恒等变换
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典例精析 题型一 三角函数的求值 【例 1】已知 04,04,3sin =sin(2+),4tan 2=1-tan22, 求+的值. 【解析】由 4tan 2=1-tan22,得 tan = =12. 由 3sin =sin(2+)得 3sin[(+)-]=sin[(+)+], 所以 3sin(+)cos -3cos(+)sin =sin(+)cos +cos(+)sin , 即 2sin(+)cos =4cos(+)sin ,所以 tan(+)=2 tan =1. 又因为、(0,4),所以+4. 【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换, 要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突 破口与方向. 【变式训练 1】如果 tan(+)=35,tan(4)=14,那么 tan(4) 等于() A.1318 B.1322 C.723 D.318 【解析】因为 4=(+)-(4), 所以 tan(4)=tan[(+)-(4)]=tan(+)-tan(4)1+tan(+)tan(4)=723 . 故选 C. 题型二 等式的证明 【例 2】求证:sin sin =sin(2+)sin -2co s(+).
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【证明】证法一: 右边=sin [(+)+]-2cos(+)sin sin =sin(+)cos -cos(+)sin sin =sin [(+)-]sin =sin sin =左边. 证法二:sin(2+)sin -sin sin =sin(2+)-sin sin =2cos(+)sin sin =2cos(+), 所以 sin(2+)sin -2cos(+)=sin sin . 【点拨】证法一将 2+写成(+)+,使右端的角形式上一致,易 于共同运算;证法二把握结构特征,用变更问题法证明,简 捷而新颖. 【变式训练 2】已知 5sin =3sin(-2),求证:tan(-)+4tan =0. 【证明】因为 5sin =3sin(-2),所以 5sin[(-)+]=3sin[(-)-], 所以 5sin(-)cos +5cos(-)sin =3sin(-)cos -3cos(-)sin , 所以 2sin(-)cos +8cos(-)sin =0. 即 tan(-)+4tan =0. 题型三 三角恒等变换的应用 【例 3】已知△ABC 是非直角三角形. (1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; (2)若 AB 且 tan A=-2tan B,求证:tan C=sin 2B3-cos 2B; (3)在(2)的条件下,求 tan C 的最大值. 【解析】(1)因为 C=-(A+B),
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所以 tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B, 所以 tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B, 即 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (2)由(1)知 tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B= =sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B. (3)由(2)知 tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B122=24, 当且仅当 2tan B=1tan B,即 tan B=22 时,等号成立. 所以 tan C 的最大值为 24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角 形有关的问题,要有较明确的目标意识. 【变式训练 3】在△ABC 中,tan B+tan C+3tan Btan C=3, 3tan A+3tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC 的形状. 【解析】由已知得 tan B+tan C=3(1-tan Btan C), 3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B), 即 tan B+tan C1-tan Btan C=3,tan A+tan B1-tan Atan B=-33. 所以 tan(B+C)=3,tan(A+B)=-33. 因为 0 又 A+B+C=,故 A=23,B=C=6. 所以△ABC 是顶角为 23 的等腰三角形. 总结提高
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三角恒等式的证明,一般考虑三个统一:①统一角度,即化 为同一个角的三角函数;②统一名称,即化为同一种三角函 数;③统一结构形式. 5.5 三角函数的图象和性质 典例精析 题型一 三角函数的周期性与奇偶性 【例 1】已知函数 f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)令 g(x)=f(x+3),判断 g(x)的奇偶性. 【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+3), 所以 f(x)的最小正周期 T=2. (2)g(x)=f(x+3)=2sin[12(x+3]=2sin(x2+2)=2cos x2. 所以 g(x)为偶函数. 【点拨】解决三角函数的有关性质问题,常常要化简三角函 数. 【变式训练 1】函数 y=sin2x+sin xcos x 的最小正周期 T 等 于() A.2 C.3 【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12 =22sin(2x-4)+12,所以 T=2.故选 B. 题型二 求函数的值域
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【例 2】求下列函数的值域: (1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x; (2)f(x)=2cos(3+x)+2cos x. 【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x =2(cos x+12)2-12, 当 cos x=1 时,f(x)max=4,但 cos x1,所以 f(x)4, 当 cos x=-12 时,f(x)min=-12,所以函数的值域为[-12, 4). (2)f(x)=2(cos 3cos x-sin 3sin x)+2cos x =3cos x-3sin x=23cos(x+6), 所以函数的值域为[-23,23]. 【点拨】求函数的值域是一个难点,分析函数式的特点,具 体问题具体分析,是突破这一难点的关键. 【变式训练 2】求 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 【解析】令 t=sin x+cos x,则有 t2=1+2sin xcos x,即 sin xcos x=t2-12. 所以 y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1. 又 t=sin x+cos x=2sin(x+4),所以-22. 故 y=f(t)=12(t+1)2-1(-22), 从而 f(-1)f(2),即-12+12. 所以函数的值域为[-1,2+12].
