高中数学 第四章 数系的扩充 复数中数学思想拓展资料素材 北师大版选修1-2

复数中数学思想“碰头会”
数学解题讲究的是最基本思想方法,那么复数问题中主要有哪些基本的数学思想? 1.函数思想 函数思想是一种重要的数学思想,有关复数的最值问题,常通过构造函数,利用函数 的性质求解. 例1 已知复数 z ?

1 1 ,则 z 2 ? z ? 的最大值是______ 2 4

解析:设出复数 z 的代数形式,将问题转化为有关函数的最值问题. 设 z ? x ? y i( x,y ? R) . ? z ?
2 2

1 1 2 2 ,? x ? y ? , 2 4
2 2

1 ? 1? 1 1? 1 ? ? ? x ? ? ? y2 ? ? x . ? z ?z? ? ?z? ? ? z? 4 ? 2? 2 2? 2 ?
1 1 1 1 ? ? ≤ x ≤ ,∴当 x ? ? 时, z 2 ? z ? 有最大值1 ,故选(B) . 2 2 2 4
评注:依据复数模的定义,将复数问题转化为实数问题。 2.整体思想 对于有些复数问题,若从整体上去观察、分析题设结构,充分利用复数的有关概念、 共轭复数的性质与模的意义等,对问题进行整体处理,能收到简捷、明快的效果. 例2 设复数 z 和它的共轭复数 z 满足 4 z ? 2 z ? 3 3 ? i ,求复数 z 的值.

解析:设 z ? a ? b i(a,b ? R) ,将 4 z ? 2 z ? 3 3 ? i 化为 2z ? (2z ? 2z) ? 3 3 ? i . 由 2z ? 2z ? 2(a ? b i) ? 2(a ? b i) ? 4a ,整体代入,得 2 z ? 4a ? 3 3 ? i ,

6a ? 2b i ? 3 3 ? i .
? 3 a? , ? 3 1 ? 2 根据复数相等的充要条件,得 ? 故z ? ? i. 2 2 ?b ? 1 . ? ? 2
评注:在求解过程中,充分利用共轭复数性质,整体代入可获得简捷、明快、别具一 格的解法. 3.分类讨论思想

复数问题中若含有参数,常常需要根据参数的范围分类讨论. 例3 设 a ≥ 0 ,在 C 内解方程 z 2 ? 2 z ? a . ∴ z 为实数或纯虚数. 解得 z ? ?(?1 ? 1 ? a ) ;

解析:∵ a , z ? R ,∴ z 2 ? a ? 2 z ? R ,
2

(1)若 z 为实数,原方程转化为 z ? 2 z ? a ? 0 , (2)若 z 为纯虚数,
2

设 z ? b i(b ? 0,b ? R) ,

于是方程转化为 b ? 2 b ? a ? 0 . ①当 0 ? a ≤1 时,解得 b ? ?(1 ? 1 ? a ) ; ②当 a ? 1 时,方程无解. 综上, 0 ? a ≤1 时, z ? ?(?1 ? 1 ? a ) ,或 z ? ?(1 ? 1 ? a )i ; a ? 1 时,

z ? ?(?1 ? 1 ? a ) .
评注:在复数集内解含有参数的方程,根可能是实数也可能是虚数,因此需对此分类 讨论. 4.数形结合思想 在处理复数问题时,灵活地运用复数的几何意义,以数思形、以形助数,可使许多问 题得到直观、快捷地解决. 例4 已知虚数 ( x ? 2) ? y i( x,y ? R) 的模为 3 ,求

y 的最大值. x

解析:由于 x 与 y 为变量,且 y ? 0 ,可由已知条件得到关于 x 与 y 的 等式,也就是动点 ( x,y ) 的轨迹,再结合图 1 考虑的取值情况,求出最大值. 由 ( x ? 2) ? y i 是虚数,得 y ? 0 , 又由 ( x ? 2) ? y i ? 3 ,得 ( x ? 2) ? y ? 3 .
2 2

0) 为圆心,为半径的圆,是圆上动点 Z ( x,y)(除去 (2 ? 3, 0) 这是以 (2, 0) )与 O(0,
连线的斜率, 过 O 点作圆的切线 OP 、OQ , 则斜率的最大值为 ? ∴

? y? ? ? tan ?AOP ? 3 . ? x ?max

y 的最大值为 3 . x

评注:与复数有关的最值问题通常要利用复数的几何意义。


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