2017-2018学年人教版高中数学必修一 第三章 3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型_图文

3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 [提出问题] 观察如表给出的函数值: x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x)=2x 2x+1-2x g(x)=x2 (x+1)2-x2 h(x)=log2x log2(x+1)- log2x 2 2 1 3 0 1 4 4 4 5 1 8 8 9 7 1.585 0 16 16 16 9 2 32 32 25 11 64 64 36 13 128 128 49 15 256 256 64 17 3 2.321 9 2.585 0 2.807 4 0.585 0 0.415 0 0.321 9 0.263 1 0.222 4 0.192 6 0.169 9 问题1:函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什 么共同的变化趋势? 提示:函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值增大. 问题2:函数f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同? 提示:各函数增长的速度不同,其中f(x)=2x增长得最 快,其次是g(x)=x2,最慢的是h(x)=log2x. [导入新知] 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y= logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 增函数 ,但它们的 增长速度 不同, 而且不在同一个“档次”上. 随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度 越来越快 ,会超过并 远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则 会 越来越慢 . n log x < x < a 因此,总会存在一个x0,使得当x>x0时,就有 ax(a>1,n>0) . [化解疑难] 对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势 函数 性质 在(0,+∞)上 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 的增减性 增长的速度 图象的变化 增函数 先慢后快 增函数 先快后慢 增函数 相对平稳 随着x的增大逐 随着x的增大逐 随n值的不同 渐加快增大 渐减慢增大 而不同 考查函数模型的增长差异 [例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 5 26 32 10 10 15 20 401 1.05×106 40 6.322 25 626 30 901 101 226 1 024 32 768 20 30 3.36×107 1.07×109 50 60 6.644 6.907 2 4.322 5.322 5.907 关于x呈指数函数变化的变量是________. [解析] 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变 量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化. 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变 化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中 变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于 x呈指数函数变化. [答案] y2 [类题通法] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长 速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为 “指 数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的 增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型 幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长 之间. [活学活用] 今有一组实验数据如下: 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律, 其中最接近的一个是 A.v=log2t 1 B.v=log t 2 ( ) t v t2 - 1 C.v= D.v=2t-2 2 解析:从表格中看到此函数为单调增函数,排除B,增长速度 越来越快,排除A和D,选C. 答案:C 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例2] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象 如图所示.设两函数的图象交于点A(x1, y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的 函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大 小. [解 ] (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9), f(10)>g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2 014>x2. 从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6). 当x>x2时,f(x)>g(x), ∴f(2 014)>g(2 014). 又∵g(2 014)>g(6), ∴f(2 014)>g(2 014)>g(6)>f(6). [类题通法] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通 常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最 “陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数. [活学活用] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1, C2分别对应的函数; (2)比较两函数的增长差异[以两图象交点 为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较]. 解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3

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