2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-1第一章 1.4.1~1.4.2


1.4.1 1.4.2

全称量词 存在量词

[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义, 熟悉常见的全 称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有 量词的命题及判断其命题的真假性.

知识点一 全称量词和全称命题

(1) 全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “?”表示. (2)全称命题: 含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对 M 中任意一个 x, 有 p(x)成立” 可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”.

知识点二 存在量词和特称命题

(1) 存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “?”表示. (2)特称命题:含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成 立”可用符号简记为?x0∈M,p(x0),读作“存在一个 x0 属于 M,使 p(x0)成立”. 思考 (1)在全称命题和特称命题中,量词是否可以省略? (2)全称命题中的“x,M 与 p(x)”表达的含义分别是什么? 答案 (1)在特称命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略.

(2)元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合 M 是这些 元素的某一特定的范围.p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小 于 0”,可以表示为“?x∈N,x≥0”.

题型一 全称量词与全称命题

例 1 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+2>0; (2)?x∈N,x4≥1; (3)对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1. 解 (1)由于?x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2+2≥2>0,即 x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2 +2>0”是真命题. (2)由于 0∈N,当 x=0 时,x4≥1 不成立,所以命题“?x∈N,x4≥1”是假命题. (3)由于?α∈R,sin2α+cos2α=1 成立.所以命题“对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1”是真命 题. 反思与感悟 判定全称命题的真假的方法:(1)定义法,对给定的集合的每一个元素 x,p(x)

都为真;(2)代入法,在给定的集合内找出一个 x0,使 p(x0)为假,则全称命题为假. 跟踪训练 1 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+1≥2; (2)任何一条直线都有斜率; (3)每个指数函数都是单调函数. 解 (1)由于?x∈R,都有 x2≥0, 因而有 x2+1≥1,所以“?x∈R,x2+1≥2”是假命题. π (2)当直线的倾斜角为 时,斜率不存在,所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. 2 (3)无论底数 a>1 或是 0<a<1, 指数函数都是单调函数, 所以“每个指数函数都是单调函数” 是真命题.

题型二 存在量词与特称命题

例 2 判断下列特称命题的真假: (1)?x0∈Z,x3 0<1; (2)存在一个四边形不是平行四边形;

(3)有一个实数 α,tan α 无意义; π (4)?x0∈R,cos x0= . 2 解 (1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1, ∴“?x0∈Z,x3 0<1”是真命题. (2)真命题,如梯形. π (3)真命题,当 α= 时,tan α 无意义. 2 π (4)∵当 x∈R 时,cos x∈[-1,1],而 >1, 2 π ∴不存在 x0∈R,使 cos x0= , 2 π ∴“?x0∈R,cos x0= ”是假命题. 2 反思与感悟 判定特称命题真假的方法:代入法,在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为真,否则命题为假. 跟踪训练 2 试判断下列特称命题的真假:
2 (1)?x0∈Q,x0 =3; 2 (2)?x0,y0 为正实数,使 x2 0+y0=0;

(3)?x0∈R,tan x0=1; (4)?x0∈R,lg x0=0. 解 (1)由于使 x2 0=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的 平方能等于 3, 所以命题“?x0∈Q,x2 0=3”为假命题.
2 2 2 (2)因为 x0>0,y0>0,所以 x2 0+y0>0,所以“?x0,y0 为正实数,使 x0+y0=0”为假命题.

π π (3)当 x0= 时,tan =1,所以“?x0∈R,tan x0=1”为真命题. 4 4 (4)当 x0=1 时,lg 1=0,所以“?x0∈R,lg x0=0”为真命题. 题型三 全称命题、特称命题的应用 (1)若命题 p:存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0,求实数 a 的取值范围;

例3

(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 解 (1)由 ax2 0+2x0+a<0,得 a(x0+1)<-2x0,