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题型三 三角函数的单调 性 【例 3】已知函数 f(x)=sin(x+0,|)的部分图象如图所示. (1)求, (2)设 g(x)=f(x)f(x-4),求函数 g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由图可知,T=4(4)=,=2T=2. 又由 f(2)=1 知,sin()=1,又 f(0)=-1,所以 sin =-1. 因为|,所以 2. (2)f(x)=sin(2x-2)=-cos 2x. 所以 g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x. 所以当 2k22k2,即 k8k8(kZ)时 g(x)单调递增. 故函数 g(x)的单调增区间为[k8,k8](kZ). 【点拨】观察图象,获得 T 的值,然后再确定的值,体现了 数形结合的思想与方法. 【变式训练 3】使函数 y=sin(6-2x)(x[0,])为增函数的区 间是() A.[0,3] B.[12,712] C.[3,56] D.[5] 【解析】利用复合函数单调性同增异减的原则判定,选 C. 总结提高 1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象. 2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的,因而特别要注 意题设中所给的区间.
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3.求三角函数的最小正周期时,要尽可能地化为三角函数的 一般形式,要注意绝对值、定义域对周期的影响. 4.判断三角函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性. 5.6 函数 y=Asin(x+ )的图象和性质 典例精析 题型一 五点法作函数图象 【例 1】设函数 f(x)=sin x+3cos x(0)的周期为. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变 换得到. 【解析】(1)f(x)=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+3), 又因为 T=,所以 2=,即=2,所以 f(x)=2sin(2x+3), 所以函数 f(x)=sin x+3cos x(0)的振幅为 2,初相为 3. (2)列出下表,并描点画出图象如图所示. (3)把 y=sin x 图象上的所有点向左平移 3 个单位,得到 y=sin(x+3)的图象,再把 y=sin(x+3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 12(纵 坐标不变),得到 y=sin(2x+3)的图象,然后把 y=sin(2x+3) 的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变),即可得到 y=2sin(2x+3)的图象.
