高考数学题根选载评看一个题根

——从“阿波罗尼斯圆”说起 几十年高考及各地各种大小备考,简直可以汇集成题的海洋。但细究起来,其知识源头只不过是少数 几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究,竟发现在高考的数学正卷中, 同一个题根,竟连绵考核了 10 年以上。感叹之余,写了如下脍炙人口的歌谣: 题成海,题成河,说到题根并不多。教材深处留心找,找到题根书变薄。 考题多,考题新,多新一片像森林。林中切莫眼花乱,认得题根知考根。 上面的这首儿歌,唱出了三种关系:题目与题根的关系;考题与考根的关系;最后,题根与考根的关 系。那么,到底什么是题根? 一、题根案例 【根题】 (人教 A 版必修 2,p124,B 组,3 题。 )已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离比 为 1 ,求点 M 的轨迹方程. 2 【 解 析 】 如 图 1 , 设 动 点 M ? x, y ? , 连 结 MO,MA, 有 : MA ? 2 MO ? ? x?3? ? 2 y ?2 2 2 x ? 2 y ,化简得: x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,也就是: ? x ? 1? 2 ? y2 ? 4 ?1? 方程(1)即为所求点 M 的轨迹方程,它表示以 C(-1,0) 为圆心,2 为半径的圆。 评注:1.根题中所求出的圆,我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题,而且是具 有“生长性”的好题。在它的基础上,数学人不仅能“看”出它的精髓,释放它的价值。而且以它为“根” , 可以 “长”出许多好题。 2.阿波罗尼斯(Apolloning,约公元前 260~170) ,古希腊数学家,与欧几里得,阿基米德等齐名。著 有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。 二、理论基础 将如上根题推广到一般形式,即得轨迹问题:动点 P ? x, y ? 到定点 F ,、 0) F2 (c, 0) 的距离之比为定 1 (?c 值 λ .(c,λ 为正数) ,求点 P( x,y) 的轨迹方程 .(本题实为 2003 年北京春季高考题) 【解析】依题意,由距离公式: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,化简得: (1? ? 2 ) x2 ? (1? ? 2 ) y2 ? 2c(1? ? 2 ) x ? (1? ? 2 )c2 ? 0 【讨论】方程的图形是什么? ?1? ①当 λ =1 时,得 x = 0 ,也就是线段 F1F2 的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线) ; ②当 λ ≠1 时,方程(1)变形得: x ? y ? 2 2 2c ?1 ? ? 2 ? 1? ? 2 x ? c 2 ? 0 ,化成标准形式: ? ?2 ?1 ? 2c? ? c, 0 ? 为圆心,且半径 r ? 2 2 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? 2c? ? x ? ? c ? ? y2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 2 ? 2 ? ,这是以 ? 的圆。 (定义这样的圆为阿波罗尼斯圆,简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆” ) 。 【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美: 1.同一个方程,根据参数 ? 的不同,时而表示直线,时而表示圆,这是直线与圆的统一美; ? ? 2 ?1 ? ? 2? ? 2 x ? 2.当 λ ≠1 时,不妨设 c=1,可得: ? ? ? y ?? 2 ? 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 2 2 ? 2?? 2 ? ? 2 ? 1 ? ? 2? ? 注意到: ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? 2? ? ,可得: ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1, ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 说明 ? ? 1, ? ? 1 , 2? 这 3 数之间存在勾股关系,这反映了阿波罗轨迹内部的结构美; ? ?2 ?1 ? 1 ? c, 0 ? 在 y 轴右边,如 ? ? 1, 令 ? ? ? 1 ,代入(1)得: 3.在方程(1)中,如 ? ? 1, 圆心 ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ?x? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? 2 2 ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 2? ? ? 2 2 ? ? y ?? ? ??x? ? y ?? 2 ? 2 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ?2 ? ?2 ? ? ? ? 1 2 2 ? 3? (2?) 方程(3)与 具有类似的形式,只不过由于 ? ? 1.? 示的图形关于 y 轴对称。例如分别取 ? ? 2, ? ? 2 2 2 1? ? 2 ? 0 ,圆心在 y 轴左边。这两个方程表 1? ? 2 1 ? ? 2 时,分别代入方程(2)与(3) ,得: 2 5? 5? ? ? 4? ? ? 4? 2 2 ? x ? ? ? y ? ? ? 和 ? x ? ? ? y ? ? ? ,它们的图形关于 y 轴(阿波罗直线)对称。 3? 3? ? ? 3? ? ? 3? 所以方程(1)又彰显解几图形的对称美与完整美; 4.对于方程(1) ,只要 λ ≠1,它都表示圆,当 λ 无限接近于 1 乃至等于 1 时,其图形最终成为直线, 这又是曲线由量变到质变的运动美。 三、考场精彩 【题 1】 (2013.江苏卷, 17 题 (2) ) 如图 2, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A ? 0,3? , 直线 l:y ? 2 x ? 4 . 设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 【解析】点 C 在直线 l:y ? 2 x ? 4 上,故设 C ? a,2a ? 4? , ∵半径 r1 ? 1 ,∴圆 C 的方程是: ? x ?

相关文档

  • 郑州市智林学校高三数学第三次模拟考试试题理
  • [k12精品]2019版高考政治一轮复习小专题1经济生
  • 他山之石,可以攻玉——从两节同课异构语法课谈
  • 新课程标准下信息技术与高中数学课程的整合_论
  • 2018人美版高中《美术鉴赏》第10课《人类生活得
  • 七年级英语下册《Unit2 France is calling》Gra
  • 【最新】2018-2019学年最新(新课标)人教版必修2
  • 高三2主题班会:坚持成就梦想_图文
  • 高考英语总复习 第1部分 基础考点聚焦 Challeng
  • 长沙市普通高中学校情况一览表_图文
  • 1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球 ppt课件(17张) 高中
  • 电脑版