浙江省杭州市西湖高级中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题

座位号 A

杭西高 2015 年 10 月高一数学月考答卷

一、 填空题:(本题共 10 小题)

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

二、填空题:(本题共 6 小题)

11.

12.

13、

14.

15.

16.

三、解答题:(本题共 4 小题)
17.已知 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且
? (A∩B),A∩C= ? ,求 a 的值.

学号

姓名

班级

18.设

A

是实数集,满足若

a∈A,则

1 1-a

∈A,

a≠1 且 1?A.

(1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素.

(2)A 能否为单元素集合?请说明理由.

(3)若 a∈A,证明:1- 1 ∈A. a
19.已知函数 f (x) ? x2 ? 2x ?1 ? x ?1 x ?1
(1)求函数的定义域; (2)化简解析式并用分段函数表示; (3)作出函数图象,并说明函数单调性和值域

20.求函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值.

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= ax2 ? bx ? c?b ? 0? 是奇函数.
(1)求 a,c 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.A
解析:条件 UA={2}决定了集合 A={0,1},所以 A 的真子集有 ? ,{0},{1},故正确
选项为 A. 2.D 解析:在数轴上画出集合 A,B 的示意图,极易否定 A,B.当 a=2 时,2 ∈ B,故不满
足条件 A ? B,所以,正确选项为 D.
3.C
解析:据条件 A∪B=A,得 B ? A,而 A={-3,2},所以 B 只可能是集合 ? ,{-3}, {2},所以, m 的取值集合是 C.
4.B 解析:阴影部分在集合 N 外,可否 A,D,阴影部分在集合 M 内,可否 C,所以,正确 选项为 B. 5.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐 标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平面上除去点(2,3)外 的所有点组成的集合.由此 U(M ? P)就是点(2,3)的集合,即 U(M ? P)={(2,3)}.故正 确选项为 B. 6.D 解析:判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同,选项 A,B,C 中,两函 数的定义域不同,正确选项为 D. 7.C 解析:函数 f(x)显然是奇函数,所以不难确定正确选项为 C.取特殊值不难否定其它选 项.如取 x=1,-1,函数值不等,故否 A;点(1,0)在函数图象上,而点(0,1)不在图象上, 否选项 D,点(0,-1)也不在图象上,否选项 B. 8.B 解析:当 x=0 时,分母最小,函数值最大为 1,所以否定选项 A,C;当 x 的绝对值取值 越大时,函数值越小,但永远大于 0,所以否定选项 D.故正确选项为 B.

9.A

解析:利用条件 f(x+4)=f(x)可得,f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1),再根

据 f(x)在 R 上是奇函数得,f(7)=-f(1)=-2×12=-2,故正确选项为 A.

10.C

解析:由为奇函数图像关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,函数 f(x),g(x)在区间

[0,+∞)上图象重合且均为增函数,据此我们可以勾画两函数的草图,进而显见①与③正

确.故正确选项为 C.

二、填空题

11.参考答案:{x| x≥1}.

解析:由 x-1≥0 且 x≥0,得函数定义域是{x|x≥1}.

12.参考答案: 19 . 3
解析:由 f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,所以 a2=4,ab+b=1(a>0),解得 a

=2,b= 1 ,所以 f(x)=2x+ 1 ,于是 f(3)= 19 .

3

3

3

13.参考答案: ?? 1 ,+∞ ?? .

?2

?

解析:a=0 时不满足条件,所以 a≠0.

(1)当 a>0 时,只需 f(0)=2a-1>0;

(2)当 a<0 时,只需 f(1)=3a-1>0.

综上得实数

a

的取值范围是

?? ?

1 2

,+∞

?? ?



14.参考答案:{1,5,7,15},{5,9,11,15}.

解析:根据条件 I={1,3,5,7,9,11,13,15},M∩N={5,15},M∩( IN)={1, 7},得集合 M={1,5,7,15},再根据条件( IM)∩( IN)={3,13},得 N={5,9,11,15}.
15.参考答案:(2,4].

?m+1 ≥ -2 解析:据题意得-2≤m+1<2m-1≤7,转化为不等式组 ??m+1<2m-1,解得 m 的取值
??2m-1 ≤ 7

范围是(2,4].

16.参考答案:x(1-x3).

解析:∵任取 x∈(-∞,0],有-x∈[0,+∞),

∴ f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),

∵ f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x).

∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3),

即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 f(x)=x(1-x3).

三、解答题

17.参考答案:∵B={x|x2-5x+6=0}={2,3},

C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},

∴由 A∩C= ? 知,-4∈A,2∈A;

由 ? (A∩B)知,3∈A.
∴32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2.

当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾.

当 a=-2 时,经检验,符合题意.

18.参考答案:(1)∵ 2∈A,



1 1-a



1 1-2

=-1∈A;



1 1-a



1 1+1



1 2

∈A;



1 1-a

=1 1- 1

=2∈A.

2

因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 1 . 2

(2)如果

A

为单元素集合,则

a=

1 1-a

,整理得

a2-a+1=0,该方程无实数解,故在实

数范围内,A 不可能是单元素集.

(3)证明:

a∈A?

1 1-a

∈A?

1 1-1-1 a

∈A?

1-a 1-a+1

∈A,即

1-

1 a

∈A.

19.参考答案: f(x)=2 ?? x- a ??2 +3- a2 .

? 2?

2

(1)当 a <-1,即 a<-2 时,f(x)的最小值为 f(-1)=5+2a; 2

(2)当-1≤ a ≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)的最小值为 f ?? a ?? =3- a2 ;

2

?2?

2

(3)当 a >1,即 a>2 时,f(x)的最小值为 f(1)=5-2a. 2

?5+2a, a<-2,

?

综上可知,f(x)的最小值为

???3- ?

a2 2

,- 2



a



2,

???5-2a, a>2.

20.参考答案:(1)∵函数 f(x)为 R 上的奇函数,



f(0)=0,即

-1+b 2+a

=0,解得

b=1,a≠-2,

从而有

f(x)=

-2 x+1 2 x+1+a



又由

f(1)=-f(-1)知

-2+1 4+a

=-

- 1 +1 2
1+a

,解得

a=2.

(2)先讨论函数

f(x)=

-2x+1 2x+1+2

=-

1 2



1 2x+1

的增减性.任取

x1,x2∈R,且

x1<x2,f(x2)

-f(x1)=

1 2x2 +1



1 2 x1 +1



2 x1 -2 x2

(2x2 +1)(2x1+1)



∵指数函数 2x 为增函数,∴ 2x1-2x2 <0,∴ f(x2)<f(x1),

∴函数

f(x)=

-2x+1 2x+1+2

是定义域

R

上的减函数.

由 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 得 f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∴ f(t2-2t)<f(-2t2+k),∴ t2-2t>-2t2+k ( ? ).

由( ? )式得 k<3t2-2t.

又 3t2-2t=3(t- 1 )2- 1 ≥- 1 ,∴只需 k<- 1 ,即得 k 的取值范围是 ??-∞,-1 ?? .

33 3

3

?

3?


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