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【点拨】用五点法作图,先将原函数化为 y=Asin(x+0,0) 形式,再令 x+=0,,32,2 求出相应的 x 值及相应的 y 值, 就可以得到函数图象上一个周期内的五个点,用平滑的曲线 连接五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的 图象. 【变式训练 1】函数 的图象如图所示,则() A.k=12,=12,6 B.k=12,=12,3 C.k=12,=2,6 D.k=-2,=12,3 【解析】本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数, 其图象是一条直线,由图象可判断该直线的斜率 k=12.另一 个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数由三角函数的 周期决定,由图象可知函数的周期为 T=4(83)=4,故=12.将 点(53,0)代入解析式 y=2sin(12x+),得 123+,kZ,所以-56, kZ.结合各选项可知,选项 A 正确. 题型二 三角函数的单调性与值域 【例 2】已知函数 f(x)=sin2x+3sin xsin(x+2)+2cos2x,xR(0) 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 6. (1)求的值; (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 6 个单位后,再将得到的
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图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函 数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x+32=sin(2x+6)+32. 令 2x+2,将 x=6 代入可得=1. (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+6)+32,经过题设的变化得到函数 g(x)=sin(12x-6)+32, 当 x=4k,kZ 时,函数 g(x)取得最大值 52. 令 2k26+32, 即[4k3,4k](kZ)为函数的单调递减区间. 【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数 图象性质及变换. 【变式训练 2】若将函数 y=2sin(3x+)的图象向右平移 4 个 单位后得到的图象关于点(3,0)对称,则||的最小值是() A.3 C.2 D.34 【解析】将函数 y=2sin(3x+)的图象向右平移 4 个单位后得 到 y=2sin[3(x-]=2sin(3x-3)的图象. 因为该函数的图象关于点(3,0)对称,所以 2sin(33-3)=2sin()=0, 故有=kZ),解得-4(kZ). 当 k=0 时,||取得最小值 4,故选 A. 题型三 三角函数的综合应用 【例 3】已知函数 y=f(x)=Asin2(x+0,0,02)的最大值为 2,
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其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 (2)求 f(1)+f(2)++f(2 008). 【解析】(1)y=Asin2(x+)=A2-A2cos(2x+2), 因为 y=f(x)的最大值为 2,又 A0, 所以 A2+A2=2,所以 A=2, 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2,0, 所以 122=2,所以 4. 所以 f(x)=22-22cos(2x+2)=1-cos(2x+2), 因为 y=f(x)过点(1,2),所以 cos()=-1. 所以=2k(kZ), 解得+4(kZ), 又因为 02,所以 4. (2)方法一:因为 4, 所以 y=1-cos(2)=1+sin 2x, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4, 又因为 y=f(x)的周期为 4,2 008=4502. 所以 f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008. 方法二:因为 f(x)=2sin2(), 所以 f(1)+f(3)=2sin2()+2sin2(3)=2, f(2)+f(4)=2sin2()+2sin2()=2, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,
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又因为 y=f(x)的周期为 4,2 008=4502. 所以 f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008. 【点拨】函数 y=Acos(x+)的对称轴由 x+,可得 x=k,两相邻 对称轴间的距离为周期的一半,解决该类问题可画出相应的 三角函数的图象,借助数形结合的思想解决. 【变式训练 3】已知函数 f(x)=Acos2 x+2(A0,0)的最大值 为 6,其相邻两条对称轴间的距离为 4,则 f(2)+f(4)+f(6)++f(20)=. 【解析】f(x)=Acos2x+2=A1+cos 2x2+2=Acos 2x2+A2+2,则 由题意知 A+2=6,2=8,所以 A=4,8,所以 f(x)=2cos 4x+4, 所以 f(2)=4,f(4)=2,f(6)=4,f(8)=6,f(10)=4,观察周 期性规律可知 f(2)+f(4)++f(20)=2(4+2+4+6)+4+2=38. 总结提高 1.用五点法作 y=Asin(x+)的图象,关键是五个点的选取,一 般令 x+=0,,32,2,即可得到作图所需的五个点的坐标,同 时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整 x+ 的取值,以便列表时能使 x 在给定的区间内取值. 2.在图象变换时,要注意相位变换与周期变换的先后顺序改 变后,图象平移的长度单位是不同的,这是因为变换总是对 字母 x 本身而言的,无论沿 x 轴平移还是伸缩,变化的总是 x. 3.在解决 y=Asin(x+)的有关性质时,应将 x+视为一个整体 x
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后再与基本函数 y=sin x 的性质对应求解. 5.7 正弦定理和余弦定理 典例精析 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】在△ABC 中,AB=2,BC=1,cos C=34. (1)求 sin A 的值;(2)求 的值. 【解析】(1)由 cos C=34 得 sin C=74. 所以 sin A=BC sin CAB=1742=148. (2)由(1)知,cos A=528. 所以 cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C =-15232+7232=-24. 所以 = ( + )= + =-1+12cos B=-1-12=-32. 【点拨】在解三角形时,要注意灵活应用三角函数公式及正 弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练 1】在△ABC 中,已知 a、b、c 为它的三边,且 三角形的面积为 a2+b2-c24,则 C= . 【解析】S=a2+b2-c24=12absin C. 所以 sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以 tan C=1, 又(0,),所以 4. 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题
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【例 2】设△ABC 是锐角三角形,a、b、c 分别是内角 A、B、 C 所对的边长,并且 sin2A=sin(3+B)sin(3-B)+sin2B. (1)求角 A 的值; (2)若 =12,a=27,求 b,c(其中 b 【解析】(1)因为 sin2A=(32cos B+12sin B)(32cos B-12sin B)+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34,所以 sin A=32.又 A 为锐角,所以 A=3. (2)由 =12 可得 cbcos A=12.① 由( 1)知 A=3,所以 cb=24.② 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A,将 a=27 及①代入得 c2+b2=52.③ ③+②2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 又b 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式,同角三角函数 的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力. 【变式训练 2】在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边, 且满足(2a-c)cos B= bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=7,a+c=4,求△ABC 的面积.