2x 0 2 ∵x0 +1>0,∴a<- 2 =- x0+1

2 1 x0+ x0



1 当 x0>0 时,x0+ ≥2,∴- x0

2 1 x0+ x0

≥-1,

1 2 当 x0<0 时,x0+ ≤-2,∴- ≤1, x0 1 x0+ x0 2 ∴- 的最大值为 1. 1 x0+ x0 又∵?x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0 成立, ∴只要 a<1,∴a 的取值范围是(-∞,1). (2)①当 m+1=0 即 m=-1 时,2x-6<0 不恒成立. ②当 m+1≠0,则
?m+1<0, ?m<-1, ? ? ? ?? 2 ?Δ<0, ? 3?m-1?<0, ? ?Δ=?m-1? -4?m+1?·

m<-1, ? ? 13 ?? 综上,m<- . 13 11 ? ?m<-11或m>1, 反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用,注意二者的区别. 跟踪训练 3 (1)已知关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空,求实数 a 的取值 范围; (2)若命题 p: 1-sin 2x=sin x-cos x 是真命题,求实数 x 的取值范围. 解 (1)关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 即 4a-7≥0, 7 7 解得 a≥ ,∴实数 a 的取值范围为[ ,+∞). 4 4 (2)由 1-sin 2x=sin x-cos x, 得 sin2x+cos2x-2sin xcos x=sin x-cos x, ∴ ?sin x-cos x?2=sin x-cos x, 即|sin x-cos x|=sin x-cos x, ∴sin x≥cos x. π 5π 结合三角函数图象得,2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z),此即为所求 x 的取值范围. 4 4 π 5π 即 p:?x∈[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z),有 1-sin 2x=sin x-cos x 是真命题. 4 4

化归思想的应用 例 4 对任意 x∈[-1,2],有 4x-2x 1+2-a<0 恒成立,求实数 a 的取值范围.


分析 通过换元,可转化为一元二次不等式的恒成立问题,通过分离参数,又可将恒成立问 题转化为求最值的问题. 解 原不等式化为 22x-2· 2x+2-a<0,① 1 令 t=2x,因为 x∈[-1,2],所以 t∈[ ,4], 2 则不等式①化为 t2-2t+2-a<0,即 a>t2-2t+2. 1 所以原命题等价于?t∈[ ,4],a>t2-2t+2 恒成立, 2 令 y=t2-2t+2=(t-1)2+1, 1 因为当 t∈[ ,4]时,ymax=10,所以只需 a>10 即可. 2 故实数 a 的取值范围是(10,+∞). 解后反思 在本题的解答过程中,用到了两次化归思想,在第一次通过换元,化归为一元二 次不等式恒成立时,要特别注意新元的取值范围.

1.下列命题中全称命题的个数是( ①任意一个自然数都是正整数; ②有的等差数列也是等比数列; ③三角形的内角和是 180° . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 ①③是全称命题. 2.下列命题中,不是全称命题的是( A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 答案 D 解析 D 选项是特称命题.

)

)

3.下列特称命题是假命题的是( A.存在 x∈Q,使 2x-x3=0 B.存在 x∈R,使 x2+x+1=0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案 B

)

1 3 解析 对于任意的 x∈R,x2+x+1=(x+ )2+ >0 恒成立. 2 4 4.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( A.存在一个 α0,使 tan(90° -α0)=tan α0 π B.存在实数 x0,使 sin x0= 2 C.对一切 α,sin(180° -α)=sin α D.对一切 α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 答案 A 解析 含有存在量词的命题只有 A,B, π 而 sin x0≤1,所以 sin x0= 不成立,故选 A. 2 π 5.已知命题 p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题 q:?x∈(0, ),cos x<1,则下列命题为真 2 命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∧q 答案 C 解析 当 x0<0 时,2x0<3x0 不成立, ∴p 为假命题,綈 p 为真命题, π 而 x∈(0, )时,cos x<1 成立,∴q 为真命题. 2 ) B.p∨(綈 q) D.p∧(綈 q) )

1.判断命题是全称命题还是特称命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,有些 全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断. 2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说 明命题不成立,则该全称命题是假命题. 3.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到 命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.

一、选择题 1.下列命题: ①中国公民都有受教育的权利; ②每一个中学生都要接受爱国主义教育; ③有人既能写小说,也能搞发明创造; ④任何一个数除 0,都等于 0. 其中全称命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 命题①②④都是全称命题. 2.下列命题中特称命题的个数是( ) )

①有些自然数是偶数; ②正方形是菱形; ③能被 6 整除的数也能被 3 整除; ④对于任意 x∈R, 总有|sin x|≤1. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称命题; 命题③可以叙述为“一切能被 6 整除的数也都能被 3 整除”,是全称命题;而命题④是全称 命题.故有一个特称命题. 3.下列全称命题中真命题的个数为( ①负数没有对数; ②对任意的实数 a,b,都有 a2+b2≥2ab; ③二次函数 f(x)=x2-ax-1 与 x 轴恒有交点; ④?x∈R,y∈R,都有 x2+|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 ①②③为真命题. 4.给出以下命题: ①?x∈R,有 x4>x2; ②?α∈R,使得 sin 3α=3sin α; ③?a∈R,对?x∈R,使得 x2+2x+a<0. 其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

