“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用

“点差法” 1:已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0) ,长轴长为 6,设直线

y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。
2、如果椭圆
x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,求这条弦所在的直线方程 36 9

x2 y2 ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线的 3、过椭圆 ? 16 4

方程。 4、已知椭圆方程为
x2 ? 1? ? y 2 ? 1,内有一条以点 P ?1, ? 为中点的弦 AB ,求 AB 所在的 2 ? 2?

直线 l 的方程及 AB 的弦长。 5、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的
1 横坐标为 ,求椭圆的方程。 2

? x2 y 2 6.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , a ? c 2 ,有一条倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两 4 a b
? 1 1? 点,若 AB 的中点为 C ? ? , ? ,求椭圆方程. ? 2 4?

7.已知 AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于 x 轴的任意一条弦, P 是 AB 的中点, a 2 b2

O 为椭圆的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值.

x2 y2 8.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 a b
1 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .求 M 的方程; 2

1

. 1 处理存在性问题 例8 已知双曲线 x 2 ?
1 2 y ? 1 ,过 B ?1 ,1 ? 能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P ,Q 2

两点,且 B 是线段 PQ 的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说 明理由.

2


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