专题2-2 二项分布及其应用-试题君之K三关2017-2018学年高二数学选修2-3 含解析 精品

2.2 二项分布及其应用 一、条件概率与相互独立事件的概率 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做_________,用符 号 P(B|A)来表示,其公式为 P( B | A) ? P( AB) ( P( A) ? 0 ). P( A) n( AB) (n(AB)表示 A,B 共同发 n( A) 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P( B | A) ? 生的基本事件的个数). (2)条件概率具有的性质 ① 0 ? P ? B | A? ? 1; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B 2.相互独立事件 C | A) ? P ? B | A? +P ?C | A? . (1)对于事件 A,B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A,B 是_______________. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P ? B | A? ? P ? B ? ,P ? AB ? ? P ? B | A? P ? A? ? P ? A? P ? B ? . (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P ? AB ? ? P ? A ? P ?B ? ,则 A 与 B 相互独立. 【注】① A,B 中至少有一个发生的事件为 A∪B; ② A,B 都发生的事件为 AB; ③ A,B 都不发生的事件为 AB ; ④ A,B 恰有一个发生的事件为 AB ⑤ A,B 至多有一个发生的事件为 AB 二、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验 AB ; AB AB . 在相同条件下重复做的 n 次试验称为________________. 若 Ai (i ? 1, 2, ,n) 表示第 i 次试验结果,则 P ? A 1A 2A 3 An ? ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( An ) . 【注】独立重复试验是各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么 发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的. 2.二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率是 p,此时称随 机变量 X 服从________________,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. k n ?k 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P( X ? k ) ? Ck (k ? 0,1, 2, ,n) . n p (1 ? p) K 知识参考答案: 一、1.条件概率 2.(1)相互独立事件 二、1.n 次独立重复试验 2.二项分布 K—重点 K—难点 K—易错 条件概率的计算 二项分布的应用 混淆互斥事件与相互独立事件、对独立重复试验理解不准确 1.条件概率的相关计算及应用 条件概率的两种解法: (1)定义法:先求 P ( A) 和 P( AB) ,再由 P( B | A) ? P( AB) 求 P( B | A) . P( A) (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n( A) ,再求事件 A 发生的条件下 事件 B 包含的基本事件数 n( AB) ,得 P( B | A) ? n( AB) . n( A) 【例 1】有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒 种子能成长为幼苗的概率. 【解析】设“种子发芽”为事件 A, “种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽,又成活为幼苗) ,则出芽后 的幼苗成活率为 P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式 P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 2.相互独立事件概率的计算 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面计算较繁琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 【例 2】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种 商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求: (1)进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率; (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. (1)易知 C=AB,则 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)易知 D ? ( AB) ( AB), 则 P( D) ? P( AB) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 . (3)易知 E ? AB, 则 P( E) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 , 故 P( E) ? 1 ? P( E) ? 0.8. 3.二项分布的应用 1.二项分布的简单应用是求 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率.解题的一般思路是:根据 题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数 n,p→写出二项分布的分布列→将 k 值代 入求解概率. 2.二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率,其实质是求在某一取值范围内的概率, 一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率. 【例 3】某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后第 2 位): (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的

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