高中数学第二章平面向量章末优化总结新人教A版必修4_图文

章末优化总结 网络 体系构建 专题 归纳整合 章末检测 专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解 和运用要注意大小、方向两个方面. 3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心,是向量线 性运算的关键所在,常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题. 4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 已知△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AB=AC,D → |分成 2∶1 的一个分点,DC 和 OA 交于 E,设OA → 是将|OB → =b(如图). =a,OB → 、DC →; (1)用 a、b 表示向量OC → =λOA → ,求实数 λ 的值. (2)若OE [解析] (1)∵A 为 BC 的中点, 1 → → → ∴OA= (OB+OC), 2 2→ → → → → → OC=2a-b,DC=OC-OD=OC- OB 3 2 =2a-b- b 3 5 =2a- b. 3 → =λOA → ,则CE → =OE → -OC → =λOA → -OC → =λa-2a+b (2)设OE → → =(λ-2)a+b. ∵CE与CD共线,∴存在实数 m, → =mCD →, 使得CE 5 即(λ-2)a+b=m(-2a+ b). 3 5 即(λ+2m-2)a+(1- m)b=0. 3 ∵a、b 不共线, ? ?λ+2m-2=0, 4 ∴? 解得 λ= . 5 5 1- m=0, ? 3 ? 1.已知点 A(2,0),B(0,2),点 C(x,y)在单位圆上. → → → → (1)若|OA+OC|= 7(O 为坐标原点),求OB与OC的夹角; → ⊥BC → ,求点 C 的坐标. (2)若AC → → → 解析:(1)OA=(2,0),OC=(x,y),OB=(0,2), → +OC → =(2+x,y). 且 x2+y2=1,OA → +OC → |= 7 由|OA 得(2+x)2+y2=7, 2 2 ? ?x +y =1, 由? 2 2 ? ??2+x? +y =7. 1 联立解得,x= , 2 3 y= ± . 2 →· → OB OC 2y 3 → → cos 〈OB,OC〉= = 2 2=± 2 . → → |OB|· |OC| 2 x +y → 与OC → 的夹角为 30° 所以OB 或 150° . → → (2)AC=(x-2,y),BC=(x,y-2), → ⊥BC → 得AC →· → =0, 由AC BC 2 2 ? x + y =1 ? 由? 2 2 ? ?x +y -2x-2y=0 ? ?x=1- 7 4 ? 解得? ? 1+ 7 y= ? 4 ? ? ?x=1+ 7 4 ? 或? ? 1- 7 y= ? 4 ? 所以点 C 的坐标为 ?1- ? ? 4 ? 7 ? ? 1+ 7 ? ? ?1+ 7 1- 7? 或? . , , 4 ? 4 ? ? ? 4 ? 2.已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),O 为坐标原点,若点 C 在∠AOB 的平分线上, → → 且|OC|=2,求OC的坐标. → ? 3 4? OB → =(0,1),b= →, 解析:设 a=OA =?-5,5?,则|a|=|b|=1.即 a 与 b 分别是与OA →| ? ? |OB → 共线的单位向量. → 与 a+b 共线. → OB 因为点 C 在∠AOB 的平分线上, 所以OC 设OC → =λ(-3,9). =λ(a+b)(λ>0),则OC 5 5 ? 81? 10 → ? 10 3 10? → ? ? 2 9 ∵|OC|=2,∴λ ?25+25?=4,得 λ= .故OC=?- , ?. 3 5 5 ? ? ? ? 专题二 平面向量的数量积 1.向量的数量积是一个数量,当两个向量的夹角是锐角时,它们的数量积为正 数; 当两个向量的夹角为钝角时, 它们的数量积为负数; 当两个向量的夹角是 90° 时,它们的数量积等于 0.零向量与任何向量的数量积等于 0. 2.通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度 (模)、平面 内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直. 若 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0,k∈R). (1)用 k 表示数量积 a· b; (2)求 a· b 的最小值,并求出此时 a 与 b 的夹角. [解析] (1)由|ka+b|= 3|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2, ∴k2a2+2ka· b+b2=3a2-6ka· b+3k2b2. ∴(k2-3)a2+8ka· b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=|b|=1,∴k2-3+8ka· b+1-3k2=0, 2k2+2 k2+1 ∴a· b= = . 8k 4k k2+1 1? 1? (2)a· b= = ?k+k?,k>0,k∈R. 4k 4? ? 解法一 1? 1? 由函数的单调性容易得出,f(k)= ?k+k?在(0,1]上单调递减, 4? ? 在[1,+∞)上单调递增, 1 1 ∴当 k=1 时,f(k)min=f(1)= (1+1)= , 4 2 a· b 1 此时 a 与 b 的夹角为 θ,cos θ= = ,∴θ=60° . |a||b| 2 解法二 1? 1? f(k)= ?k+k?= 4? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ?2 ? 2 ? k ? - 2 + + 2 ? k? ? 4? ? ? ? ? 1? 1? ? ?2 1 k - = ? + , 4? 2 k? ? 1 1 当 k- =0,即 k=1 时,f(k)min= , 2 k a

相关文档

高中数学第二章平面向量章末优化总结课件新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量章末优化总结课件新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量章末优化总结课件新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量章末优化总结课件新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量章末优化总结课件新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 新人教A版必修4
2019高中数学 第二章 平面向量章末优化总结 新人教A版必修4
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科