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【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C, 整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B, 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC 中,sin A0,2cos B=1, 因为 B 是三角形的内角,所以 B=60. (2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac cos B =(a+c)2-2ac-2ac cos B, 将 b=7,a+c=4 代入整理,得 ac=3. 故 S△ABC=12acsin B=32sin 60=334. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】(2019 陕西)如图所示,A,B 是海面上位于东西方向 相距 5(3+3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45,B 点 北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏 西 60 且与 B 点相距 203 海里的 C 点的救 援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时,则该救援船到达 D 点需要多长 时间? 【解析】由题意知 AB=5(3+3)(海里),DBA=90-60=30, DAB=90-45=45,所以 ADB=180-(45+30)=105. 在△DAB 中,由正弦定理得 DBsinDAB=ABsinADB, 所以 DB= =
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= =53(3+1)3+12=103(海里). 又 DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=203 海里, 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD BC cosDBC=300+1 200-210320312=900, 所以 CD=30(海里),则需要的时间 t=3030=1(小时). 所以,救援船到达 D 点需要 1 小时. 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是: (1)根据题意,抽象地构造出三角形; (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造 的三角形的边与角的对应关系; (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解; (4)给出结论. 【变式训练 3】如图,一船在海上由西向东航行,在 A 处测 得某岛 M 的方位角为北偏东角,前进 m km 后在 B 处测得该 岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围 n km 范围内(包括边 界)有暗礁,现该船继续东行,当与满足条件 时,该船没有 触礁危险. 【解析】由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得 BMsin(90-)=msin(-),解得 BM=mcos sin(-),要使船 没有 触礁危险需要 BMsin(90)=mcos cos sin(-n.所以与的关系满 足 mcos cos nsin(-)时,船没有触礁危险. 总结提高
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1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内 在联系,如证明两内角 AB 与 sin Asin B 是一种等价关系. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系转 化,统一转化为边的关系或统一转化为角的关系,再用恒等 变形(如因式分解、配方)求解,注意等式两边的公因式不要 随意约掉,否则会漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断 角的范围,以免增解或漏解. 5.8 三角函数的综合应用 典例精析 题型一 利用三角函数的性质解应用题 【例 1】如图,ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮,其 中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都是平地.一 开发商想在平地上建一个矩形 停车场,使矩形的一个顶点 P 在 上,相邻两边 CQ、CR 分别落在正方形的边 BC、CD 上, 求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. 【解析】如图,连接 AP,过 P 作 PMAB 于 M. 设 PAM=,02, 则 PM=90sin ,AM=90cos , 所以 PQ=100-90cos ,PR=100-90sin , 于是 S 四边形 PQCR=PQPR =(100-90cos )(100-90sin )