答案 B 解析 ①中,当 x=0 时,x4=x2,故为假命题;②中,当 α=kπ(k∈Z)时,sin 3α=3sin α 成 立,故为真命题;③中,由于函数 f(x)=x2+2x+a 的图象开口向上,一定存在 x∈R,使 x2 +2x+a≥0,故为假命题.故选 B. 5.已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 x1 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列命题中为假 命题的是( )

A.?x0∈R,f(x0)≤f(x1) B.?x0∈R,f(x0)≥f(x1) C.?x∈R,f(x)≤f(x1) D.?x∈R,f(x)≥f(x1) 答案 C 解析 ∵x1 是方程 2ax+b=0 的解, b ∴x1=- , 2a 又∵a>0, ∴f(x1)是 y=f(x)的最小值, ∴f(x)≥f(x1)恒成立. 6.已知命题 p:?x0∈R,x2 0+ax0+a<0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是( A.[0,4] C.(-∞,0)∪(4,+∞) 答案 A 解析 ∵p 是假命题, ∴?x∈R,x2+ax+a≥0 恒成立, ∴Δ=a2-4a≤0,∴0≤a≤4. 7.下面四个命题: ①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x∈Q,x2=2; ③?x∈R,x2+1=0;④?x∈R,4x2>2x-1+3x2. 其中真命题的个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 答案 D 解析 x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当 x>2 或 x<1 时,x2-3x+2>0 才成立,∴①为 假命题. ∵当且仅当 x=± 2时,x2=2, ∴不存在 x∈Q,使得 x2=2,∴②为假命题. 对?x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题. ) B.(0,4) D.(-∞,0]∪[4,+∞) )

4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当 x=1 时,4x2=2x-1+3x2 成立,∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 二、填空题 8.给出下列四个命题: ①a⊥b?a· b=0;②矩形都不是梯形; ③?x,y∈R,x2+y2≤1; ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1. 其中全称命题是________. 答案 ①②④ 解析 ①②省略了量词“所有的”,④含有量词“任意”. 9.若?x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围是______________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 解析 ∵f(x)=(a2-1)x 是减函数, ∴0<a2-1<1,∴1<a2<2, ∴a∈(- 2,-1)∪(1, 2). π? 10.若“?x∈? ?0,4?,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 答案 1 π? 解析 ∵函数 y=tan x 在? ?0,4?上是增函数, π ∴ymax=tan =1.依题意知,m≥ymax,即 m≥1. 4 ∴m 的最小值为 1. 三、解答题
2 11.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R,x0 +2ax0+2-a=0”,若命

题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 解 由“p 且 q”是真命题,知 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,则 a≤x2 对于 x∈[1,2]恒成立, 所以 a≤1. 若 q 为真命题,则关于 x 的方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, 所以 Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2. 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 12.若?x∈R,函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 m=0 时,f(x)=x-a 与 x 轴恒有公共点,

所以 a∈R. (2)当 m≠0 时, 二次函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是 Δ=1+ 4m(m+a)≥0 恒成立,即 4m2+4am+1≥0 恒成立. 又 4m2+4am+1≥0 是一个关于 m 的二次不等式,恒成立的充要条件是 Δ′=(4a)2-16≤0, 解得-1≤a≤1. 综上所述,当 m=0 时,a∈R; 当 m≠0 时,a∈[-1,1]. 13.若?x0∈R,使 cos 2x0+2sin x0+a=0,求实数 a 的取值范围. 解 依题意,若?x0∈R,使 cos 2x0+2sin x0+a=0, 则得 a=-cos 2x0-2sin x0=2sin2x0-2sin x0-1 1 3 =2(sin x0- )2- , 2 2 1 3 令 t=sin x0,则 a=2(t- )2- ,-1≤t≤1. 2 2 1 由于函数 a(t)在-1≤t≤ 上单调递减, 2 1 在 <t≤1 上单调递增, 2 1 3 所以当 t= 时,取最小值 a=- ; 2 2 3 当 t=-1 时,取最大值 a=3.所以- ≤a≤3. 2 3 故当- ≤a≤3 时满足条件, 2 3 所以 a 的取值范围是[- ,3]. 2


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