高中数学必修4全一册课堂探究学案(29份) 人教课标版14(优秀教案)

3.2.1 倍角公式

探究一化简、求值问题

课堂探究

解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决. 【例】 求下列各式的值:

() 2 - 4 °; 33
() ? 2? ; 55

()已知 α = 1 , β = 1 ,且 α ,β 均为锐角,求 α +β 的值;

7

3

() °(+ °).

解:() 2 - 4 °= 2 (-°)= 2 °= 3 .

33 3

3

3

2sin ? cos ? cos 2? sin 2? cos 2?

()原式=

5 5 5= 5

5

2sin ?

2sin ?

5

5

sin 4? =5



sin ? 5

=1 .

4sin ? 4sin ? 4

5

5

()由

β

=1 3

,得

β



3 4

>,所以

β



? ??

0,

? 2

? ??





α

=1 7

,所以(α

+β

1?3 )= 7 4
1? 1 ? 3

=.

74

因为

α



? ??

0,

? 2

? ??

,β



? ??

0,

? 2

? ??



所以 α +β ∈(,π ),所以 α +β = ? . 4

? ()原式=° ???1?

3 sin10? ? cos10? ???

= °· cos10? ? 3 sin10? cos10?



°·

2

? ?
?

1 2

cos10?

?

3 2

sin10?

? ?
?

cos10?

= °· 2(sin 30?cos10? ?cos30 ?sin10 ?) cos10?

= °· 2sin 40? cos10?

= 2sin 40?cos 40? = sin 80? =.

cos10?

cos10?

探究二给值求值问题

由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值或求相关角时,关键在于 “变角”,把“目标角”变换成“已知角”.

【例】

()已知

? ??

?

?? 4

? ??



3 5



? 2

≤α

< 3? 2

,求

? ??

2?

?? 4

? ??

的值;

()已知 α



? ??

?

? 2

,

? 2

? ??

,且

α

= ????

?? 4

? ??

,求

α



解:()因为 ? ≤α < 3? ,所以 3? ≤α + ? < 7? .

2

2

4

44

因为

? ??

?

?

? 4

? ??

>,所以<α

+? 4

<

7? 4



所以

? ??

?

?

? 4

? ??

=-

1

?

cos2

? ??

a

?

? 4

? ??

=-

1?

? ??

3 5

2
? ? ?

=-

4 5



所以

α



? ??

2?

?? 2

? ??



? ??

?

?

? 4

? ??

??? ?

?

? 4

? ??

=×

? ??

?

4 5

? ??

×

3 5

=-

24 25



α

=-

? ??

2?

?? 2

? ??

=-

? ??

?

?

? 4

? ??

=-×

? ??

3 5

?2 ??



7 25



所以

? ??

2?

?

? 4

? ??



2α- 2

2
α
2



2 2

×

? ??

?

24 25

?

7 25

? ??

=-

31 2 50



()因为

α

=-

? ??

2?

?

? 2

? ??

=-

???2

cos2

????

?

? 4

? ??

?1???



??? ?

?

? 4

? ??

=-

? ??

? 4

??

? ??

=-

?? ?? 2

?

? ??

? 4

??

?? ????

=-

? ??

? 4

?

?

? ??



所以原方程可化为-

??? ?

?

? 4

? ??

=-

? ??

?

?

? 4

? ??



解得

? ??

?

?

? 4

? ??

=或

??? ?

?

? 4

? ??

=-

1 2



因为

α

∈,所以

α

+? 4



? ??

?

? 4

, 3? 4

? ??



所以 α + ? =或 α + ? = 2? .

4

43

所以 α =- ? 或 α = 5? .

4

12

探究三与三角函数有关的综合问题

解决这类问题经常是先利用二倍角公式、辅助角公式及三角函数的性质等将函数表达式

化成形如=(ω +φ )或=(ω +φ )的形式,再利用三角函数的性质和图象解决.

【例】 求函数()=

3+

3-

? ? ?

x

?

?? ?? 4

,

7? 24

? ??

? ? ?

的最小值,并求其单调减区间.

解:()= 3 · 1? cos 2x + 3 · 1? cos 2x -

2

2

= 3+ 3 -



? 3 + 4???

3 2

cos

2x

?

1 2

sin

2x

? ???



3



4

? ??

sin

? 3

cos

2x

?

cos

? 3

sin

2x

? ??



3



? ??

? 3

?

2x

? ??



3



? ??

2

x

?

? 3

? ??



因为 ? ≤≤ 7? ,所以 ? ≤- ? ≤ ? .

4 24

6 34

所以

? ??

2

x

?

? 3

? ??



?
? ?

1 2

,

2 2

?
? ?



所以当- ? = ? ,即= 7? 时,()取最小值为 3 - 2 .

34

24

因为=

? ??

2

x

?

? 3

? ??



?? ?? 4

,

7? 24

? ??

上单调递增,

所以()在

?? ?? 4

,

7? 24

? ??

上单调递减.

探究四易错辨析

易错点:忽视角所在象限

【例】 化简: 1? sin 8 + 2 ? cos 8 .

错解:原式= 2 sin2 4 ? cos2 4 ? 2sin 4cos 4 + 2 1? cos8
=++ =+. 错因分析:没有判断弧度的角终边所在的象限或根号下正负号判断错误.

正解:因为∈

? ??

?

,

3? 2

? ??

,所以

<,

<.

所以原式= 2 1? 2sin 4 cos 4 + 4cos2 4
=++ =-( + )- =-( + ).

学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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