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=8 100sin cos -9 000(sin +cos )+10 000. 设 t=sin +cos ,则 12,sin cos =t2-12. S 四边形 PQCR=8 100t2-12-9 000t+10 000 =4 050(t-109)2+950 (12). 当 t=2 时,(S 四边形 PQCR)max=14 050-9 0002 m2; 当 t=109 时,(S 四边形 PQCR)min=950 m2. 【点拨】同时含有 sin cos ,sin cos 的函数求最值时,可 设 sin cos =t,把 sin cos 用 t 表示,从而把问题转化成 关于 t 的二次函数的最值问题.注意 t 的取值范围. 【变式训练 1】若 0 A.4xsin 3x B.4x C.4xsin 3x D.与 x 的值有关 【解析】令 f(x)=4x-sin 3x,则 f(x)=4-3cos 3x.因为 f(x)=4-3cos 3x0,所以 f(x)为增函数.又 0f(0)=0,即得 4x-sin 3x0.所以 4xsin 3x.故选 A. 题型二 函数 y=Asin(x+)模型的应用 【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(024,单 位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时的浪花高度 数据. 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos t+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acos t+b 的最小正周期 T、 振幅 A 及函数表达式;
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(2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 【解析】(1)由表中数据知,周期 T=12,所以=212=6. 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5,由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 所以 A=0.5,b=1,所以振幅为 12.所以 y=12cos 6t+1. (2)由题知,当 y1 时才可对冲浪者开放, 所以 12cos 1,所以 cos 0, 所以 2k26t+2,即 12k-3 因为 024,故可令①中 k 分别为 0,1,2,得 03 或 9 故在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时 时间可供冲浪者运动,即上午 9:00 至下午 15:00. 【点拨】用 y=Asin(x+)模型解实际问题,关键在于根据题目 所给数据准确求出函数解析式. 【变 式训练 2】如图,一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方 向每分钟转 4 圈,记水轮上的点 P 到水面的距离为 d m(P 在 水面下则 d 为负数),则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式: d=Asin(t+)+k(A0,0,-2),且当点 P 从水面上浮现时开始 计算时间,有以下四个结论:①A=10;②=2③④k=5.其中正 确结论的序号是 . 【解析】①②④. 题型三 正、余弦定理的应用
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【例 3】为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、B、M、N 在同一个铅垂平面内(如图 所示),飞机 能测量的数据有俯角和 A、B 之间的距离,请 设计一个方案,包括:(1)指出需测量的数据(用字母表示, 并在图中标示);(2)用文字和公式写出计算 M、N 间距离的步 骤. 【解析】(1)如图所示:①测 AB 间的距离 a;②测俯角 MAB=, NAB=,MBA=,NBA=.(2)在△ABM 中 ,AMB=-,由正弦定理得 BM=ABsin sinAMB=asin sin(), 同理在△BAN 中,BN=ABsin sinANB=asin sin(+), 所以在△BMN 中,由余弦定理得 MN= =a2sin2sin2()+a2sin2sin2(+)-2a2sin sin cos(-)sin()sin(+). 【变式训练 3】一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两 座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行 半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60 方向上,另一灯 塔在南偏西 75 方向上,则该船的速度是 海里/小时. 【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出 简图,易知 AB=10,OCB=60,OCA=75.我们只需计算出 OC 的 长,即可得出船速.在直角三角形 OCA 和 OCB 中,显然有 OBOC=tanOCB=tan 60 且 OAOC=tanOCA=tan 75,
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因此易得 AB=OA-OB=OC(tan 75-tan 60),即有 OC=ABtan 75-tan 60=10tan 75-tan 60 =10tan(30+45)-tan 60 =10tan 30+tan 451-tan 30tan 45-tan 60=1013+11-13-3=5. 由此可得船的速度为 5 海里 0.5 小时=10 海里/小时. 总结提高 1.解三角形的应用题时应注意: (1)生活中的常用名词,如仰角,俯角,方位角,坡比等; (2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解; (3)方程思想在解题中的运用. 2.解三角函数的综合题时应注意: (1)与已知基本函数对应求解,即将 x+视为一个整体 X; (2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数,如 y=Asin(x+)+B 或 y=asin2x+bsin x+c;
(3)换元方法在解题中的运用.
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